预备知识向量的内积.ppt

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1、 第一节第一节 预备知识：预备知识：向量的内积向量的内积 第二节第二节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 第三节第三节 相似矩阵相似矩阵 第四节第四节 实对称阵的相似矩阵实对称阵的相似矩阵 第五节第五节 二次型及其标准型二次型及其标准型 第六节第六节 用配方法化二次型成标准型用配方法化二次型成标准型 第七节第七节 正定二次型正定二次型第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1本章目的与要求本章目的与要求1.理解规范正交基、正交变换及正交阵的概念，理解规范正交基、正交变换及正交阵的概念，掌握施密特正交化方法；掌握施密特正交化方法；2.理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握理解

2、矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握 其求法；其求法；3.掌握矩阵可对角化的充分必要条件及矩阵对角掌握矩阵可对角化的充分必要条件及矩阵对角 化的方法，熟练掌握通过正交矩阵化的方法，熟练掌握通过正交矩阵P将实对称将实对称 矩阵矩阵A对角化的方法及用正交变换、可逆的线对角化的方法及用正交变换、可逆的线 性变换将实二次型化为标准形的方法；性变换将实二次型化为标准形的方法；4.掌握二次型的正定性的判别法。掌握二次型的正定性的判别法。21 1向量内积的概念与性质向量内积的概念与性质定义定义定义定义1 1 设有设有n维向量维向量第一节第一节 预备知识：向量的内积预备知识：向量的内积令令x,y 称为向量称为

3、向量 x 与与 y 的的内积内积.可记为可记为x,y=xTy.()()x,y=y,x;内积的性质内积的性质内积的性质内积的性质:（其中（其中x,y,z为为n 维向量维向量,为实数）为实数）()()x,x 0,0,且当且当 x 0 0 时有时有 x,x 0.0.()()x+y,z=x,z+y,z;()()x,y=x,y;注注注注 解析几何中的数量积是这里内积的特例解析几何中的数量积是这里内积的特例.32.2.向量的范数（长度）及两向量的夹角向量的范数（长度）及两向量的夹角称为称为n维向量维向量x的的范数范数(或或长度长度).).定义定义定义定义2 2 2 2 令令 向量范数的性质向量范数的性质:

4、1.1.非负性：当非负性：当x 0 0 时时,;,;当当x=0=0时，时，；2.2.齐次性：齐次性：;3.3.三角不等式：三角不等式：单位向量单位向量:的向量的向量.施瓦茨不等式施瓦茨不等式:4当当 时时,称为称为n维向量维向量x与与y的的夹角夹角。当当x,y=0 时，称向量时，称向量 x 与与 y 正交正交.两向量的夹角两向量的夹角:两向量正交两向量正交:3.3.正交向量组正交向量组显然显然,若若x=0,=0,则则x与任何向量正交与任何向量正交.正交向量组正交向量组:两两正交的非零向量组两两正交的非零向量组.正交向量组作为向量空间的基正交向量组作为向量空间的基.正交基正交基:注注注注 长度长

5、度,夹角夹角,以及正交的概念亦是几何中向量相以及正交的概念亦是几何中向量相 应概念的推广应概念的推广.定理定理定理定理1 1 1 1 若若n维向量维向量a1,a2,ar 是一正交向量是一正交向量组，组，则则a1,a2,ar线性无关。线性无关。5证明证明 设有设有 1 1,2 2,.,.,r r 使使 1 1a1+2 2a2+r rar=0=0以以a1T左乘上式两端左乘上式两端,得得 1 1 a1Ta1=0因因 a1 0 0,故故a1Ta1=,从而必有从而必有 1 1=0.=0.类似可证类似可证 2 2=0,.,=0,.,r r=0.=0.于是向量组于是向量组a1,a2,ar线性无关线性无关.6

