高考数列压轴题.pdf

《高考数列压轴题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数列压轴题.pdf（55页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-高考数列压轴题 一解答题共 50 小题 1数列an满足 a1=1，a2=+，an=+nN*1求 a2，a3，a4，a5的值；2求 an与 an1之间的关系式nN*，n2；3求证：1+1+1+3nN*2数列*n满足：*1=1，*n=*n+1+ln1+*n+1 nN*，证明：当 nN*时，0*n+1*n；2*n+1*n；*n 3数列an中，a1=，an+1=nN*求证：an+1an；记数列an的前 n 项和为 Sn，求证：Sn1 4正项数列an满足 an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1 1求 a2的值；2证明：对任意实数 nN*，an2an+1；3记数列an的前 n 项和为 Sn，证

2、明：对任意 nN*，2Sn3 5在数列an中，nN*1求证：1an+1an2；2求证：；3求证：nsnn+2 6设数列an满足 an+1=an2an+1nN*，Sn为an的前 n 项和证明：对任意 nN*，-I当 0a11 时，0an1；II当 a11 时，ana11a1n1；III当 a1=时，nSnn 7数列an满足 a1=1，Sn=2an+1，其中 Sn为an的前 n 项和nN*求 S1，S2及数列Sn的通项公式；假设数列bn满足，且bn的前 n 项和为 Tn，求证：当 n2 时，8数列an满足 a1=1，nN*，证明：；证明：9设数列an的前 n 项的和为 Sn，a1=，an+1=，其

3、中 nN*1证明：an2；2证明：anan+1；3证明：2nSn2n1+n 10数列an的各项均为正数，且 an+1=an+1nN*，an的前 n 项和是 Sn 假设an是递增数列，求 a1的取值围；假设 a12，且对任意 nN*，都有 Snna1n1，证明：Sn2n+1 11设 an=*n，bn=2，Sn为数列anbn的前 n 项和，令 fn*=Sn1，*R，aN*假设*=2，求数列的前 n 项和 Tn；求证：对 nN*，方程 fn*=0 在*n，1上有且仅有一个根；求证：对 pN*，由中*n构成的数列*n满足 0*n*n+p 12数列an，bn，a0=1，n=0，1，2，Tn为数列bn的前

4、 n 项和-求证：an+1an；13数列an满足：a1=，an=an12+an1n2 且 nN 求 a2，a3；并证明：2an3；设数列an2的前 n 项和为 An，数列的前 n 项和为 Bn，证明：=an+1 14数列an的各项均为非负数，其前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*，都有 1假设 a1=1，a505=2017，求 a6的最大值；2假设对任意 nN*，都有 Sn1，求证：15数列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn为an的前 n 项和 求证：nN*时，anan+1；求证：nN*时，2Sn2n 16数列an满足，a1=1，an=1求证：an；2求证：|an+1an|；3求证

5、：|a2nan|17设数列an满足：a1=a，an+1=a0 且 a1，nN*1证明：当 n2 时，anan+11；2假设 ba2，1，求证：当整数 k+1 时，ak+1b 18设 a3，数列an中，a1=a，an+1=，nN*-求证：an3，且1；当 a4 时，证明：an3+19数列an满足 an0，a1=2，且n+1an+12=nan2+annN*证明：an1；证明：+n2 20数列an满足：1求证：；2求证：21数列an满足 a1=1，且 an+12+an2=2an+1an+an+1an 1求数列an的通项公式；2求证：+；3记 Sn=+，证明：对于一切 n2，都有 Sn22+22数列a

6、n满足 a1=1，an+1=，nN*1求证：an1；2求证：|a2nan|23数列an的前 n 项和记为 Sn，且满足 Sn=2ann，nN*求数列an的通项公式；证明：+nN*24数列an满足：a1=，an+1=+annN*1求证：an+1an；2求证：a20171；-3假设 ak1，求正整数 k 的最小值 25数列an满足：an2anan+1+1=0，a1=2 1求 a2，a3；2证明数列为递增数列；3求证：1 26数列an满足：a1=1，nN*求证：an1；证明：1+求证：an+1n+1 27在正项数列an中，a1=1，且满足 an+1=2annN*求 a2，a3；证明an 28设数列a

