2019年江苏卷数学高考真题.pdf

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1、2019 年高考真题（江苏卷）数学数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：

2、1n1n2样本数据x1,x2,xn的方差s xi x，其中x xini1ni12柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高3一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A1,0,1,6，B x|x 0,xR R，则AI B.2已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是.4函数y 76x x2的定义域是.5已知一

3、组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.y27在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 21(b 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是b2.8已知数列an(nN)是等差数列，Sn是其前 n 项和.若a2a5a8 0,S9 27，则S8的值是.9如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E 为CC1的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是.*10在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线y x最小值是.11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=l

4、nx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是.4(x 0)上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的xuuu r uuu ruuu r uuu r12 如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6AOEC，则AB的值是.AC13已知tan2，则sin2的值是.43tan414设f(x),g(x)是定义在 R R 上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且f(x)是奇函数.k(x2),0 x 12当x(0,2时，f(x)1(x1)，g(x)1，其中 k0.若

5、在区间(0，9上，关,1 x 22于 x 的方程f(x)g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是.二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6小题，共计小题，共计9090分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤15（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=2，求 c 的值；3（2）若sin AcosB，求sin(B)的值a2b216（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 B

6、C，AC 的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E17（本小题满分 14 分）x2y2如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C:221(a b 0)的焦点为 F1（1、0），abF2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2:(x1)y 4a交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1=22252（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标18（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB

7、（AB是圆O的直径）规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求：线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆O 的半径已知点A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离19（本小题满分 16 分）设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b

8、,cR、f(x)为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和f(x)的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若a 0,0 b 1,c 1，且 f（x）的极大值为 M，求证:M20（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.427*（1）已知等比数列an(nN N)满足：a2a4 a5,a34a24a4 0，求证：数列an为“M数列”；*（2）已知数列bn(nN N)满足：b11,122，其中 Sn为数列bn的前 n 项和Snbnbn1求数列bn的通项公式；*bkck1设 m 为正整数，

9、若存在“M数列”cn(nN N)，对任意正整数k，当 km 时，都有ck剟成立，求 m 的最大值2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题5 5分，共计分，共计7070分分.1.1,62.23.54.1,75.536.7107.y 2x8.169.1010.411.(e,1)12.3213.101214.,34二、解答题二、解答题15.15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力本小题主要考查正弦

10、定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分满分1414分分.解：（1）因为a 3c,b 2,cos B 2，32(3c)2c2(2)21a2c2b22由余弦定理cosB，得，即c.323cc2ac3所以c 3.3（2）因为sin AcosB，a2babcosBsinB，得，所以cosB 2sin B.sin Asin B2bb2由正弦定理22从而cos B (2sin B)，即cos B 4 1cos B，故cos B 224.5因为sin B 0，所以cosB 2sin B 0，从而cosB 2 5.5因此sinB2 5.cosB 2516.16.本小题主要

11、考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力理论证能力.满分满分 1414 分分.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以

12、 CC1BE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.17.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分满分 1414 分分.解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为

13、DF1=553，AF2x 轴，所以 DF2=DF12 F1F22()222，222因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.x2y2因此，椭圆 C 的标准方程为1.43（2）解法一：x2y2由（1）知，椭圆 C：1，a=2，43因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1)2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2.y 2x2由，得5x26x11 0，22(x1)y 16解得x 1或x 11.5将x 1112代入y 2x2，得

14、y ，5511123,).又 F2(1，0)，所以直线 BF2：y(x1).554因此B(3y(x1)1342.x 由2，得，解得或x 17x 6x13 02xy7143又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以x 1.将x 1代入y 解法二：333(x1)，得y .因此E(1,).422x2y2由（1）知，椭圆 C：1.如图，连结 EF1.43因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而BF1E=B.因为 F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴.x 13因为 F1(-1，0)，由x2y2，得y .21

15、43又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以y 3.2因此E(1,).18.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力知识分析和解决实际问题的能力.满分满分1616分分.解：解法一：解：解法一：（1）过A作AE BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE BE AC 6,AE CD 8.因为PBAB，所以cosPBD sinABE 所以PB 3284.105BD1215.cosPBD45因此道路PB的长为1

16、5（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知AD AE2 ED210，AD2 AB2 BD27 0，所以BAD为锐角.从而cosBAD 2AD AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在PPB中，PB PB11由上可知，d15.再讨论点Q的位置.3 9；5由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ QA2

17、 AC2 152623 21.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.解法二：解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为3.4因为PBAB

18、，所以直线PB的斜率为4，3直线PB的方程为y 425x.3322所以P（13，9），PB(134)(93)15.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：y 3x6(4剟 x 4).421515222在线段AD上取点M（3，），因为OM 3 3 4 5，44所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在PPB中，PB PB11由上可知

19、，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ(a4)(93)15(a 4)，得a=43 21，所以Q（43 21，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（43 21，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离22PQ 43 21(13)173 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17 3 21（百米）.1919本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想

20、方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分能力满分1616分分解：（1）因为a b c，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)因为f(4)8，所以(4a)8，解得a 2（2）因为b c，所以f(x)(xa)(xb)x(a2b)x b(2a b)xab，从而f(x)3(xb)x2322332ab2abx f(x)0令，得或x b33因为a,b,2ab，都在集合3,1,3中，且a b，3所以2ab1,a 3,b 332此时f(x)(x3)(x3)，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x 3或x 1列表如下：x(,3)+30(3,1)10(1,)+f(x)f(x)Z极大值2极小值Z所以f(x

