练习十六(中值定理与导数应用中值定理).pdf

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1、1/4 练习十六（中值定理与导数应用-中值定理）231.(),()0,1 f xx F xx在上分别就拉格朗日中值定理，柯西中值定理，计算相应的 21113222:()0,1 1 (1)(0)()(1 0)2 ;2()0,1(1)(0)()(1 0)31;()()0,1 :3(1)(0),(1)(0)233f xxfffF xxFFF f xF xf()ffFFF()解对在应用拉格朗日中值定理：，得对在应用拉格朗日定理：，得对和在应用柯西中值定理1 021 03332323即，得。2()(1)(2)(3)f xxxx.检验罗尔定理对于函数的正确性 121212:(1)()1,2 2,3 (2)

2、()(1,2)(2,3);(3)(1)(2)0 (2)(3)0:12,23,()0,()0.:()(2)(3)(f xfxffffccf cf cc cfxxx证明函数在及上连续；在及上处处存在及由罗尔定理 应存在 使 下面，我们验证确有这样存在易知21212121)(3)(1)(2)31211333()0,2,22333 12,23()0,()0 xxxxxxfxxccccf cf c令 解之得故可取，显然且且 32123()111011()0f xxxxxfx .函数当及时为，但是当时，说明与罗尔定理表面上的矛盾 32()1,1 0 3 011()0fxxfxxxfx 证明:，它在上恒不为

3、，表面上看是与罗尔定理矛盾。实际上不然，原因是在处不存在，不满足罗尔定理的第二个条件，故当时，可以有。224?()0?110110(1)()(2)()1 011 01fxxxxf xf xxxx .研究下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件 在该区间内是否存在，使；2/4:(1):(1)0,(1)1,1,1 ,(),01,()0.(2):()0,1,1,(),()0.fff xff xxf xf解在上不满足罗尔定理的条件 但存在使在处不可导 所以在上不满足罗尔定理条件 也不存在使 5()ln1,1()1f xxef effe.验证函数在区间上满足拉格朗日定理，并找出相应的点，使得 1:ln

4、,1,()(1)111 011.11fxx fxxef effeeeee 证明，满足拉格朗日定理条件，所以存在使，即，得。122112216()(,)()(.,)()()(),()f xa bfxa bxxf xf xfxxxx.设函数于区间内有连续的导函数，对于区间内任何一点可否从此区间中指出另外的两点及使满足于 3211221212332222212122 11211221212221:,.(),(-1x1),0 ()()x x ,(),()30,x0 x ,()()f xxf xf xfxxff xf xxxxx xxxxx xxxxxxx证明一般的说 不可以例如研究函数对于就找不到所需

5、的和使事实上而当时212122()0 x xxx 37 10 xx.试证方程仅有一个正实根 312121212212()1 0,1 (0)1(1)1(x)0 (0,1)x ,()0,()0,0,(),(,),()310f xxxfffxf xf xxxf xx xx xf 证明:设，它在上连续，且，由连续函数的介值定理知：在内至少有一个实根，设有两个实根满足且则对在上应用罗尔定理可知：至少存在一点使，从3 10 xx 上式看出这样的在实数范围内是不存在的，故方程有且只有一个正实根。8()0,1 0()1 (0,1)()1 (0,1)()f xf xxfxxf xx.设在上可导，且，对于任何，都

6、有，试证：在内，仅有一个，使 3/4 0000121122121212:()()(0)(0)0,g(1)(1)-1 0()0,1 (0,1)()0 ().,(),(),(0,1),g xf xxgffg xxg xf xxx xf xx f xxxxxxx x证明令，显然有：，因为在上连续，由闭区间上连续函数的介值定理，必存在，使，即设有两个点使得不妨设，且，在上2121122121()()()1(,),()1(0,1)()f xf xxxfx xxxxxfxxf xx应用拉格朗日中值定理：，这与矛盾，所以在内有且只有一个，使成立。(),lim()lim()lim()0 xxxf xaf xf

7、 xf x9.设在内可微，且和都存在，试证：:(,)()(,)(),1(,)(x1)-(x)(),(,1).1 x lim()lim(1)()0,lim()0 xxxaf xaf xx xafffx xxxff xf xfx 证明任取，因为在内可微，所以在上满足拉格朗 日中值定理条件，于是当时，有，从而所以10(),(,)()()()0.:(,)()()0f xaba bfxf af ba bff.设在上连续，在内可导，且不恒等于零，试证 对任意的实数，存在一点，使得-x:()()()()0 ()0(a,b)-e()()|0,()-()0 xxxF xef xF aF bFf xefxff 证

8、明 令，则，由罗尔定理，存在，使，即于是。11.(),(,)(,()(,()()(,()(,)()0f xa ba bA a f aB b f byf xC c f cacba bf 设在闭区间连续，在开区间内二次可导，且连接点和点的连线段与曲线相交于，其中，试证：在上至少有一点，使 2,1212121:(),()()()()(),(),()()()()(),()()(),f xa cc bf cf af bf caccbffcabcf cf af bf cA B Ccabcfffx 证明由题设在，上均满足拉格朗日中值定理，存在，使得而三点在同一条直线上，则有，即得，再对在212(,)(,),

9、()0a bf 上用罗尔定理，于是至少存在一点使得 4/4(),(,)()()0(,)()0(,)()0f xababf af bca bf ca bf12.设在闭区间连续，在开区间内二阶可导，且，且存在点，使得，试证：至少存在一点，使得 2,12121212:(),()()(,)()()()(),()()0,()0,()0()0(),f xacc bf cf aac cbfcaf bf cff af bf cffbcfxab 证明 由题设在，上均满足拉格朗日中值定理条件，于是存在，使得，因为所以，又因为在上满足拉格2112121221 ()()()(,),()0,()0,()0,(,)fff

10、fffa b 朗日定理条件，于是有，由于所以。13.()0()(0)00()()()f xcfxfababcabf abf af b设在，上具有严格单调递减的导数，且，证明：对于满足不等式的，恒有不等式成立 11221212:()0,()-(0)()(),(0)0()-(b)()()(),(b)0,()()()()f xab abf a ff afaaaf ab ff abf bfababbaababfxf affa证明对在，上分别满足拉格朗日定理，有因为且为严格单调递减，所以()()a0,(a)(ab)-(b),()()()f abf baffff abf af b又因为因此即。22 11(

11、)114.(),24()221(,2)()2()02f xf xdxfxff设函数在上可微，且满足，试证至少存在一点，使得 22 11112222111121()14()21()()()1()12(21),2,(),2122()211()11(),2()(),(),2222211(,)(,2),22f xdxfxffff xF xxxf xF xFFF xxF证明:由题设，据定积分中值定理，左边右边，令，则在上可微，且对在上应用罗尔定理，至少存在一点上使2433()0()2()()2()()2()(),()010()2()0,(,2)2x fxxfxxfxf xffFxFxxff因为所以而，于是。