高考数学大一轮复习高考专题突破一高考中的导数应用问题教师用书.doc

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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破一高精选高考数学大一轮复习高考专题突破一高考中的导数应用问题教师用书考中的导数应用问题教师用书1若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)上单调递增，则 k 的取值范围是( )A(，2 B(，1C2，) D1，)答案 D解析 由于 f(x)k，f(x)kxln x 在区间(1，)上单调递增f(x)k0 在(1，)上恒成立由于 k，而 00 时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，2 / 13所以由题意知 f()3，故选 D.3(2016全国甲卷)若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线

2、 yln(x1)的切线，则 b_.答案 1ln 2解析 yln x2 的切线为 yxln x11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为 yxln(x21)(设切点横坐标为 x2)，Error!解得 x1，x2，bln x111ln 2.4设函数 f(x)，g(x)，对任意 x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数 k 的取值范围是_答案 1，)解析 因为对任意 x1，x2(0，)，不等式恒成立，所以.因为 g(x)，所以 g(x)e2x(1x)当 00；当 x1 时，g(x)0)当且仅当 e2x，即 x时取等号，故 f(x)min2e.3 / 13所以，应有，又 k0，所以 k1.题型一

3、 利用导数研究函数性质例 1 (2015课标全国)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x时，f(x)0；当 x时，f(x)0.所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(0，)无最大值；当 a0 时，f(x)在 x取得最大值，最大值为 flnaln aa1.因此 f2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(

4、a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)0；当 a1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值已知f(x)的单调性，可转化为不等式 f(x)0 或 f(x)0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导4 / 13函数图象的性质进行分析已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex (xR，e 为自然对数的底数)(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在(1,1)上单调递增，求 a 的取值范围解 (

5、1)当 a2 时，f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令 f(x)0，即(x22)ex0，因为 ex0，所以x220，解得0，所以x2(a2)xa0 对 x(1,1)都成立，即 ax121 x1(x1)对 x(1,1)都成立令 y(x1)，则 y10.所以 y(x1)在(1,1)上单调递增，所以 y0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解 函数的定义域为(0，)由 f(x)kln x(k0)，得f(x)x.由 f(x)0，解得 x(负值舍去)f(x)与 f(x)在区

6、间(0，)上随 x 的变化情况如下表：x(0，)kk(，)kf(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在 x处取得极小值 f().(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f().因为 f(x)存在零点，所以0，从而 ke，当 ke 时，f(x)在区间(1，上单调递减且 f()0，所以 x是 f(x)在区间(1，上的唯一零点当 ke 时，f(x)在区间(0，)上单调递减且 f(1)0，f()0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x

7、)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0.7 / 13所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上，g(x)0 在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点题型三 利用导数研究不等式问题例 3 已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x(0，)，都有 ln x成立(1)解 对任意 x(0，)，有2xln xx2ax3，则 a2ln xx，设 h(x)2ln xx(x0)，则 h(x)，当 x

8、(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.因为对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x)min4.(2)证明 问题等价于证明xln x(x(0，)f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当 x时取到，设 m(x)(x(0，)，则 m(x)，易知 m(x)maxm(1)，当且仅当 x1 时取到8 / 13从而对一切 x(0，)，都有 ln x成立思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解已知函数 f(

9、x)x32x2xa，g(x)2x，若对任意的 x11,2，存在 x22,4，使得 f(x1)g(x2)，则实数a 的取值范围是_答案 ，解析 问题等价于 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集，显然，g(x)单调递减，g(x)maxg(2)，g(x)ming(4)；对于 f(x)，f(x)3x24x1，令 f(x)0，解得 x或 x1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：x1(1， )1 31 3( ，1)1 31(1,2)2f(x)00f(x)a4a4 27aa2f(x)maxa2，f(x)mina4，a，.1已知函数 f(x)ln x，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(

10、1，f(1)处的切线垂直于直线 yx.9 / 13(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解 (1)对 f(x)求导得 f(x)，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 yx，知 f(1)a2，解得 a.(2)由(1)知 f(x)ln x，则 f(x).令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)2已知函数 f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a 为实数)(1)当 a5 时，求函数 yg(x)

11、在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值解 (1)当 a5 时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又 g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为 g(1)4e.所以切线方程为 ye4e(x1)，即 4exy3e0.10 / 13(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0， )1 e1 e( ，)1 ef(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当 t时，在区间t，t2上 f(x)为增函数，所以 f(x)minf(t)tln t.当 01 时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1

12、b，f(0)11 时曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，)4(2016四川)设函数 f(x)ax2aln x，其中 aR.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)e1x 在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解 (1)f(x)2ax(x0)当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0，有 x.此时，当 x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令 g(x)，s(x)ex1x.12 / 13则 s(x)ex11.而当 x1 时，s(x)0，所以

13、s(x)在区间(1，)内单调递增又由 s(1)0，有 s(x)0，从而当 x1 时，g(x)0.当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0.当 01.由(1)有 f0，所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当 a时，令 h(x)f(x)g(x)(x1)当 x1 时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立综上，a.5(2016杭州四校联考)已知函数 f(x)aln(x1)x2x，其中 a 为非零实数(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 yf(x)有两个极值点 x1，x2，且 x11，当 a10，即 a1 时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增，当 01，x2，f(x)在区间(1，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增当 a0fx2 x1aln(x21)xx20(1x)ln(x21)xx20(x21)(1x2)ln(x21)x2(x21)0(1x2)ln(x21)x20，令 g(x)(1x)ln(x1)x，x(0,1)，g(x)ln(x1)0，g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)g(0)0.故原命题得证