7、n满足 1证明：；2证明：29数列an满足 a1=2，an+1=2Sn+n+1 nN*，令 bn=an+1 求证：bn是等比数列；记数列nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn；求证：+30数列an中，a1=3，2an+1=an22an+4 证明：an+1an；-证明：an2+n1；设数列的前 n 项和为 Sn，求证：1nSn1 31数列an满足 a1=，an+1=，nN*1求 a2；2求的通项公式；3设an的前 n 项和为 Sn，求证：1nSn 32数列an中，a1=1，an=1证明：anan+1；2证明：anan+12n+1；3设 bn=，证明：2bnn2 33数列an满足，1假设数列an是

8、常数列，求 m 的值；2当 m1 时，求证：anan+1；3求最大的正数 m，使得 an4 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论 34数列an满足：，p1，1证明：anan+11；2证明：；3证明：35数列an满足 a1=，an+1an+anan+1=0nN*求数列an的通项公式；求证：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1-36数列an满足 a1=1，an+1=an2+p 1假设数列an就常数列，求 p 的值；2当 p1 时，求证：anan+1；3求最大的正数 p，使得 an2 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论 37数列an满足 a1=a4，nN*1求证：an4；2判断数列an

9、的单调性；3设 Sn为数列an的前 n 项和，求证：当 a=6 时，38数列an满足 a1=1，an+1=求证：an+1an；求证：an 39数列an满足：a1=1，1假设 b=1，证明：数列是等差数列；2假设 b=1，判断数列a2n1的单调性并说明理由；3假设 b=1，求证：40数列an满足，n=1，2，3，Sn=b1+b2+bn 证明：an1an1n1；n2 41数列an满足 a1=1，an+1=，nN*，记 S，Tn分别是数列an，a的前 n 项和，证明：当 nN*时，1an+1an；-2Tn=2n1；31Sn 42数列an满足 a1=3，an+1=an2+2an，nN*，设 bn=lo

10、g2an+1 I求an的通项公式；II求证：1+nn2；III假设=bn，求证：23 43正项数列an满足 a1=3，nN*1求证：1an3，nN*；2假设对于任意的正整数 n，都有成立，求 M 的最小值；3求证：a1+a2+a3+ann+6，nN*44在数列an中，nN*1求证：1an+1an2；2求证：；3求证：nsnn+2 45数列an中，nN*1求证：；2求证：是等差数列；3设，记数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：46无穷数列an的首项 a1=，=nN*证明：0an1；记 bn=，Tn为数列bn的前 n 项和，证明：对任意正整数 n，Tn-47数列*n满足*1=1，*n+1=2+3

11、，求证：I0*n9；II*n*n+1；III 48数列an各项均为正数，且对任意 nN*，满足 an+1=an+can2c0 且为常数 假设 a1，2a2，3a3依次成等比数列，求 a1的值用常数 c 表示；设 bn=，Sn是数列bn的前 n 项和，i求证：；ii求证：SnSn+1 49设数列满足|an|1，nN*求证：|an|2n1|a1|2 nN*假设|an|n，nN*，证明：|an|2，nN*50数列an满足：a1=1，an+1=an+nN*证明：1+；求证：an+1n+1 高考数列压轴题 参考答案与试题解析 一解答题共 50 小题 1数列an满足 a1=1，a2=+，an=+nN*1求

12、 a2，a3，a4，a5的值；2求 an与 an1之间的关系式nN*，n2；3求证：1+1+1+3nN*【解答】解：1a2=+=2+2=4，-a3=+=3+6+6=15，a4=+=4+43+432+4321=64，a5=+=5+20+60+120+120=325；2an=+=n+nn1+nn1 n2+n!=n+nn1+n1 n2+n1!=n+nan1；3证明：由2可知=，所以1+1+1+=+=+=+1+1+=2+1+=33n2 所以 n2 时不等式成立，而 n=1 时不等式显然成立，所以原命题成立 2数列*n满足：*1=1，*n=*n+1+ln1+*n+1 nN*，证明：当 nN*时，0*n+

