高考压轴题之数列.docx

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考压轴题之数列高考压轴题之数列数列及其通项例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，），则它的通项公式是= 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.解法一： 由条件,可得,(负值舍去)由此可猜想.解法二： 由,可得因为,所以故只有,即所以=链接 形如的递归式,其通项

2、公式求法为：形如的递归式,其通项公式求法为：例2 . 已知an = ( nN* )，则在数列an 的前20项中，最大项和最小项分别是() A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 . 分析 因为an =1+ 所以a1,a2 ,a9 组成递减数列，a1最大，a10最小;a10,a11 ,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算a1 a10, a9 a20.所以在数列 an 前20项中，最大项为a10，最小项为a9，故选B.说明要确定数列 an 的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差

3、数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数都有成立.【答案】解：（I）当时，由，即。 又。（II）设数列an的公差为d，则在中分别取=1，2,得。解得。若成立；若故所得数列不符合题意。若；若。综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，。【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。（）设数列an的公差为d，在 Sn2=(Sn)2中分别取=1，2求得，代入到前n

4、项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案。例2 OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),（）求及;（）证明 ()若记证明是等比数列分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力 利用图形及递推关系即可解决此类问题解 ()因为，所以，又由题意可知 =为常数列()将等式两边除以2，得 又 , （）= = 又 是公比为的等比数列 说明 本题符号较多，有点列

5、Pn，同时还有三个数列an，yn ， bn，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分例3设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数求A与B的值；（2分）证明：数列为等差数列；（6分）证明：不等式对任何正整数都成立（6分）【答案】解：（1）由已知，得，由，知，即，解得。（2）由（1）得 得， 得 。，。 ， 。 ，。又 ，数列为等差数列。（3）由（2） 可知，要证，只要证。因为，故只要证，即只要证。因为 ，由

6、于以上过程是可逆的，所以命题得证。【考点】数列的应用。【分析】（1）由题意知，从而解得A=20，B=8。（2）由（）得，所以在式中令，可得由此入手能够推出数列an为等差数列。（3）由（2）可知，然后用分析法可以使命题得证。例4.已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）【答案】解：设的公差为，由，知，（）（1）证：，。（2）证：，且，解得，或，但，。

7、是正整数，是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。， 。若，则，那么。当时，只要考虑的情况，是正整数。是正整数。数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2。设，则2。令，则。，解得。即存在使得中有三项成等差数列。【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【分析】（1）设的公差为，由，把代入，即可表示出，题设得证。（2）利用，可得，整理即可求得，从而可判定是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。（3）设

8、数列中有三项成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设，从而可得以2，令，求得。例5.（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【答案】解：（1）（i）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得。若删去，则，即化简得，得。综上，得或。（ii）当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，

9、即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。综上所述，。（2）假设对于某个正整数，存在一个公差为d的项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0。当与同时为0时，有与题设矛盾；故与同时不为0，所以由（*）得。，且x、y、z为整数，上式右边为有理数，从而为有理数。对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如项数列1

10、，满足要求。【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质【分析】（1）根据题意，对=4，=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，从而推广到4的所有情况（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。数列的求和本节主要内容有Sn与an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等1.重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)2.数列an前n 项和Sn与通项an的关系式：an=3. 在等差数列中

11、Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 5.错项相消法6.并项求和法例1. 已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列（I）证明 12S3，S6，S12S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n2分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后写出12S3，S6，S12S6，并证明它们构成等比数列对于第(2)问，由于 Tn=a

12、1+2a4+3a7+na3n2所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题解 （）证明 由成等差数列， 得，即 变形得 所以（舍去）由 得 所以12S3，S6，S12S6成等比数列 （）解：即 得： 所以 说明 本题是课本例题：“已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列an是等比数列，Sn是其前 n项的和，a1，a7，a4 成等差数列，求证2 S3，S6，S12S6成等比数列”的改编 例2 设（1）令求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.分析 利用已知条件找与的关系,再利用等

13、差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.解 （1）因 故bn是公比为的等比数列，且（2）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.数列的递推本节主要内容两个基本递推：an1and，anqan；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推1基本概念：递归式：一个数列中的第项与它前面若干项，（）的关系式称为递归式递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列2常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等3思想策略：构造新数列的思想4常见类型： 类型：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法

14、：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列形如的递归式,其通项公式求法为：来源:Zxxk.Com形如的递归式,其通项公式求法为： 形如的递推式,两边同除以得,令则句可转化为来处理.例1 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是( )11yxO11yxO11yxO11yxO（A）（）（）（）分析 利用递推式意义及数形结合,分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断解 由，得，即，故选A 例2已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式 分析 由于给出两个递推关系与

15、奇数项、偶数项有关,因此因从奇数项或偶数项之间的关系入手.解（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13 (II) a2k+1=a2k+3k= a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1) 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+

16、(1)k=(1)k=1 an的通项公式为： 当n为奇数时，an=当n为偶数时， 说明 这种给出递推关系,求通项公式问题,一般是转化为等差数列或等比数列,或者通过观察、归纳,或者通过顺次迭代,以求通项公式.例3设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列（）试求的关系，并求的通项公式；（）当时，证明（）当时，证明【答案】解：（）， 。 。 。（）证明：由a=1知 。当 时，。（）证明：由（）知，当a=1时， = 。【考点】数列递推式，不等式的证明。【分析】（）根据，的坐标求得，从而通过公式法求得的通项公式。（）把a=1代入，根据可推断。由于

17、当时，从而可知。（）由（）知，当a=1时，代入中，从而根据证明原式。例4设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数属于M，当时，都成立.（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式.【答案】解：（1）由题设知，当时，即，。又，当时，的值为8。(2) 由题设知, 当，且时，且，两式相减得，即，当时，成等差数列，且也成等差数列。当时， ，且。 当时，即。当时，成等差数列，从而。由式知，即。当时，设，当时，从而由式知，从而，。，对任意都成立。又由（可知，且。解得。，。数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为。【考点】数列递推式，数列与函数的综合。【分析】（1

18、）由集合M的元素只有一个1，得到=1，所以当大于1即大于等于2时，都成立，变形后，利用化简，得到当大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）由，利用数列递推式得到，从而求出，得到数列的通项公式。例5设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，（1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求【答案】解：（1）点的坐标满足条件，。（2）设为正整数，记为满足条件以及的点的个数。只要讨论的情形。由,知，且,设，其中，则，将代入上式，化简得，。【考点】计数原理，数列递推式。【分

19、析】（1）为满足的点P 的个数，显然的坐标的差值，与中元素个数有关，直接写出的表达式即可。（2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点的个数，讨论1的情形，推出，根据的范围 ，说明是3的倍数和余数，然后求出。例6已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。-