高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书.doc

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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书中的立体几何问题教师用书1多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A. B2 C. D.10 3答案 D解析 由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体，该三棱柱的体积为2224，三棱锥的体积为221，所以该几何体的体积为 4，故选 D.2正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 BC 中点，E 为 A1C1 中点，则 DE与平面 A1B1BA 的位置关系为( )A相交 B平行C垂直相交 D不确定答案 B解析 如图取 B1C

2、1 中点为 F，连接 EF，DF，DE，则 EFA1B1，DFB1B，平面 EFD平面 A1B1BA，DE平面 A1B1BA.3(2016沈阳模拟)设 ， 是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)2 / 13答案 或解析 由线面平行的性质定理可知，正确；当 b，a 时，a和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.4在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，则直线 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于_答案 2 3解析

3、以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12AB2，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面 BDC1 的法向量为 n(x，y，z)，则 n，n，则令 y2，得平面 BDC1 的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 ，则 sin |cosn， |.题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H，将DEF 沿EF 折到

4、DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥 DABCFE 的体积(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF 得，故ACEF，由此得 EFHD，折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即EFHD，所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得.由 AB5，AC6 得 DOBO4，3 / 13所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2)2129DH2，故 ODOH.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 DHD，于是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由得 EF.五边形 ABCFE 的面积

5、S683.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V2.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解正三棱锥的高为 1，底面边长为 2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.S 侧329.S 表S 侧S

6、底9(2)296.4 / 13(2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O，连接 OP，OA，OB，OC，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r. VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS 侧rSABCrS 表r(32)r.又 VPABC(2)212，(32)r2，得 r2.S 内切球4(2)2(4016).V 内切球(2)3(922).题型二 空间点、线、面的位置关系例 2 (2016济南模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求

7、证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 EABC 的体积(1)证明 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC.因为 AB平面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，BCBB1B，所以 AB平面 B1BCC1.又 AB平面 ABE，所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明 方法一 如图 1，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，5 / 13所以 FGAC，且 FGAC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形，所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE，C1F

8、平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.方法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HFAB，又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1 綊 AH，所以四边形 EAHC1 为平行四边形，所以 C1HAE，又 C1HHFH，AEABA，所以平面 ABE平面 C1HF，又 C1F平面 C1HF，所以 C1F平面 ABE.(3)解 因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB.所以三棱锥 EABC 的体积VSABCAA112.思维升华 (1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问

9、题转化为“线线垂直”问题证明 C1F平面 ABE：()利用判定定理，关键是在平面 ABE 中找(作)出直线 EG，且满足 C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面6 / 13平行，则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化(2016南京模拟)如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.证明 (1)由 A

10、SAB，AFSB 知 F 为 SB 中点，则 EFAB，FGBC，又 EFFGF，ABBCB，因此平面 EFG平面 ABC.(2)由平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC，则 AFBC.又 BCAB，AFABA，则 BC平面 SAB，又 SA平面 SAB，因此 BCSA.题型三 空间角的计算例 3 (2016金华十校调研)如图，在矩形 ABCD 中，已知AB2，AD4，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE1，BF3，将四边形 AEFB 沿 EF 折起，使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上(1)求证：

11、CDBE；(2)求线段 BH 的长度；(3)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值(1)证明 BH平面 CDEF，BHCD，又 CDDE，BHDEH，7 / 13CD平面 DBE，CDBE.(2)解 方法一 设 BHh，EHk，过 F 作 FG 垂直 ED 于点 G，线段 BE，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得Error!Error!解得Error!线段 BH 的长度为 2.方法二 如图，过点 E 作 ERDC，过点 E 作 ES平面 EFCD，分别以直线 ER，ED，ES 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设点 B(0，y，z)(y0，z0)，由于 F(2,2,0)，B

12、E，BF3，解得于是 B(0,1,2)，线段 BH 的长度为 2.(3)解 方法一 延长 BA 交 EF 于点 M，AEBFMAMB13，点 A 到平面 EFCD 的距离为点 B 到平面 EFCD 距离的，点 A 到平面 EFCD 的距离为，而 AF，故直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值为.方法二 由(2)方法二知(2，1,2)，故(，)，(，)，FA设平面 EFCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，直线 AF 与平面 EFCD 所成角的大小为 ，则 sin .(2016杭州学军中学高三 5 月模拟)如图，在四棱锥PABCD 中，ABPA，ABCD，且8 / 13PBBCBD，CD

13、2AB2，PAD120.(1)求证：平面 PAD平面 PCD；(2)求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值(1)证明 BCBD，取 CD 的中点 E，连接 BE，BECD，ABCD，且 CD2AB，ABDE，且 ABDE，四边形 ABED 是矩形，BEAD，且 BEAD，ABAD，又ABPA，PAADA，PA平面 PAD，AD平面 PAD，AB平面 PAD，CD平面 PAD，又CD平面 PCD，平面 PAD平面 PCD.(2)解 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示PBBCBD，CD2AB2，PAD120，PA2，ADBE2，BC，则 P(0，