13、1*n；2*n+1*n；*n【解答】解：用数学归纳法证明：*n0，当 n=1 时，*1=10，成立，假设当 n=k 时成立，则*k0，则 n=k+1 时，假设*k+10，则 0*k=*k+1+ln1+*k+10，矛盾，故*n+10，因此*n0，nN*n=*n+1+ln1+*n+1*n+1，因此 0*n+1*nnN*，由*n=*n+1+ln1+*n+1得*n*n+14*n+1+2*n=*n+122*n+1+*n+1+2ln1+*n+1，-记函数 f*=*22*+*+2ln1+*，*0 f*=+ln1+*0，f*在0，+上单调递增，f*f0=0，因此*n+122*n+1+*n+1+2ln1+*n+

14、10，故 2*n+1*n；*n=*n+1+ln1+*n+1*n+1+*n+1=2*n+1，*n，由2*n+1*n得20，22n1=2n2，*n，综上所述*n 3数列an中，a1=，an+1=nN*求证：an+1an；记数列an的前 n 项和为 Sn，求证：Sn1【解答】证明：0，且 a1=0，an0，an+1an=an=0 an+1an；1an+1=1=，=，则，又 an0，-4正项数列an满足 an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1 1求 a2的值；2证明：对任意实数 nN*，an2an+1；3记数列an的前 n 项和为 Sn，证明：对任意 nN*，2Sn3【解答】解：1an2+a

15、n=3a2n+1+2an+1，a1=1，即有 a12+a1=3a22+2a2=2，解得 a2=负的舍去；2证明：an2+an=3a2n+1+2an+1，可得 an24a2n+1+an2an+1+a2n+1=0，即有an2an+1 an+2an+1+1+a2n+1=0，由于正项数列an，即有 an+2an+1+10，4a2n+10，则有对任意实数 nN*，an2an+1；3由1可得对任意实数 nN*，an2an+1；即为 a12a2，可得 a2，a3a2，an，前 n 项和为 Sn=a1+a2+an1+=2，又 an2+an=3a2n+1+2an+1a2n+1+an+1，即有anan+1 an+

16、an+1+10，则 anan+1，数列an递减，即有 Sn=a1+a2+an1+1+=1+=313 则有对任意 nN*，2Sn3-5在数列an中，nN*1求证：1an+1an2；2求证：；3求证：nsnn+2【解答】证明：1先用数学归纳法证明 1an2 n=1 时，假设 n=k 时成立，即 1ak2 则 n=k+1 时，成立 由知 1an2，nN*恒成立.所以 1an+1an2 成立 2，当 n3 时，而 1an2所以 由，得，所以 3由11an2 得 snn 由2得，6设数列an满足 an+1=an2an+1nN*，Sn为an的前 n 项和证明：对任意nN*，I当 0a11 时，0an1；I

17、I当 a11 时，ana11a1n1；III当 a1=时，nSnn【解答】证明：用数学归纳法证明 当 n=1 时，0an1 成立 假设当 n=kkN*时，0ak1，则当 n=k+1 时，=2+0，1，由知，-当 0a11 时，0an1 由 an+1an=an=an120，知 an+1an 假设 a11，则 an1，nN*，从而=an=anan1，即=ana1，当 a11 时，ana11a1n1 当时，由，0an1nN*，故 Snn，令 bn=1annN*，由 ，bnbn+10，nN*，由，得=b1b2+b2b3+bnbn+1=b1bn+1b1=，nbn2，即，nN*，=，b1+b2+bn+=，

18、即 nSn，亦即，当时，7数列an满足 a1=1，Sn=2an+1，其中 Sn为an的前 n 项和nN*求 S1，S2及数列Sn的通项公式；假设数列bn满足，且bn的前 n 项和为 Tn，求证：当 n2 时，【解答】解：数列an满足 Sn=2an+1，则 Sn=2an+1=2Sn+1Sn，即 3Sn=2Sn+1，即数列Sn为以 1 为首项，以为公比的等比数列，-Sn=n1nN*S1=1，S2=；在数列bn中，Tn为bn的前 n 项和，则|Tn|=|=而当 n2 时，即 8数列an满足 a1=1，nN*，证明：；证明：【解答】证明：，由得：，证明：由得：n+1an+2=nan 令 bn=nan，

19、则 bn1bn=n 由 b1=a1=1，b2=2，易得 bn0 由得：b1b3b2n1，b2b4b2n，得 bn1 根据 bnbn+1=n+1 得：bn+1n+1，1bnn-=一方面：另一方面：由 1bnn 可知：9设数列an的前 n 项的和为 Sn，a1=，an+1=，其中 nN*1证明：an2；2证明：anan+1；3证明：2nSn2n1+n【解答】证明：1an+12=2=，由于+2=+10，+2=2+0 an+12 与 an2 同号，因此与 a12 同号，而 a12=0，an2 2an+11=，可得：an+11 与 an1 同号，因此与 a11 同号，而 a11=0，an1 又 an21