21、)的极小值为f(1)(13)(13)32（3）因为a 0,c 1，所以f(x)x(xb)(x1)x(b1)x bx，32f(x)3x22(b1)xb因为0 b 1，所以 4(b1)12b (2b1)3 0，则f(x)有2个不同的零点，设为x1,x2x1 x222b1b2b1b1b2b1,x2由f(x)0，得x133列表如下：x(,x1)+x10极大值x1,x2x20极小值(x2,)+f(x)f(x)ZZ所以f(x)的极大值M fx1解法一：3M fx1 x1(b1)x12bx122 b b1xb1b(b1)213x12(b1)x1bx 139992b2b1(b1)27b(b1)2927b b1

22、23b(b1)2(b1)2(b1)2(b(b1)1)3272727b(b1)244因此M 27272727解法二：因为0 b 1，所以x1(0,1)当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)令g(x)x(x1),x(0,1)，则g(x)3x(x1)2213令g(x)0，得x 1列表如下：31(0,)3+x130极大值1(,1)3g(x)g(x)所以当x Z114时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g332744，因此M 2727所以当x(0,1)时，f(x)g(x)2020本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综本

23、小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分合运用数学知识探究与解决问题的能力满分1616分分解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.a12q4 a1q4a2a4 a5a11由，得2，解得a 4a 4a 0q 2213a1q 4a1q4a1 0因此数列an为“M数列”.（2）因为122，所以bn 0Snbnbn1122由b11,S1 b1，得，则b2 2.11b2bnbn1122S 由，得n，Snbnbn12(bn1bn)当n 2时，由bn SnSn1，得bn整理得bn1bn1 2bnbnbn1bn

24、1bn，2bn1bn2bnbn1所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=nnN N由知，bk=k，kN N*.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以q当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有k1*.k qk，其中k=1，2，3，m.lnklnklnq kk 1设f（x）=lnx1lnx(x 1)，则f(x)2xx令f(x)0，得x=e.列表如下：xf(x)(1,e)+e0极大值(e，+)f（x）因为ln2ln8ln9ln3ln3，所以f(k)max f(3)266333取q 3，当k=1，2，3，4，5时，k1l

25、nklnq，即k qk，k经检验知q k也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5数学数学(附加题附加题)2121【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分

26、）31已知矩阵A A 22（1）求A A2；（2）求矩阵A A的特征值.B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A3,B2,sin，直线l的方程为 3.424（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设xR R，解不等式|x|+|2 x1|2.【必做题】第【必做题】第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤4,nN

27、N.已知a3 2a2a4.22.（本小题满分10分）设(1 x)a0a1xa2x L anx,n（1）求n的值；（2）设(13)ab 3，其中a,bN N*，求a23b2的值.23.（本 小 题 满 分 10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，设 点 集An(0,0),(1,0),(2,0),(n,0)，nn2n*2Bn(0,1),(n,1),Cn(0,2),(1,2),(2,2),L,(n,2),nN N.令Mn AnU BnU Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（

28、用n表示）.数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案2121【选做题】【选做题】A A选修42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分1010分分31A A 解：（1）因为22，所以A A 231312222=33123112 115=23222122106（2）矩阵A A的特征多项式为f()3212254.令f()0，解得A A的特征值11,2 4.B B选修44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求

29、解能力满分1010分分解：（1）设极点为O.在OAB中，A（3，），B（2，），42)5.24由余弦定理，得AB=32(2)2232cos(（2）因为直线l的方程为sin()3，4则直线l过点(3 2,)，倾斜角为2343)2.42又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(3 2 2)sin(C C选修45：不等式选讲2本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分1010分分解：当x0时，原不等式可化为x12x 2，解得x2，即x1时，原不等式可化为x+2x12，解得x1.213综上，原不等式的解集为x|x 或x

30、 1.22.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分1010分分122nnC xC x L Cn 4，解：（1）因为(1 x)n C0nnnnx，所以a2 Cn2n(n1)n(n1)(n2),a3 C3，n26a4 C4n2n(n1)(n2)(n3)24因为a3 2a2a4，所以n(n1)(n2)2n(n1)n(n1)(n2)(n3)2，6224解得n 5（2）由（1）知，n 5(13)n(13)5022334455 C5C153C5(3)C5(3)

31、C5(3)C5(3)ab 3解法一：解法一：*因为a,bN N，所以a C53C59C5 76,b C53C59C5 44，024135从而a23b2 7623442 32解法二：解法二：022334455(13)5 C5C1(3)C(3)C(3)C(3)C(3)55555022334455 C5C153C5(3)C5(3)C5(3)C5(3)*因为a,bN N，所以(13)5 ab 3因此a23b2(ab 3)(ab 3)(13)5(13)5(2)5 322323【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型

32、、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分能力和推理论证能力满分1010分分解：（1）当n 1时，X的所有可能取值是1，2，2，5X的概率分布为P(X 1)7744,P(X 2)，22C615C615P(X 2)2222,P(X 5)22C615C615b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点（2）设A(a，因为P(X n)1P(X n)，所以仅需考虑X n的情况若b d，则AB n，不存在X n的取法；d 1，则AB(ac)21若b 0，a 0，c n或a n，c 0，有 2 种取法；d 2，若b 0，则AB(ac)24 n21，所以X n当且仅当AB n21，此时因为当n 3时，(n1)24 n，所以X nn24，c n或a n，c 0，有 2 种取法；当且仅当AB n24，此时a 0，d 2，则AB(ac)21若b 1，a 0，c n或a n，c 0，有 2 种取法综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且n21，所以X n当且仅当AB n21，此时P(X n21)4C22n4,P(X n24)22C2n422因此，P(X n)1 P(X n 1)P(X n 4)16C22n4