基于Copula的外汇投资组合风险分析.pdf

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1、文章编号:1003-207(2004)04-0001-05基于Copula的外汇投资组合风险分析吴振翔,叶五一,缪柏其(中国科学技术大学统计与金融系,安徽 合肥 230026)摘 要:本文简要介绍了Archimedean Copula,并运用Archimedean Copula给出了确定两种外汇最小风险(VaR)投资组合的方法。并用这个方法,对欧元和日元的投资组合做了相应的风险分析,得到了二者的最小风险投资组合,并对不同置信水平下VaR和组合系数做了敏感性分析。关键词:Archimedean Copula;VaR(Value at Risk);投资组合;外汇中图分类号:F830192;O211

2、13 文献标识码:A收稿日期:2003-10-08;修订日期:2004-06-02基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071082);教育部博士点基金(20010358022);中国科学院和中国科技大学创新基金资助作者简介:吴振翔(1977-),男(汉族),安徽合肥人,中国科学技术大学统计与金融系博士研究生,研究方向:金融工程.1 背景介绍自从Markowitz投资组合理论问世以来,关于投资组合风险控制的研究一直是个热点问题。问题的关键在于确定一个恰当的组合系数,使得该组合的风险尽可能的小。这里实际是两个层次上的问题:一个是关于风险的度量,一个是在这种风险度量基础上的组合系数的确定。本文在

3、风险度量的问题上选取的是VaR(Valueat Risk)方法。由于风险资产收益率是随机变量,其组合收益率也是一个随机变量,在单个风险资产收益率不服从正态性假设下,传统的线性相关系数无法描述随机变量间的相依性,从而很难得到组合收益率的VaR。Copula从结构上能较好的拟合随机变量的联合分布,因而可以用它来得到较精确的组合收益率的VaR。Copula这个名称来自于Schweizer and Sklar(1983),随后Genest and MacKay(1986)、Joe1H1(1993)等人对其进行了发展,Copula是在构造多元联合分布以及随机变量间相关结构分析中常用的工具。但把它用到金融

4、理论中来还是近年来的事,自从Embrechts etc1(1999)把Copula引入到金融上以来,许多学者已经取得了较好的成果,Claudio Ro2mano(2002)对意大利股市收益率进行了Copula分析,Embrechts etc1(2001)、Durrleman etc(2001)等人用Copula进行了风险分析,Roberto De Matteis(2001)对Copula,特别是对Archimedean Copula做了较好的总结。在国内对Copula的研究甚少,张尧庭(2002a),(2002b)从理论上探讨了Copula在金融上应用的可行性,对Copula分类研究以及相关的

5、实证研究还没有开展起来。本文首次运用较广泛使用的Archimedean Cop2ula来确定外汇市场中最小风险的投资组合。结果发现拟合得相当好,由此获得许多有用的结果。本文内容安排如下:第一部分对Archimedean Copula方法进行简单的介绍,并在此基础上指出如何确定两种外汇资产最小风险投资组合;第二部分是欧元对人民币、日元对人民币的一个实证分析。第三部分是结论和一些本文认为Copula(ArchimedeanCopula)在金融上一些可以继续深入下去的方向。2 两种外汇资产下最小风险投资组合的确定 考虑两种外汇对人民币的汇率,每天各自的收益率记为两个随机变量X和Y,由于货币间的相互影

6、响,它们之间并不独立。要对二者进行组合投资,就有必要了解它们之间的相依性,本文将用Archimedean Copula来 考 察 其 相 依 结 构。定 义(Archimedean Copula)设:0,10,为连续、严格递减的凸函数,(0)=,(1)=0,且有连续、严格递减、凸的反函数-1:0,0,1,-1()=0,-1(0)=1,则C(u,v)=-1(u)+(v)称为由()生成的Archimedean Copula,()称为该Copula的生成函数。在上述的定义中,取u和v分别为随即变量X第12卷 第4期2004年 8月中国管理科学Chinese Journal of Management

