第三章微分中值定理与导数的应用复习7915.pdf

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1、第三章：微分中值定理及导数的应用 1主要内容：（1）罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必达（LHospital）法则（3）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值，函数最大值和最小值的求法及简单应用（4）用导数判断函数图形的凹凸性，函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线 注意：函数作图不做要，求斜渐近线不做要求（但铅直与水平渐近线做要求）。2重点：中值命题的证明，未定式的极限，单调性、凹凸性的判定，极值最值的求法，简单经济问题 3典型例题与习题 （1）1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）1-2 T6 （3）1-3 例题 3-9 习题 1-4

2、 （4）1-4 例题 4-7 习题 1-4 （5）1-5 例题 2-8 习题 1-4 （6）1-6 例题 3-9 习题 1-6 （7）1-7 例题 1-7 习题 1-7 （8）1-8 例题 1-7 习题 2-5 （9）综合练习一：1-6 4典型方法（1）证明中值命题的方法：证明中值命题时，通常要构造出一个辅助函数，然后，对该辅助函数用中值定理辅助函数一般有如下三种构造方法：找原函数法：先将欲证等式中的中间值换成x，把欲证结果转化为某个方程根的存在性；然后将此方程关于x积分，得原函数，为简便记，取积分常数为零；最后将积分结果移项，使一端为 0，另一端即为欲作辅助函数 指数因子法：此法适用于可化为

3、形如()()()0fxg x f x的中值命题，取积分因子()g xe，便得原函数()()()g xF xef x，这就是所要作的辅助函数 值得注意的是：()f x和()g x的选择重要，具有较大的灵活性，总之，应使()()()g xF xef x满足 Rolle 定理 例 1 设)(xf在 1,0上连续，在(0,1)上可导且120(1)2()fxf x dx证明：(0,1)，使得()()0ff【证】由积分中值定理得，存在1(,1)2，使得 1201(1)2()2()()2fxf x dxff 作辅助函数()()F xxf x，则有，()()(1)(1)FffF，对在区间,1上用 Rolle中

4、值定理即可。（2）讨论方程的根的存在性与个数 方程()0f x 实数根的存在性，可用连续函数的介值定理和 Rolle 定理讨论；证明方程()0f x 最多只有一个实数根，就应该利用函数()f x的严格单调性讨论 例 2 设)(xf在0,1上可微，()1fx且1)(0 xf，证明方程xxf)(在(0,1)内至少有且仅有一个根【证】存在性：令()()F xf xx，0,1x，则函数()F x在区间0,1上满足零点存在定理的条件，故存在(0,1)，使得()()0Ff，即()f；惟一性：用反证法，假设还有(0,1)，使得()f，不妨设，函数()F x在区 间,上 满 足Rolle 中 值 定 理 的

5、条 件，故 存 在(,)(0,1)c，使 得()()10F cfc，即()1fc。与题设()1fx矛盾！因此，方程xxf)(在(0,1)内至少有且仅有一个根。例 3 设实数naaaa,.,210满足关系式：0113121210 nanaaa证明：02210 nnxaxaxaa 在(0,1)内至少有一个实根【证】对函数231012111()231nnf xa xa xa xa xn在0,1上应用 Rolle 中值定理（3）求平面曲线的切线与法线方程 例 4 证明曲线弧：)20,0(sincos33tataytax上任一点的切线夹在两坐标轴之间的长度恒为常数【证】设(,)M x y是曲线弧上任一点

6、，在该点处的切线的斜率为 tanttyktx 切线方程为(tan)()YytXx，切线在x轴和y轴上的截距分别为 cotcosXxytat，tansinYyxtat 于是，切线夹在两坐标轴之间的长度为 22lXYa 例 5 在曲线簇)1(2xay中选取一条曲线，使之和其在)0,1(),0,1(BA 两点处的法线所围成图形的面积比其它曲线以同样办法所围成图形的面积都小 答案 83a（4）讨论函数的单调性 证明函数()f x在开区间(,)a b内单调递增（或递减）的方法：()0fx或()0fx，(,)xa b ()f x在开区间(,)a b内单调递增（或递减）证明函数()f x在闭区间,a b内单