6、例例例例1 1 1 1 已知已知3 3维向量空间维向量空间R3 3中两个向量中两个向量正交正交,试求一个非零向量试求一个非零向量a3,使使a1,a2,a3两两正交两两正交.解解解解 记记,a3应满足应满足Ax=0,即即从而有基础解系从而有基础解系 a3=74.规范正交基的定义规范正交基的定义 设设n 维向量维向量e1,e2,er是向量空间是向量空间V(V Rn)的一个基，如果的一个基，如果e1,e2,er两两两两正交，且都是单位向量，则称正交，且都是单位向量，则称e1,e2,er是是V的的一个规范正交一个规范正交.定义定义3 3 求求V的一个规范正交基的一个规范正交基e1,e2,er,使使e1

7、,e2,er与与a1,a2,ar等价等价.把基把基a1,a2,ar规范正交化规范正交化:85.施密特正交化的方法施密特正交化的方法正交化正交化：设设a1,a2,ar 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基,.易知易知,b1,b2,br两两正交两两正交,且与且与a1,a2,ar 等价等价.单位化单位化：即得到即得到V的一个正交规范基的一个正交规范基e1,e2,er.9试用试用SchmidtSchmidt正交化过程把该组向量正交化。正交化过程把该组向量正交化。例例2 2 设设解解 取取 b1 1=a1 1;10在把它们单位化在把它们单位化,取取 e1 1,e2 2,e3 3即为所求即为所求.11例

8、例3 3 已知已知 ,求一组非零向量求一组非零向量a2,a3,使使 a1,a2,a3 两两正交两两正交.解：解：a2,a3 应满足应满足a1x=0 ，即即 x1+x2+x3=0 解出基础解系为解出基础解系为:把基础解系正交化把基础解系正交化,即合所求为即合所求为.即取即取:126.正交矩阵、正交变换的定义正交矩阵、正交变换的定义定义定义定义定义4 4 若若n阶实方阵阶实方阵 A 满足满足A TA=E（或或 AT=A-1）,则称则称 A 为为正交矩阵正交矩阵.n 阶实方阵阶实方阵A A为正交矩阵为正交矩阵 A A的行（列）向量组是的行（列）向量组是Rn的的一个规范正交基一个规范正交基 .定义定义

9、定义定义5 5 若若P是正交阵是正交阵,则线性变换则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换.注注 这一充要条件揭示了正交矩阵名称中这一充要条件揭示了正交矩阵名称中“正交正交”的含义的含义.若若P是正交阵是正交阵,则设则设 y=Px为正交变换为正交变换,则则,这说明经正交变换线段长度不变这说明经正交变换线段长度不变.13例例4 4 验证矩阵验证矩阵是正交阵。是正交阵。14定义定义定义定义6 6 6 6 设设A是是n阶方阵阶方阵,若对于数若对于数,存在非零向量存在非零向量x，使得使得 第二节第二节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量成立成立,则称则称是是A的的特征值特征值，非零向量

10、，非零向量 x 称为称为 A的的对应于特征值对应于特征值的的特征向量特征向量.Ax=x (1)(A-E)x=0=0在矩阵与向量的乘法运算中在矩阵与向量的乘法运算中,数起到了矩阵的作用数起到了矩阵的作用,这是这是 起名起名“特征值特征值”的缘由的缘由.Ax=x|AE|=0(2)(2)有非零解有非零解(2)(3)15即即(3)(3)v A的的特征方程特征方程:|AE|=0 特征方程是特征值特征方程是特征值所满足的所满足的n n次代数多项式次代数多项式.n 阶方阵阶方阵A有有n个特征值个特征值(包含重根包含重根).).vA的的特征多项式特征多项式:f()=|AE|vA 的的特征矩阵特征矩阵:A E