20、an2an+1an=，可得分子0，分母0 an+1an0，故 anan+1 3n=1 时，S1=，满足不等式 n2 时，=，即 2an 2nSn=1即 Sn2n1+另一方面：由II可知：，=-从而可得：=2an，2nSn=Sn2n2n 综上可得：2nSn2n1+n 10数列an的各项均为正数，且 an+1=an+1nN*，an的前 n 项和是 Sn 假设an是递增数列，求 a1的取值围；假设 a12，且对任意 nN*，都有 Snna1n1，证明：Sn2n+1【解答】I解：由 a2a101a10，解得 0a12，又 a3a20，a2，0a2212，解得 1a12，由可得：1a12 下面利用数学归

21、纳法证明：当 1a12 时，nN*，1an2 成立 1当 n=1 时，1a12 成立 2假设当 n=kN*时，1an2 成立 则当 n=k+1 时，ak+1=ak+1 1，2，即 n=k+1 时，不等式成立 综上1 2可得：nN*，1an2 成立 于是 an+1an=10，即 an+1an，an是递增数列，a1的取值围是1，2 II证明：a12，可用数学归纳法证明：an2 对 nN*都成立 于是：an+1an=12，即数列an是递减数列 在 Snna1n1中，令 n=2，可得：2a1+1=S22a1，解得 a13，因此 2a13 下证：1当时，Snna1n1恒成立 事实上，当时，由 an=a1

22、+ana1a1+2=于是 Sn=a1+a2+ana1+n1=na1-再证明：2时不合题意 事实上，当时，设 an=bn+2，可得1 由 an+1=an+1nN*，可得：bn+1=bn+1，可得=于是数列bn的前 n 和 Tn3b13 故 Sn=2n+Tn2n+3=na1+2a1n+3，令 a1=+tt0，由可得：Snna1+2a1n+3=na1tn+只要 n 充分大，可得：Snna1这与 Snna1n1恒成立矛盾 时不合题意 综上1 2可得：，于是可得=由可得：故数列bn的前 n 项和 Tnb11，Sn=2n+Tn2n+1 11设 an=*n，bn=2，Sn为数列anbn的前 n 项和，令 f

23、n*=Sn1，*R，aN*假设*=2，求数列的前 n 项和 Tn；求证：对 nN*，方程 fn*=0 在*n，1上有且仅有一个根；求证：对 pN*，由中*n构成的数列*n满足 0*n*n+p【解答】解：假设*=2，an=2n，则=2n1 n，则 Tn=11+32+2n1 n，Tn=12+33+2n1 n+1，Tn=+22+3+n2n1 n+1=+22n1 n+1=+1n12n1 n+1，-Tn=3n22n1 n=3；证明：fn*=1+*+*R，nN+，fn*=1+0，故函数 f*在0，+上是增函数 由于 f1*1=0，当 n2 时，fn1=+0，即 fn10 又 fn=1+i，=+=n10，根

24、据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的*n，1，满足 fn*n=0 证明：对于任意 pN+，由1中*n构成数列*n，当*0 时，fn+1*=fn*+fn*，fn+1*nfn*n=fn+1*n+1=0 由 fn+1*在0，+上单调递增，可得*n+1*n，即*n*n+10，故数列*n为减数列，即对任意的 n、pN+，*n*n+p0 由于 fn*n=1+*n+=0，fn+p*n+p=1+*n+p+，用减去并移项，利用 0*n+p1，可得*n*n+p=+=综上可得，对于任意 pN+，由1中*n构成数列*n满足 0*n*n+p 12数列an，bn，a0=1，n=0，1，2，Tn为数列bn的前 n 项和

25、求证：an+1an；-【解答】解：证明：=，所以 an+1an 法一、记，则，原命题等价于证明；用数学归纳法 提示：构造函数在1，+单调递增，故=+=+=，法二、只需证明，由，故：n=1时，n2，可证：，3由，得=，可得：，叠加可得，所以，13数列an满足：a1=，an=an12+an1n2 且 nN 求 a2，a3；并证明：2an3；设数列an2的前 n 项和为 An，数列的前 n 项和为 Bn，证明：=an+1-【解答】解：Ia2=a12+a1=，a3=a22+a2=证明：an=an12+an1，an+=an12+an1+=an1+2+an1+2，an+an1+2an2+4an3+8a1+

