高考数学异构异模复习第八章立体几何课时撬分练8-5空间向量与立体几何理.DOC

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1、120182018 高考数学异构异模复习考案高考数学异构异模复习考案 第八章第八章 立体几何立体几何 课时撬分练课时撬分练 8.58.5 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 理理时间：45 分钟基础组1.2016枣强中学猜题若直线l的方向向量为a a(1，1，2)，平面的法向量为u u(2,2，4)，则( )Al BlCl Dl与斜交答案 B解析 因为直线l的方向向量a a(1，1,2)与平面的法向量u u(2,2，4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选 B.22016衡水中学期中正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为( )AM1 2MC1MNA

2、.a B.a21666C.a D.a156153答案 A解析 MNMAABBN1 3AC1ABBN ()1 3ABADAA1AB1 2AA1，2 3AB1 6AA11 3AD|MN(2 3AB16AA113AD)2a.21 36a221632016武邑中学期中平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案 C解析 由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直42016衡水中学期末如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱2ABCA1B1C1，CACC12CB，则

3、直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A. B.5553C. D.2 553 5答案 A解析 设CB1，则CACC12，故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，则(0,2，1)，(2,2,1)，BC1AB1cos，BC1AB1BC1AB1|BC1|AB1|33 555即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选 A.555.2016冀州中学猜题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为( )A. B.222C. D21 2答案 B3解析 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为

4、1，则点C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F，E，(1 2，1，1 2)(1，1 2，0)EF(1 2，1 2，1 2)(0,0,1)为底面的一个法向量，DD1cos，EFDD1EFDD1|EF|DD1|1333所以EF和平面ABCD所成角的正弦值为sin，tan.故选 B.33sin cos2262016武邑中学仿真过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为( )A30 B45C60 D90答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,

5、1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AECD，4又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而， ADAE(0，1 2，1 2)ADAE45，平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为 45.72016衡水中学模拟若平面的一个法向量为n n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_答案 4 1133解析 设l与所成角为，则 sin|cosn n，a a|.|n na a| |n n|a a|833|1611 4994 113382016冀州中学

6、期中已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点A1到截面AB1D1的距离是_答案 4 3解析 如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，AD1AB1AA1设平面AB1D1的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!解得x2z且y2z，不妨设n n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d.则d .|AA1n n|n n|4 392016衡水中学仿真已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，

7、D是棱AA1的中点如图所示5(1)求证：DC1平面BCD；(2)求二面角ABDC的大小解 (1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系由题意，可得点C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)于是，(2,0,2)，(2,0，2)，(2，2，2)DC1DCDB可算得0，0.DC1DCDC1DB因此，DC1DC，DC1DB.又DCDBD，所以DC1平面BDC.(2)设n n(x，y，z)是平面ABD的法向量，则Error!又(2,2,0)，(0,0,2)，ABAD所以Error!取y1，可得Error!即平面ABD的一个法向量是n n(

8、1,1,0)由(1)知，是平面DBC的一个法向量，DC1记n n与的夹角为，DC16则 cos ，.n nDC1|n n|DC1|1 22 3结合三棱柱可知，二面角ABDC是锐角，故所求二面角ABDC的大小是. 310. 2016枣强中学预测如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2 的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点2(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C；(3)求二面角BAB1C的大小解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)，D1(0,0，)，2(1，1，)，OD12又点B(2,2,0)，M

9、(1,1，)，2(1，1，)，BM27，又OD1与BM不共线，OD1BMOD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)证明：连接OB1，(1，1，)(1,1，)OD1OB1220，(1，1，)(2,2,0)0，OD1AC2，即OD1OB1，OD1AC，OD1OB1OD1AC又OB1ACO，D1O平面AB1C.(3)CBAB，CBBB1，CB平面ABB1，(2,0,0)为平面ABB1的一个法向量BC，OD1OB1OD1AC(1，1，)为平面AB1C的一个法向量OD12cos， ，BCOD1BCOD1|BC|OD1|2 2 21 2与的夹角为 60，即二面角BAB1C

10、的大小为 60.BCOD1112016冀州中学一轮检测如图 1，在 RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图 2 所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由解 (1)证明：因为平面ABD平面BCD，交线为BD，8又在ABD中，AEBD于点E，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由(1)中AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，又AEBD，如图，以E为坐标原点，分别以E

11、F，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz，不妨设ABBDDCAD2，则BEED1.由图 1 条件计算得AE，BC2，BF，则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，3333A(0,0，)，F，C(，2,0)，(，1,0)，(0,1，)由AE平面3(33，0，0)3DC3AD3BCD可知平面DCB的法向量为，(0,0，)，EAEA3设平面ADC的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!令z1，则y，x1，所以n n(1， ，1)33因为平面DCB的法向量为，EA所以 cosn n， .EAEAn n|EA|n n|55所以二面角ADCB