11、16例题例题证明证明 因为因为 Ax=x,所以所以Am x=Am-1(Ax)=Am-1(x)=(Am-1 x)=2(Am-2 x)=.=m x 故故m是是Am的特征值的特征值,x是是Am的属于的属于m的特征向量的特征向量.例例5 517证明证明 因为因为 Ax=x,由例由例1知知 Ak x=k x,f(A)x=(amAm+am-1Am-1+a1A+a0E)x故故 f()是是 f(A)的特征值的特征值,x是是f(A)的属于的属于f()的特征的特征向量向量.例例6 6 =(amm+am-1m-1+a1+a0)x =f()x184.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无

12、关的.i.特征值与特征值与特征向量的性质：特征向量的性质：1.若若是是A的特征值，则的特征值，则n是是An的特征值；的特征值；()是是 (A)的特征值（的特征值（()是关于是关于 的的m次多项式）次多项式）;2.同一特征值同一特征值0的特征向量的特征向量x1,x2,xm的任意非零线的任意非零线 性组合性组合k1 x1+k2 x2+km xm仍是属于仍是属于0的特征向量；的特征向量；3.3.设设n n阶方阵阶方阵A=(A=(aij)的特征值为的特征值为1,2,m,则则证证19证明证明 设为设为1,2,m是方阵是方阵A特征值特征值,且各不且各不相同相同,p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量依次

13、是与之对应的特征向量.设有设有 x 1,x2,xm使使 x 1 p1+x2 p2+,+xmpm=0 则则 A(x 1 p1+x2 p2+,+xmpm)=0,即即1x 1 p1+2x2 p2+,+mxmpm=0,类推有类推有 1kx 1 p1+2kx2 p2+,+mkxmpm=0 (k=1,2,m-1)所以所以p1,p2,pm线性无关线性无关.证毕证毕20v 特征值和特征向量的求法特征值和特征向量的求法 先求特征方程先求特征方程|A E|=0 的全部根，即得的全部根，即得 到到A的全部特征值。的全部特征值。对于每个特征值对于每个特征值i，求它所对应的齐次线求它所对应的齐次线 性方程组性方程组(A

14、 iE)x=0的基础解系的基础解系1,2,s，则，则k1 1+k2 2+kss即是即是A的对的对 应于应于i的全部特征值（其中的全部特征值（其中k1，k2，k s 不全为零）不全为零）.21例例7 7 求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 A的特征多项式为的特征多项式为所以所以A的特征值为的特征值为 1 1=2=2，2 2=3 3=1.=1.当当 1 1=2=2时时,解方程解方程(A-2E)x=0.由由得基础解系得基础解系所以所以 kp1 1(k 0)是对应于是对应于 1 1=2=2的全部特征向量的全部特征向量.22当当 2 2=3 3=1=1 时时,解方程解方程(A-E)x

15、=0.由由 得基础解系得基础解系所以所以 kp2 2(k 0)是对应于是对应于 2 2=3 3=1=1 的全部特征向量的全部特征向量.23例例8 8 求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解 A的特征多项式为的特征多项式为所以所以A的特征值为的特征值为 1 1=-1=-1，2 2=3 3=2.=2.当当 1 1=-1=-1时时,解方程解方程(A+E)x=0.由由得基础解系得基础解系所以所以 kp1 1(k 0)是对应于是对应于 1 1=-1=-1的全部特征向量的全部特征向量.24当当 2 2=3 3=2=2 时时,解方程解方程(A-2E)x=0.由由 得基础解系得基础解系所以

16、所以 k2 2 p2 2+k3 3 p3 3(k 0)是对应于是对应于 2 2=3 3=2=2 的全部的全部特征向量特征向量.25第三节第三节 相似矩阵相似矩阵定义定义定义定义7 7 7 7 设设A、B都是都是n阶方阵，若有可逆方阵阶方阵，若有可逆方阵P，使使 P-1AP=B,称称 矩阵矩阵A与与B相似相似.相似变换相似变换:对对A A进行运算进行运算P-1AP，相似变换矩阵相似变换矩阵:可逆矩阵可逆矩阵P.P.定理定理3 3 若若n阶方阵阶方阵A与与B相似，则相似，则A与与B的特征多项的特征多项 式相同，从而式相同，从而A与与B的特征值也相同。的特征值也相同。证明证明 因因A与与B相似相似,