7、 ScienceVol.12,No.4Aug.,2004和Y的边缘分布,记为u(x)和v(y),那么C(u(x),v(y)就可以看作是对(X,Y)联合分布的估计。按照(t)形式的不同,Archimedean Copula也分为不同的类,目前较常见的有20类,每一类(t)都有一个参数,例如,(t)=(t-1)/,这里就是参数。对于每一类Archimedean Copula,可以根据样本数据估计出参数的值,从而得到(X,Y)的联合分布函数。Genest and MacKay(1986)证明了如下的公式:(X,Y)=1+410(t)(t)dt(1)上式中为(X,Y)的Kendall秩相关系数(定义可

8、见11),如果用样本Kendall秩相关系数来代替(1)式中左端,则对于每一个确定的ArchimedeanCopula类,可以得到参数的估计。再考虑选用哪个类的结果作为对(X,Y)联合分布的估计。需要注意的是,不同类的ArchimedeanCopula中,Kendall秩相关系数的取值范围是不一样的,可 在 第 一 步 根 据 不 同 的 来 确 定Archimedean Copula候选类,在候选类中,用如下的拟合优度检验方法,来确定最终选用的类:KC(t)=P C(U,V)t =t-(t)(t)(2)作为随机变量C(U,V)的分布函数,KC(t)为(0,1)上均匀分布函数。利用样本数据做K

9、C()与U(0,1)的Kolmogorov-Smirnov检验,以此决定用哪个类来拟合(X,Y)的联合分布函数。至此,根据历史数据,本文得到了两种外汇资产收益率X和Y的联合分布C(F(x),G(y),其中F(x)为X的边缘分布函数,G(y)为Y的边缘分布函数。利用这个结果,可计算出组合X+(1-)Y,0 V3)3P(3 V3)=3这里,表示实际损失的百分比大小,所以说,在损失不能超过V3这一约束下,无疑(3,3)是最好的选择,因为3组合使损失超过V3的概率最小,即风险最小。考虑更实际的情况,损失的界限约束不是一个确定的值,而是一个模糊的区域,如在V3附近。这种情况下,在得到3之后,可在图5中(

10、3,V3)点附近处作敏感分析:如果曲线在此处较为陡峭,那么投资者会偏好稍大一点值对应的最优组合,因为组合同3相比,在分位点值稍稍大一点的情况下,对应的分位数有了较大的减小;同样的道理,如果曲线在此处较为平缓,那么投资者会偏好稍小一点值对应的最优组合。对于图3(右)中值和V aR的确定问题,还可对图3(右)作更深入的探讨。本文分析了图3(右)中曲线的形状,用不同函数来拟合该曲线(多项式函数、幂函数、对数函数等),发现对数函数最能描述该曲线,见图6。图6对数函数对V aR-的拟合从图中可见,R2统计量为019998,数据点几乎和此对数回归曲线完全重合。这一显式函数的形式把曲线的特点更深刻的表述出来

11、了,对实际操作的指导意义也将更显著。如果后续研究能发现其他资产组合也可以很好的用对数函数来描述,最优组合V aR值和的关系就转化为对此对数函数参数的估计,这样可以更加明确的告诉投资者如何选择合适的值。step71 表3中V aR同组合系数的敏感分析考虑step6中投资者面临的约束V3,如果V3值稍稍变动导致了组合系数较大变动,无疑这种投资方案在实际中可操作性不强,较好的结果应该是V3值对变化的敏感性不强。为了分析这种敏感性,本文作出了表3中V aR同组合系数的散点图,并作了函数拟合,这里利用了图6的拟合结果和对图3(左)做的多项式拟合结果,拟合函数为:=-62646t4+14586t3-110