12、的余弦值为.55(3)设，其中0,1AMAF由于，AF(33，0， 3)所以，其中0,1AMAF(33，0， 3)所以.EMEAAM(33，0，1 3)由n n0，即(1)0，解得 (0,1)所以在线段AF上存在点EM3333 49M使EM平面ADC，且 .AM AF3 4122016武邑中学一轮检测如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)求证：D1EA1D；(2)当E点为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；(3)AE为何值时，二面角D1ECD的大小为？ 4解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，

13、A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)E在棱AB上移动，设E(1，a,0)，0a2.(1，a，1)，(1,0，1)，0，D1EA1D.D1EA1DD1EA1D(2)设平面ACD1的法向量为m m(x，y，z)，点E到平面ACD1的距离为h.(1,2,0)，(1,0,1)，ACAD1Error!令y1，则m m(2,1,2)又E(1,1,0)，(1，1,0)，CECE与平面ACD1所成角的正弦值为，h| .|m mCE|m m|CE|13 226CE261 3(3)设平面D1EC的法向量为n n(x1，y1，z1)，10(1，a，1)，(0

14、,2，1)，D1ED1CError!令y11，得n n(2a,1,2)易知平面ECD的一个法向量为(0,0,1)，DD1则|cosn n，|，可得a2或a2(不符合，舍去)，DD122a252233当AE2时，二面角D1ECD的大小为.3 4能力组132016武邑中学月考如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成 30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明 以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，

15、PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC2，PB4，3D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，3311P(0,0,2)，M，(32，0，32)(0，1,2)，(2，3,0)，.DPDA3CM(32，0，32)(1)设n n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由Error!得Error!令y2，得n n(，2,1)3n n201 0，CM3323 2n n.又CM平面PAD，CMCM平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)3BE3PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA33，BEDA.BEDA又PA

16、DAA，BE平面PAD.又BE 平面PAB，平面PAB平面PAD.142016衡水中学热身在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.212(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解 (1)证明：由题意 tanABD，tanAB1B，AD AB22AB BB122注意到 0ABD，AB1B， 2所以ABDAB1B.所以ABDBAB1AB1BBAB1.所以AB1BD. 2又CO侧面ABB1A1，所以AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1面CBD.又因为BC面CBD

17、，所以BCAB1. (2)如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，(0，33，0)(63，0，0)(0，0，33)B1，D.又因为2，所以C1.(0，2 33，0)(66，0，0)CC1AD(63，2 33，33)所以，AB(63，33，0)，.AC(0，33，33)DC1(66，2 33，33)设平面ABC的法向量为n n(x，y，z)，则根据n n0，n n0 可得n n(1， ，)是平面ABC的一个法向量，设直线ABAC22C1D与平面ABC所成角为.13则 sin.|DC1n n|DC1|n n|3 555515

18、2016冀州中学期末如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1中点(1)求证：CE平面A1B1C1；(2)求二面角B1AC1C的大小解 (1)证明：由题知AA1平面ABC，BB1平面ABC，CC1平面ABC，AA1BB1CC1.如图，取A1B1中点F，连接EF，FC1，E为AB1中点，EF綊A1A.AA14，CC12，1 2CC1綊A1A，1 2EF綊CC1，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F.CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1.(2)由题知，ABB

19、C，又BB1平面ABC，BB1AB，BB1BC，分别以BA，BC，BB1所14在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，(2,2,0)，(0,0,2)，(2,0,4)，(0,2，2)ACCC1AB1B1C1设平面ACC1的法向量为m m(x1，y1，z1)，则m m0，m m0，ACCC1Error!，令x11，得m m(1,1,0)，设平面AB1C1的法向量为n n(x2，y2，z2)，则n n0，n n0，AB1B1C1Error!令z21，得Error!n n(2,1,1)cosm m，n n.由图知

20、，二面角B1AC1C是钝角，m mn n |m m|n n|32二面角B1AC1C的大小为 150.16. 2016衡水中学预测在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图所示，把ABD沿BD翻折，使得平面2ABD平面BCD，如图所示(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求DM与平面ACD所成角的正弦值；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为 60？若存在，求出的值；若不存在，说明理由BN BC解 (1)证明：由已知条件可得，BD2，CD2，又BD2CD2BC2，CDBD.平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面AB

21、D.AB平面ABD，CDAB.15(2)以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则各相关点的坐标为A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1,1,0)CDADMCDM设平面ACD的法向量为n n(x，y，z)，则n n，n n，Error!CDAD令x1，得平面ACD的一个法向量为n n(1,0，1)若DM与平面ACD所成的角为，则DM与平面ACD所成角的正弦值为 sin|cosn n，| .DM|n nDM|n n|DM|1 2(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为 60.设，01，则N(22，2，0)，(12，2，1)BNBCAN平面ACD的一个法向量为n n(1,0，1)，且直线AN与平面ACD所成的角为 60，sin60，整理得 82210， 或 (舍去)|ANn n|AN|n n|321 41 2综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成的角为 60，此时 .BN BC1 4