17、即有可逆矩阵即有可逆矩阵P,P,使使P P-1-1AP=B.AP=B.故故26推论推论:若若n 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵则则 即是即是A的的n个特征值。个特征值。相似，相似，若若A与与B相似相似,则则Ak与与Bk相似相似;(A)与与(B)相似相似;特别特别,若若A与与对角阵对角阵 相似相似,则则Ak与与 k相似相似;(A)与与()相似相似;而对于对角阵而对于对角阵=diag(1,.,n),有有27 要讨论的主要问题要讨论的主要问题 对对n阶方阵阶方阵A,寻求寻求相似变换矩阵相似变换矩阵P P，使使P-1AP为对为对角矩阵角矩阵,即即把方阵把方阵A对角化对角化问题问题.-把方阵把方阵A对角

18、化问题对角化问题可见可见i是是A的特征值，而的特征值，而P P的列向量的列向量 pi就是就是A A的对应的对应于特征值于特征值i 的特征向量的特征向量.假设已经找到可逆矩阵假设已经找到可逆矩阵P P，使使 P P-1-1AP=AP=,现讨现讨论论P P应满足什么关系应满足什么关系:记记由由 P P-1-1AP=AP=，得得 AP=PAP=P ，即即于是有于是有28 反之，由上节知反之，由上节知A恰好有恰好有n个特征值，并可对应个特征值，并可对应地求得地求得n n个特征向量，这个特征向量，这n n个特征向量即可构成矩阵个特征向量即可构成矩阵 P P，使使 AP=PAP=P.(.(因为特征向量不是

19、唯一的，所以矩因为特征向量不是唯一的，所以矩阵阵P P也不是唯一的，并且也不是唯一的，并且P P可能是复矩阵可能是复矩阵)余下的问题是：余下的问题是：P P是否可逆？即是否可逆？即p1,p2,pn是否是否线性无关？如果线性无关？如果P P可逆，那么便有可逆，那么便有 P P-1-1AP=AP=，即，即A A与与对角阵相似对角阵相似.于是于是,有下面的结论有下面的结论:29定理定理4 4 n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似与对角矩阵相似(即即A能对角化能对角化)A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论 n阶方阵阶方阵A的的n个特征值互不相等个特征值互不相等,则则A与对角与对角矩阵相

20、似矩阵相似.?一个一个n阶方阵具备什么条件才能对角化阶方阵具备什么条件才能对角化?-仅讨论当为实对称矩阵的情形仅讨论当为实对称矩阵的情形.当当A A的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有n n个线性个线性无关的特征向时，从而不一定能对角化无关的特征向时，从而不一定能对角化.304 实对称阵的相似矩阵实对称阵的相似矩阵注注 实实特征值对应的特征向量取其特征值对应的特征向量取其实实特征向量。特征向量。定理定理定理定理6 6：实对称阵的不相等的特征值所对应的特征：实对称阵的不相等的特征值所对应的特征 向量是两两正交的。向量是两两正交的。定理定理定理定理7 7：设：设A是是 n

21、阶实对称阵，阶实对称阵，是是A的特征方程的特征方程 的的r 重根，则重根，则R(AE)=nr,从而对应从而对应 应特征值应特征值恰有恰有 r 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。证证证证定理定理5：实对称阵的特征值为实数：实对称阵的特征值为实数31定理定理5 5的证明的证明:对应的特征向量对应的特征向量,即即 Ax=x,x 0.设复数设复数 为对称矩阵为对称矩阵A的特征值的特征值,复向量复向量x为为用用 表示表示 的共轭复数的共轭复数,x 表示表示x的共轭复向量的共轭复向量,则则两式相减两式相减,得得而而x 0,所以所以故故 所以所以 即说明即说明 是实数是实数.证毕证毕32定理定理6