12、217t2+26124t+013417t=exp-010009+VaR010034从图7中可看出,曲线基本上不是很陡,这表明约束V3值对变化的敏感性不强,特别是在01016 V3 01012范围内,敏感性很小。因此,本文所得到的组合策略,运用在欧元、日元外汇组合上,是具有一定可操作性的。上面的拟合函数对数据拟合得很好,效果见图7:图74中国管理科学 2004年4 结论和展望1)本文首次运用Archimedean Copula对金融市场(日元和欧元外汇市场)的投资组合进行了风险分析(值为0105的VaR分析),得出最终组合为:把投资总额的34%用于投资欧元,66%用于投资日元(数据日期为:200

13、2-01-04到2003-06-30)。这一结果也得到了随后几个月时间欧元日元走势的验证。2)本文还对不同下最优投资组合情况进行了分析,对有损失上限约束的投资者,给出了确定最优投资组合的方法。敏感性分析表明这种方法具有一定的可操作性。3)本文得到的结论只是基于风险(VaR)之上的。实际上,对于一个投资组合的评价还要结合收益来考虑,才可以得到更为客观的结论。实际上,这个问题的解决也更具有现实意义,我们也将在接下来的工作中探索这个问题。4)本文所做的工作只是对于两种外汇资产组合的情况进行风险分析,如果可以用多元的Copula来构造多个资产收益率的联合分布,得到的结果将更有可操作性。5)本文所做的组

14、合分析,完全可以用在其他金融产品上,例如各种债券、股票、基金等等。参考文献:1 Schweizer,B1and A1Sklar,Probbabilistic Metric SpacesM.North-Holland/Elsevier,New York,198312 Genest,C1andJ1Mackay.The Joy of Copulas:Bivariate dis2tributions with uniform marginalsJ.American Statisti2cian,1986,40:280-28313 Joe,H,Parametric Families of Multivar

15、iate Distributionswith Given MarginalsJ 1Journal of Multivariate Analy2sis,1993,46:262-28214 Embrechts,P1,A1J1Mcneil and D1Straumann,Correlationand Dependence in Risk Management:Properties and Pit2falls M 1In:Risk Management:Value at Risk and Be2yond,M1Dempster(Ed1)Cambridge University Press,1999,17

16、6-22315 Claudio Romano,Calibrating and Simulating Copula Func2tions:an Application to the Italian Stock Market Z,2002,working paper16 Embrechts,P1,A1Hoeing and A1Juri,Using copulae tobound the Value-at-Risk for functions of dependentrisksZ,2001,ETH Zurich,preprint17 V1Durrleman,A1Nikeghbali,G1Riboul

17、et and T1Roncalli,Copulas:An open Field for Risk Management Z,2001,Working Paper18 Roberto De Matteis:Fitting Copulas to Data D ,2001,diploma thesis,IMU,Zurich19张尧庭.连接函数(Copula)技术与金融风险分析J 1,统计研究,2002,4:48-51110张尧庭.我们应该选用什么样的相关性指标J 1 统计研究,2002,9:41-44111缪柏其.管理统计学M1 中国科学技术大学出版社12002112胡海鹏,方兆本 1 投资组合Va

18、R及其分解J 1 中国管理科学,2003,11(3):1-5.13马超群,等 1 风险价值方法及其实证研究J 1 中国管理科学,2001,9(5):16-23.Risk Analysis of Foreign Exchange Markets by CopulaWU Zhen-xiang,YE Wu-yi,MIAO Bai-qi(Department of Statistis&Finance,University of Science and Technology of China,Hefei 230026,China)Abstract:In this paper risk analysis

19、of two-assets portfolio is investigated using Archimedean Copula1The leastVaR portfolio of two-assets portfolio can be found by selecting proper Copula1In the practice of foreign ex2change markets,the least VaR portfolio of European dollar and Japanese yen is gotten1Also the sensitivity ofVaR to the combination coefficients is given1Key words:Archimedean Copula;VaR(Value at Risk);portfolio;foreign exchange5第4期 吴振翔等:基于Copula的外汇投资组合风险分析