高考数学异构异模复习第八章立体几何8-5-1空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直撬题理.DOC

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1、120182018 高考数学异构异模复习考案高考数学异构异模复习考案 第八章第八章 立体几何立体几何 8.5.18.5.1 空间向量空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直撬题的运算及利用空间向量证明平行与垂直撬题 理理1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)， 遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1 次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2,3,4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )答案 C解析 由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处

2、在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为yx，与直线DC的方程y7 联立得F.由两点间的距离公式3 4(28 3，7，0)得E1F ，tanE2E1FtanEAE1，E2FE1FtanE2E1F4.E2F11248.5 312 5 .故选 C.L3 L4E1E2 E2E3E2F E2F14 81 222已知e e1，e e2是空间单位向量，e e1e e2 .若空间向量b b满足b be e12，b be e2 ，1 25 2且对于任意x，yR R，|b b(xe e1ye e2)|b b(x0e e1y0e e2)|1(x0，y0R R)，则x0_，y0_，|b b|_.答案 1 2 22解析

3、 e e1，e e2是单位向量，e e1e e2 ，cose e1，e e2 ，又0e e1，e e21 21 2180，e e1，e e260.不妨把e e1，e e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e e1(1,0,0)，则e e2，再设b b(m，n，r)，由b be e12，b be e2 ，得(1 2，32，0)OB5 2m2，n，则b b(2， ，r)而xe e1ye e2是平面xOy上任一向量，由|b b(xe e1ye e2)33|1 知，点B(2， ，r)到平面xOy的距离为 1，故可得r1.则b b(2， ，1)，|b b|233.又由|b b(xe e1ye

4、e2)|b b(x0e e1y0e e2)|1 知x0e e1y0e e2(2， ，0)，解得23x01，y02.3如下图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积3 73解 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0

5、,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P，.又(3,0,6)，(0，9 2，3)PQ(6，m9 2，3)AB1于是18180，所以，即AB1PQ.AB1PQAB1PQ(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向DQDD1量设n n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则Error!即Error!取y6，得n n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n n2(0,0,1)，所以 cosn n1，n n2n n1n n2 |n n1|n n2|31 6m26232.而二面角PQDA的余弦值为

6、 ，因此 ，解得36m2453 736m2453 7m4，或m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设(00，(34，34，0)则(，0，a)，.AP3MP(34，34，a)因为MPAP，故0，MPAP5即 a20，所以a，a(舍去)，即PO.3 4323232(2)由(1)知，.AP( 3，0，32)MP(34，34，32)CP(3，0，32)设平面APM的法向量为n n1 1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n n2 2(x2，y2，z2)，由n n1 10，n n1 10，得APMPError!故可取n n1 1，(1，5 33，2)由n n2 20，n n2 20，得MPCPErro

7、r!故可取n n2 2(1，2)，3从而法向量n n1 1，n n2 2的夹角的余弦值为 cosn n1 1，n n2 2，n n1 1n n2 2 |n n1 1|n n2 2|155故所求二面角APMC的正弦值为.1055如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，ADAE，且PAAB，ADAE1.2(1)证明：PA平面ABCD；(2)求二面角BECD的正弦值解 (1)证明：PAAB，E为PB的中点，AEPB.在 RtPAE中，PE1，PA2AE2 2212PB2PE2.又PAAB，PA2AB2PB2，PAAB.2又ADAE，ADAB，AD平面PAB，ADPA，PA平面

8、ABCD.(2)以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知P(0,0，)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，E，222(22，0，22)6则，(，0,0)，.AE(22，0，22)DC2DE(22，1，22)ADAE，ADBC，AEBC.由(1)知，AEPB，AE平面PBC.故为平面BEC的一个法向量AE(22，0，22)设平面DEC的法向量为n n(x，y，z)，则Error!，即Error!.可取n n(0,1，)2从而 cosn n， .AEn nAE|n n|AE|2 223 133故二面角BECD的正弦值为.63