26、=2，an2，又anan1=an120，anan1an2a11，an2an，an=an12+an12a，an2a22222224222242a1=2=3 综上，2an3 II证明：an=an12+an1，an12=anan1，An=a12+a22+a32+an2=a2a1+a3a2+an+1an=an+1，an=an12+an1=an1an1+1，=，=，Bn=+=+=14数列an的各项均为非负数，其前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*，都有 1假设 a1=1，a505=2017，求 a6的最大值；2假设对任意 nN*，都有 Sn1，求证：【解答】解：1由题意知 an+1anan+2an+

27、1，设 di=ai+1aii=1，2，504，-则 d1d2d3d504，且 d1+d2+d3+d504=2016，=，所以 d1+d2+d520，a6=a1+d1+d2+d521 2证明：假设存在 kN*，使得 akak+1，则由，得 ak+1akak+1ak+2，因此，从 an项开场，数列an严格递增，故 a1+a2+anak+ak+1+annk+1ak，对于固定的 k，当 n 足够大时，必有 a1+a2+an1，与题设矛盾，所以an不可能递增，即只能 anan+10 令 bk=akak+1，kN*，由 akak+1ak+1ak+2，得 bkbk+1，bk0，故 1a1+a2+an=b1+

28、a2+a2+an=b1+2 b2+a3+a3+an，=b1+2b2+nbn+nan，所以，综上，对一切 nN*，都有 15数列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn为an的前 n 项和 求证：nN*时，anan+1；求证：nN*时，2Sn2n【解答】证明：In2 时，作差：an+1an=，an+1an与 anan1同号，由 a1=4，可得 a2=，可得 a2a10，nN*时，anan+1 II2=6+an，=an2，即 2an+12 an+1+2=an2，an+12 与 an2 同号，又a12=20，an2 Sn=a1+a2+an4+2n1=2n+2 Sn2n2-由可得：=，因此 an2a

29、12，即 an2+2 Sn=a1+a2+an2n+22n+综上可得：nN*时，2Sn2n 16数列an满足，a1=1，an=1求证：an；2求证：|an+1an|；3求证：|a2nan|【解答】证明：1a1=1，an=a2=，a3=，a4=，猜测：an1 下面用数学归纳法证明 i当 n=1 时，命题显然成立；ii假设 n=k 时，1 成立，则当 n=k+1 时，ak+1=1，即当 n=k+1 时也成立，所以对任意 nN*，都有 2当 n=1 时，当 n2 时，-3当 n=1 时，|a2a1|=；当n2时，|a2nan|a2na2n1|+|a2n1a2n2|+|an+1an|17设数列an满足：

30、a1=a，an+1=a0 且 a1，nN*1证明：当 n2 时，anan+11；2假设 ba2，1，求证：当整数 k+1 时，ak+1b【解答】证明：1由 an+1=知 an与 a1的符号一样，而 a1=a0，an0，an+1=1，当且仅当 an=1 时，an+1=1 下面用数学归纳法证明：a0 且 a1，a21，=1，即有 a2a31，假设 n=k 时，有 akak+11，则 ak+2=1 且=1，即 ak+1ak+21 即当 n=k+1 时不等式成立，由可得当 n2 时，anan+11；2假设 akb，由1知 ak+1akb，假设 akb，0*1 以及二项式定理可知1+*n=1+1*+n*

31、nn*，而 ak2+1b2+1b+1，且 a2a3akb1 ak+1=a2，-=a2 a2k1a2k1=a21+k1，a21+k1，k+1，1+k1+1=，ak+1b 18设 a3，数列an中，a1=a，an+1=，nN*求证：an3，且1；当 a4 时，证明：an3+【解答】证明：Ian+13=3=，=0，与同号，又 a3，=a0，0，an+130，即 an3n=1 时也成立 =1 综上可得：an3，且1；当 a4 时，an+13=3=，由I可知：3ana1=a4，3an4-设 an3=t0，1=，an3a13，an3+19数列an满足 an0，a1=2，且n+1an+12=nan2+ann