7、调递增（或递减）的方法：先证明函数()f x在闭区间,a b内连续，再判断导数在开区间(,)a b内的符号。以下几个例子等学完积分学再回头看。例 6 设)(xf在,ba上连续且递增，又设,)()(baxdtaxtfxFxa，试求)(limxFax，并证明)(xF在,ba内单调递增【解】（1）()lim()limlim()()()xaxaxaxaf t dtF xf xf aF axa；故()F x在,ba上连续。（2）2()()()()0,(,()xxaaf t dtf xf t dtF xxa bxaxa，所以，)(xF在,ba内单调递增 例 7 设)(xf在),(上连续，又设xdttftx

8、xF0)()2()(，试证明：（1）若)(xf是偶函数，则)(xF也是；（2）若)(xf是单调递增的，则)(xF也单调递减【证】（1）00()(2)()(2)()()xxFxxt f t dtxu fudu （作变量代换tu）0(2)()()xxu f u duF x 即)(xF也是偶函数。（2）000()(2)()()()()()0 xxxF xxt f t dtf t dtxf xf tf x dt 即)(xF也单调递减（5）讨论函数的极值与最值 主要掌握极值和最值的概念，极值的必要条件和第一、第二充分条件以及驻点、不可导点、极值点之间，拐点、二阶导数为零的点、不可导点之间的关系 1求函数

9、极值的步骤（）求定义域；（）求驻点及不可导点；（）判定驻点是否为极值点（用第一、第二或推广的第二充分条件）；（）判定不可导点是否为极值点（用第一充分条件）2（1）求闭区间上连续函数的最值的步骤 a 求函数()f x的一阶导数()fx；b 求函数()f x在所给区间内部的驻点及不可导点；c 求函数在端点、驻点及不可导点处的函数值，并比较各值的大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值（2）求开区间上连续函数的最值的步骤 a.b.同（1）c求函数()f x在区间左、右端点的右、左极限和函数在驻点及不可导点处的函数值，并比较各值的大小，若其中最大者在驻点及不可导点处的函数值取得，则函数有最大值，否则没

10、有最大值；最小值情况类似（3）求根据应用问题建立的函数关系的最值的步骤 a 建立函数关系；b 求驻点；c 判定驻点是否为最值点（用唯一极值点法或实际问题法）：唯一极值点法：若()f x在区间（有限或无限、开或闭）内可导，且有唯一的极值点0 x，则它必为最值点 实际问题法：若在所讨论的问题的有效范围内部有唯一的驻点，且通过对问题的分析，其最值在区间内部取得，则此唯一的驻点处的函数值必为所求的最大（小）值 3导数在经济上的应用 （1）弹性 若()f x可导，且()0f x，则()f x的弹性为 ()()()Ef xxdf xExf xdx 若Q为生产量或销售量，p为价格，称函数()QQ p为需求函

11、数，其反函数()pp Q称为价格函数。需求函数的弹性称为需求弹性，习惯上用 ()()EQQ ppEpQ p 来表示。（2）边际函数 边际成本成本函数()C x的导数()C x；边际收益收益函数()R x的导数()R x；边际利润利润函数()()()L xR xC x的导数()L x。例 8 已知某企业的总收益函数为23()2624R xxxx，总成本函数为2()8C xxx，其中x表示产品的产量。求利润函数、边际收入函数、边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润。【解】利润函数：23()()()1834L xR xC xxxx；边际收入函数：2()26412R xxx；边际成本函数：()82C xx 令2()()()18612(66)(32)0L xR xC xxxxx，得唯一驻点1x，根据问题的实际意义知，企业获得最大利润时的产量为1x，此时最大利润为 (1)183411L