22、 6的证明的证明:对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为 p1,p2,则则设设 1,2,为对称矩阵为对称矩阵A的特征值的特征值,且且 1 2,即即 p1与与 p2 正交正交.证毕证毕 1 p1=A p1 ,2,p2=A p2,但但 1 2,故故33定理定理定理定理8 8：设：设A为为 n 阶实对称阵，则必有正交矩阵阶实对称阵，则必有正交矩阵P，使使P-1AP=P TAP=，其中其中是以是以A的的 n 个个 特征值为对角元素的特征值为对角元素的 对角阵。对角阵。证明证明 设设A的互不相同的特征值为的互不相同的特征值为 ，它们的重数分别为它们的重数分别为对于对于i，有有 ri 个线性无关的实特征

23、向量，将它们正个线性无关的实特征向量，将它们正交单位化，可得到交单位化，可得到 ri 个单位正交的特征向量，共个单位正交的特征向量，共 n 个。个。而不同的特征值对应的特征向量是正交的，故这而不同的特征值对应的特征向量是正交的，故这 n 个个单位特征向量都是两两正交的。单位特征向量都是两两正交的。以它们为列向量作出矩阵以它们为列向量作出矩阵P为一个正交矩阵，则有为一个正交矩阵，则有P-1AP=34例例例例9 9 9 9 设设使使P-1AP=P TAP=为对角阵。为对角阵。解解解解 特征值为特征值为:1 1=2,=2,2 2=3 3=4=4 当当 时时,由由,求一个正交阵求一个正交阵P P，35

24、当当 2 2=3 3=4=4 时时,由由基础解系中两个向量恰好正交基础解系中两个向量恰好正交,单位化即得两单位正交单位化即得两单位正交的特征向量的特征向量:于是得正交阵于是得正交阵36在解析几何中在解析几何中,为了便于研究二次曲线为了便于研究二次曲线第五节第五节 二次型及其标准形二次型及其标准形(4)(4)式左边为一个二次齐次多项式，从代数的观点看，化标式左边为一个二次齐次多项式，从代数的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项，这样一个问题，在许多理论问题或式，使它只含有平方项，这样一个问题，在许

25、多理论问题或实际问题中常会遇到。现讨论实际问题中常会遇到。现讨论n n个变量的二次齐次多项式的个变量的二次齐次多项式的化简问题。化简问题。的几何性质，可选择适当的坐标旋转变换的几何性质，可选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形把方程化为标准形37定义定义定义定义8 8 8 8 含有含有n n个变量个变量x1 1,x2 2,.,.xn的二次齐次函数的二次齐次函数取取称为称为二次型二次型.,则则(5)(5)38讨论的主要问题是讨论的主要问题是：使二次型只含平方项，即用使二次型只含平方项，即用(7)(7)代入代入(5)(5)，能使，能使这种只含平方项的二次型，称为二次型的这种只含平方项的二次型，称为

26、二次型的标准型标准型.复二次型复二次型:aij为复数为复数;实二次型实二次型:aij为实数为实数;寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换39二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示:A=x=(A(A为对称阵为对称阵)称对称阵称对称阵A A叫做叫做二次型二次型f的矩阵的矩阵，也把，也把f叫做叫做对称对称阵阵A A的二次型的二次型。对称阵。对称阵A A的秩就叫做的秩就叫做二次型二次型f的秩的秩。对称阵对称阵A二次型二次型 f一一对应一一对应40例如例如，二次型，二次型 用矩阵用矩阵记号写出来为记号写出来为41记记 ,可逆变换可逆变换(7)(7)记作记作 x=Cy,代入代入(8)(8)，有，有定理定理定理定理