32、N*证明：an1；证明：+n2 【解答】证明：由题意得n+1an+12n+1=nan2n+an1，n+1 an+1+1 an+11=an1 nan+n+1，由 an0，nN*，n+1 an+1+10，nan+n+10，an+11 与 an1 同号，a11=10，an1；由知，故n+1an+12=nan2+ann+1an2，an+1an，1an2，又由题意可得 an=n+1an+12nan2，a1=2a22a12，a2=3a322a22，an=n+1an+12nan2，相加可得 a1+a2+an=n+1an+1242n，an+12，即 an2，n2，2+2+，n2，当 n=2 时，=，当 n=3

33、 时，+，-当 n4 时，+2+=1+，从而，原命题得证 20数列an满足：1求证：；2求证：【解答】证明：1由，所以，因为，所以 an+2an+12 2假设存在，由1可得当 nN 时，anaN+11，根据，而 an1，所以 于是，累加可得*由1可得 aN+n10，而当时，显然有，因此有，这显然与*矛盾，所以 21数列an满足 a1=1，且 an+12+an2=2an+1an+an+1an 1求数列an的通项公式；-2求证：+；3记 Sn=+，证明：对于一切 n2，都有 Sn22+【解答】解：1a1=1，且 an+12+an2=2an+1an+an+1an，可得 an+12+an22an+1a

34、n2an+1+2an+1=0，即有an+1an22an+1an+1=0，即为an+1an12=0，可得 an+1an=1，则 an=a1+n1=n，nN*；2证明：由=，n2 则+=1+1+=，故原不等式成立；3证明：Sn=+=1+，当 n=2 时，S22=1+2=2=成立；假设 n=k2，都有 Sk22+则 n=k+1 时，Sk+12=Sk+2，Sk+122+=Sk+22+2=Sk22+22=Sk22+，由 k1 可得0，-且 Sk22+可得 Sk22+0，则 Sk+122+恒成立 综上可得，对于一切 n2，都有 Sn22+22数列an满足 a1=1，an+1=，nN*1求证：an1；2求证

35、：|a2nan|【解答】证明：1用数学归纳法证明：当 n=1 时，=，成立；假设当 n=k 时，有成立，则当 n=k+1 时，1，=，当 n=k+1 时，命题也成立 由得an1 2当 n=1 时，|a2a1|=，当 n2 时，=1+=，|an+1an|=|=|anan1|n1|a2a1|=，|a2na2n1|a2na2n1|+|a2n1a2n2|+|an+1an|=n12n1，综上：|a2nan|-23数列an的前 n 项和记为 Sn，且满足 Sn=2ann，nN*求数列an的通项公式；证明：+nN*【解答】解：Sn=2annnN+，Sn1=2an1n+1=0n2，两式相减得：an=2an1+

36、1，变形可得：an+1=2an1+1，又a1=2a11，即 a1=1，数列an+1是首项为 2、公比为 2 的等比数列，an+1=22n1=2n，an=2n1 由，k=1，2，n，=，由=，k=1，2，n，得=，综上，+nN*24数列an满足：a1=，an+1=+annN*1求证：an+1an；2求证：a20171；3假设 ak1，求正整数 k 的最小值【解答】1证明：an+1an=0，可得 an+1an a1=，an an+1an=0，an+1an-II证明：由=，=，由=，=，=，累加求和可得：=+，当 k=2017 时，由I可得：=a1a2a2016=+1，a20171 III解：由II

37、可得：可得：=a1a2a2016a20171=+2017=1，a20171a2018，又an+1ank 的最小值为 2018 25数列an满足：an2anan+1+1=0，a1=2 1求 a2，a3；2证明数列为递增数列；3求证：1【解答】1解：a1=2，a2=222+1=3，同理可得：a3=7 2证明：，对 nN*恒成立，an+1an 3证明：故=26数列an满足：a1=1，nN*求证：an1；证明：1+-求证：an+1n+1【解答】证明：I数列an满足：a1=1，nN*，可得：，an+1anan1a1=1；由可得：；，由得：，所以，累加得：，另一方面由 ann 可得：原式变形为，所以：，累