14、1，)，D(0,2,0)，B(，0,0)，C(2，2,0)，(0,3，)，(，1，)，PD(，2,0)BC设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!取 x，得 n(，1，)，设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，9 / 13则 sin |cos，n|PDn|PD|n|，直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值为.1(2016山东牟平一中期末)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ACB1D，BB1底面 ABCD，E，F，H 分别为 AD，CD，DD1 的中点，EF与 BD 交于点 G.(1)证明：平面 ACD1平面 BB1D；(2)证明：GH平面 ACD1.证

15、明 (1)BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB1.又 ACB1D，BB1B1DB1，AC平面 BB1D.AC平面 ACD1，平面 ACD1平面 BB1D.(2)设 ACBDO，连接 OD1.E，F 分别为 AD，CD 的中点，EFODG，G 为 OD 的中点H 为 DD1 的中点，HGOD1.GH平面 ACD1，OD1平面 ACD1，GH平面 ACD1.2(2016咸阳模拟)如图，梯形 ABEF 中，AFBE，ABAF，且ABBCADDF2CE2，沿 DC 将梯形 CDFE 折起，使得平面CDFE平面 ABCD.10 / 13(1)证明：AC平面 BEF；(2)求三棱锥 DBEF

16、 的体积(1)证明 如图，取 BF 的中点 M，设 AC 与 BD 交点为 O，连接 MO，ME.由题设知，CE 綊 DF，MO 綊 DF，CE 綊 MO，故四边形 OCEM 为平行四边形，EMCO，即 EMAC.又 AC平面 BEF，EM平面 BEF，AC平面 BEF.(2)解 平面 CDFE平面 ABCD，平面 CDFE平面ABCDDC，BCDC，BC平面 DEF.三棱锥 DBEF 的体积为 VDBEFVBDEFSDEFBC222.3(2016宁波高三上学期期末)如图，在多面体 EFABCD 中，四边形 ABCD，ABEF 均为直角梯形，ABEABC90，四边形 DCEF 为平行四边形，平

17、面 DCEF平面 ABCD.(1)求证：DF平面 ABCD；(2)若 BCCDCEAB，求直线 BF 与平面 ADF 所成角的正弦值(1)证明 由四边形 DCEF 为平行四边形，知 EFCD，所以 EF平面ABCD.又平面 ABEF平面 ABCDAB，从而有 ABCDEF.因为ABEABC90，所以 ABBE，ABBC，又因为 BEBCB，所以 AB平面 BCE，因为 CE平面 BCE，所以 ABCE.又四边形 DCEF 为平行四边形，有 DFCE，11 / 13所以 DCDF，又因为平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDDC，所以 DF平面 ABCD.(2)解 不妨设 B

18、C1，则 BCCDCE1，AB2，四边形 ABCD 为直角梯形，连接 BD，则有 BDAD，则 BDAD，由 DF平面 ABCD，知 DFBD，因为 DFADD，所以 BD平面 FAD，则BFD 即为直线 BF 与平面 ADF 所成角，在BFD 中，DFBD，BD，DF1，则 BF，所以 sinBFD，所以直线 BF 与平面 ADF 所成角的正弦值为.4(2016全国乙卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F 都是 60.(1)证明：平面 ABEFEFDC；(2)求二面角 E-BC-

19、A 的余弦值(1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，DFFEF，所以 AF平面 EFDC，又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G，12 / 13由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC，所以 AB平面 EFDC，又平面 ABCD平面 E

20、FDCCD，故 ABCD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60，从而可得 C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则Error!即所以可取 n(3,0，)设 m 是平面 ABCD 的法向量，则Error!同理可取 m(0， ，4)，则 cosn，m.故二面角 E-BC-A 的余弦值为.5(2016绍兴期末)如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为梯形，ADBC，AB平面 BEC，ECCB，已知 BC2AD2AB2.(1)证明：BD平面 DEC；(2

21、)若二面角 AEDB 的大小为 30，求 EC 的长度(1)证明 因为 AB平面 BEC，所以 ABEC.又因为 ECBC，ABBCB，所以 EC平面 ABCD.因为 BD平面 ABCD，所以 ECBD.13 / 13由题意可知，在梯形 ABCD 中，有 BDDC，所以 BD2DC2BC2，所以 BDDC.又 ECCDC，所以 BD平面 DEC.(2)解 如图，以点 B 为坐标原点，以 BA 所在直线为 z 轴，BC 所在直线为 y 轴，以过点 B 且平行于 CE 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系设|a0，则 B(0,0,0)，E(a,2,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，D(0,1,1)设平面 AED 的法向量为 m(x，y，z)，则即Error!令 x1，得平面 AED 的一个法向量为 m(1,0，a)，设平面 BED 的法向量为 n(x，y，z)，则即Error!令 x2，得平面 BED 的一个法向量为 n(2，a，a)又二面角 AEDB 的大小为 30，所以 cos 30|，得 a1，所以 EC1.