27、9 9 9 9 任给可逆矩阵任给可逆矩阵C，令，令B=CTAC,如果如果 A为对为对称阵，则称阵，则 B亦为对称阵，且亦为对称阵，且R(B)=)=R(A).).证明证明证明证明 A为对称阵，则为对称阵，则 AT=A,于是于是故故R(B)R(AC)R(A),),于是于是R(A)=)=R(B).).BT=(CTAC)T=CTAT C=CTAC=B,即即B为对称阵为对称阵;因因B=CTAC,因因A=(CT)-1AC-1,故故R(A)R(BC-1)R(B),),此定理说明此定理说明:经可逆变换经可逆变换x=Cy后，二次型后，二次型 f 的的矩阵由矩阵由A变为变为 CTAC ，且二次型的秩不变。且二次型

28、的秩不变。42定理定理定理定理10101010 任给二次型任给二次型总有正交变换总有正交变换 x=Py,使使 f 化为标准型化为标准型其中其中 1 1,2 2,.,.n是是 f 的矩阵的矩阵A=(=(aij)的特征值。的特征值。例例1010 求一个正交变换求一个正交变换 x=Py ,把二次型把二次型化为标准型化为标准型.43解解 二次型得矩阵为二次型得矩阵为特征值为特征值为 1 1=-3,=-3,2 2=3 3=4 4=1,=1,当当 1 1=-3=-3 时时,解方程解方程(A+3+3E)x=0,=0,由由得基础解系得基础解系单位化即得单位化即得44当当 2 2=3 3=4 4=1=1 时时,

29、解方程解方程(A-E)x=0,=0,由由得基础解系得基础解系单位化即得单位化即得45于是得正交变换于是得正交变换且有且有46第六节第六节 用配方法化二次型成标准型用配方法化二次型成标准型解解 配方可得配方可得令令变换矩阵为变换矩阵为标准型为标准型为例例1111 化二次型化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵成标准型，并求所用的变换矩阵.47例例1212 化二次型化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵。成标准型，并求所用的变换矩阵。解解 在在f中不含平方项中不含平方项.由于有由于有x1 1x2 2乘积项乘积项,令令即即变换矩阵为变换矩阵为标准型为标准型为令令(配方配方)48第七节第七节 正定二次型正

30、定二次型定理定理定理定理11111111 设有实二次型设有实二次型 f=x Ax，它的秩为它的秩为r，有有两个实的可逆变换两个实的可逆变换 x=cy 及及 x=p z,使使则则 k1,k2,kr,中正数的个数与中正数的个数与 1 1,2 2,.,.r 中中正数的个数相等正数的个数相等 (惯性定理惯性定理).).49定义定义定义定义9 9 9 9 设有实二次型设有实二次型 f(x)=xAx,如果对任何如果对任何x 0,都有都有f(x)0(0(显然显然 f(0)=0)(0)=0)，则称则称 f为为正定二次型正定二次型，并，并称称对称阵对称阵A A是正定的是正定的，记作，记作A00；如果对于任何的如

31、果对于任何的 都有都有f(x)00，则称则称 f为为负定二次型负定二次型，并称对称阵，并称对称阵A是是负定的，记作负定的，记作A00。定理定理1212 实二次型实二次型f(x)=x Ax为正定的充分必要条为正定的充分必要条件是件是:它的标准型的它的标准型的n n个系数全为正。个系数全为正。推论推论推论推论 对称阵对称阵A A为正定的充分必要条件是为正定的充分必要条件是A A的特征值的特征值 全为正。全为正。50定理定理定理定理13131313 对称阵对称阵A为正定为正定 A的各阶主子式都为正的各阶主子式都为正,对称阵对称阵A A为负定为负定 奇数阶主子式为负，而偶数阶主奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为正，即即即(此定理称为此定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理)51例例1313 判别二次型判别二次型 的正定性。的正定性。所以所以f为负定为负定.解解 f 的矩阵为的矩阵为52