38、加得 27在正项数列an中，a1=1，且满足 an+1=2annN*求 a2，a3；证明an【解答】解：在正项数列an中，a1=1，且满足 an+1=2annN*，=，=证明：当 n=1 时，由，成立；-假设当 n=k 时，不等式成立，即，f*=2*在0，+上是增函数，=k+k=k+=k+，k1，2k33=0，即当 n=k+1 时，不等式也成立 根据知不等式对任何 nN*都成立 28设数列an满足 1证明：；2证明：【解答】此题总分值15 分 证明：I易知 an0，所以 an+1an+an，所以 ak+1=ak+ak+，所以 所以，当n2时，=-，所以 an1 又，所以 an1nN*，所以 a

39、nan+11nN*8 分 II当 n=1 时，显然成立 由 an1，知，所以，所以，所以，所以，当 n2 时，=，即 所以nN*7 分 29数列an满足 a1=2，an+1=2Sn+n+1 nN*，令 bn=an+1 求证：bn是等比数列；记数列nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn；求证：+【解答】I证明：a1=2，an+1=2Sn+n+1 nN*，a2=22+1+1=8 n2 时，an=2Sn1+n，相减可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3an+1，n=1 时也成立 令 bn=an+1，则 bn+1=3bnbn是等比数列，首项为3，公比为 3 II解：由I可得：bn=3n

40、数列nbn的前 n 项和 Tn=3+232+333+n3n，3Tn=32+233+n13n+n3n+1，2Tn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=3n+1，解得 Tn=+III证明：bn=3n=an+1，解得 an=3n1 由=-+=，因此左边不等式成立 又由=，可得+=因此右边不等式成立 综上可得：+30数列an中，a1=3，2an+1=an22an+4 证明：an+1an；证明：an2+n1；设数列的前 n 项和为 Sn，求证：1nSn1【解答】证明：Ian+1an=an=0，an+1an3，an220 an+1an0，即 an+1an；II2an+14=an22an=anan2=，a

41、n2an122an223an32n1a12=n1，an2+n1；2an+12=anan2，=，=+，Sn=+=+=1，-an+12n，0n，1nSn=11 31数列an满足 a1=，an+1=，nN*1求 a2；2求的通项公式；3设an的前 n 项和为 Sn，求证：1nSn【解答】1解：a1=，a，nN+a2=2解：a1=，a，nN+=，化为：1=，数列是等比数列，首项与公比都为 1=，解得=1+3证明：一方面：由2可得：an=Sn+=，因此不等式左边成立 另一方面：an=，Sn+=3n3 又 n=1，2 时也成立，因此不等式右边成立-综上可得：1nSn 32数列an中，a1=1，an=1证明

42、：anan+1；2证明：anan+12n+1；3设 bn=，证明：2bnn2 【解答】证明：1数列an中，a1=1，an=可得 an0，an2=anan+12，可得 an+1=an+an，即 anan+1；2由1可得 anan1an2=anan+12，可得 anan+1anan12，n=1 时，anan+1=a12+2=3，2n+1=3，则原不等式成立；n2 时，anan+13+2n1=2n+1，综上可得，anan+12n+1；3bn=，要证 2bnn2，即证 2an，只要证 4nan25n，由 an+1=an+，可得 an+12=an2+4+，且 a2=3，an+12an2=4+4，且 4+

43、4+=4+=，即有 an+12an24，由 n=2，3，累加可得-an2a224n2，即有 an24n+1，4n，5n，故 2bnn2 33数列an满足，1假设数列an是常数列，求 m 的值；2当 m1 时，求证：anan+1；3求最大的正数 m，使得 an4 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论【解答】解：1假设数列an是常数列，则，得显然，当时，有 an=1 3 分 2由条件得，得 a2a15 分 又因为，两式相减得 7 分 显然有 an0，所以 an+2an+1与 an+1an同号，而 a2a10，所以 an+1an0，从而有 anan+19 分 3因为，10 分 所以 an=a1+a

44、2a1+anan11+n1 m2 这说明，当 m2 时，an越来越大，显然不可能满足 an4 所以要使得 an4 对一切整数 n 恒成立，只可能 m212 分 下面证明当 m=2 时，an4 恒成立用数学归纳法证明：当 n=1 时，a1=1 显然成立 假设当 n=k 时成立，即 ak4，则当 n=k+1 时，成立 由上可知 an4 对一切正整数 n 恒成立 因此，正数 m 的最大值是 215 分 34数列an满足：，p1，1证明：anan+11；-2证明：；3证明：【解答】证明：1先用数学归纳法证明 an1 当 n=1 时，p1，；假设当 n=k 时，ak1，则当 n=k+1 时，由可知 an

45、1 再证 anan+1，令 f*=*1*ln*，*1，则 f*=ln*0，所以 f*在1，+上单调递减，所以 f*f1=0，所以，即 anan+1 2要证，只需证，只需证其中 an1，先证，令 f*=2*ln*2+1，*1，只需证 f*0 因为 f*=2ln*+22*2*1+22*=0，所以 f*在1，+上单调递减，所以 f*f1=0 再证an+1lnan2an+20，令 g*=*+1ln*2*+2，*1，只需证 g*0，-令，*1，则，所以 h*在1，+上单调递增，所以 h*h1=0，从而 g*0，所以 g*在1，+上单调递增，所以 g*g1=0，综上可得 3由2知，一方面，由迭代可得，因为

46、 ln*1，所以，所以 lna1a2an=lna1+lna2+lnan=；另一方面，即，由迭代可得 因为，所以，所以=；综上，35数列an满足 a1=，an+1an+anan+1=0nN*求数列an的通项公式；求证：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1【解答】解：由可得数列an各项非零 否则，假设有ak=0 结合 akak1+akak1=0ak1=0，-继而ak1=0ak2=0a1=0，与矛盾 所以由 an+1an+anan+1=0 可得 即数列是公差为 1 的等差数列 所以 所以数列an的通项公式是nN*证明一：因为 所以 a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an=所以 a1+a1

47、a2+a1a2a3+a1a2an1 证明二：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an=所以 a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1 36数列an满足 a1=1，an+1=an2+p 1假设数列an就常数列，求 p 的值；2当 p1 时，求证：anan+1；3求最大的正数 p，使得 an2 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论【解答】解：1假设数列an是常数列，则，；显然，当时，有 an=1 2由条件得得 a2a1，又因为，两式相减得 显然有 an0，所以 an+2an+1与 an+1an同号，而 a2a10，所以 an+1an0；从而有 anan+1 3因为，所以 an=a1+a2a

48、1+anan11+n1 p1，这说明，当 p1 时，an越来越大，不满足 an2，所以要使得 an2 对一切整数 n 恒成立，只可能 p1，下面证明当 p=1 时，an2 恒成立；用数学归纳法证明：-当 n=1 时，a1=1 显然成立；假设当 n=k 时成立，即 ak2，则当 n=k+1 时，成立，由上可知对一切正整数 n 恒成立，因此，正数 p 的最大值是 1 37数列an满足 a1=a4，nN*1求证：an4；2判断数列an的单调性；3设 Sn为数列an的前 n 项和，求证：当 a=6 时，【解答】1证明：利用数学归纳法证明：当 n=1 时，a1=a4，成立 假设当 n=k2 时，ak4，

49、则 ak+1=4 n=k+1 时也成立 综上可得：nN*，an4 2解：，nN*=2an8=94129=0，anan+1 数列an单调递减 3证明：由2可知：数列an单调递减 一方面 Sna1+4n1=4n+2 另一方面：=，an4，Sn4n即 Sn4n+当 a=6 时，38数列an满足 a1=1，an+1=-求证：an+1an；求证：an【解答】解：证明：由 a1=1，an+1=，得 an0，nN，则 an+1an=an=0，an+1an；证明：由知 0an1，又 an+1=，=，即 an+1an，anan12an12an1n1a1=，即 an 由 an+1=，则=an+，=an，=a1=1

50、，=a2=，=a3=2=an1n2，累加得=1+2+n2=2n2，而 a1=1，3n2=，an 综上得an 39数列an满足：a1=1，1假设 b=1，证明：数列是等差数列；2假设 b=1，判断数列a2n1的单调性并说明理由；3假设 b=1，求证：-【解答】解：1证明：当 b=1，an+1=+1，an+112=an12+2，即an+112an12=2，an12an112=2，数列an12是 0 为首项、以 2 为公差的等差数列；2当 b=1，an+1=1，数列a2n1单调递减 可令 an+1an，可得 1+an=，可得 an，即有 ann=2，3，再令 f*=1，可得 在，1上递减，可得a2n