高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书.doc

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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-14-1 任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任

2、何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin y，cos 2 / 15x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin R Rcos R Rtan |k，k 2Z Z4.三角函数线如下图，设角 的

3、终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线.【知识拓展】1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)3 / 15设 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为r，则 sin ，cos ，tan (x0)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( )(2)角 的三角函数值与其终边上

4、点 P 的位置无关( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)终边相同的角的同一三角函数值相等( )(5)若 (0，)，则 tan sin .( )(6)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )1角870的终边所在的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 C解析 由8701 080210，知870角和 210角终边相同，在第三象限2(教材改编)已知角 的终边与单位圆的交点为 M(，y)，则 sin 等于( )A. B32C. D22答案 B解析 由题意知|r|2()2y21，4 / 15所以 y.由三角函数定义知 sin y.3(2016宁波二模)集合|kk，

5、kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当 k2n(nZ)时，2n2n，此时 表示的范围与表示的范围一样；当 k2n1 (nZ)时，2n2n，此时 表示的范围与表示的范围一样，故选 C.4函数 y的定义域为_答案 (kZ)解析 2cos x10，cos x.由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)题型一 角及其表示例 1 (1)若 k18045(kZ)，则 在( )A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限(2)已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_答案 (1)A (2)(2k，2k)(

6、kZ)5 / 15解析 (1)当 k2n(nZ)时，2n18045n36045， 为第一象限角；当 k2n1 (nZ)时，(2n1)18045n360225， 为第三象限角所以 为第一或第三象限角故选 A.(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为 (kZ)思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合 S|2k，kZ判断一个角 所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角 与 2 的整数倍的和，然后判断角 的象限(1)终边在直线

7、yx 上的角的集合是_(2)(2016台州模拟)若角 的终边与角的终边相同，则在0,2内终边与角的终边相同的角的个数为_答案 (1)|k，kZ (2)3解析 (1)在(0，)内终边在直线 yx 上的角为，终边在直线 yx 上的角的集合为|k，kZ(2)2k(kZ)，6 / 15(kZ)，依题意 02，kZ，k，k0,1,2，即在0,2内与角的终边相同的角为， ，共三个题型二 弧度制例 2 (1)(2016舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_答案 2解析 设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，正方形边长为 r，圆心角的弧度数是.(2)已知扇形的圆心角是

8、 ，半径是 r，弧长为 l.若 100，r2，求扇形的面积；若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数解 Slrr24.由题意知 l2r20，即 l202r，Slr(202r)r(r5)225，当 r5 时，S 的最大值为 25.当 r5 时，l202510，2(rad)即扇形面积的最大值为 25，此时扇形圆心角的弧度数为 2 rad.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度7 / 15(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理

9、地利用圆心角所在的三角形(1)将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A. B. 6C D 6(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A. B. 3C3 D.3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A、B 不正确；又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.(2)如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角AOB，作 OMAB，垂足为 M，在 RtAOM 中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得 .8 / 15题型三 三角函数的

10、概念命题点 1 三角函数定义的应用例 3 (1)(2016杭州模拟)若角 的终边经过点 P(，m)(m0)且 sin m，则 cos 的值为_(2)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达 Q 点，则 Q点的坐标为 ( )A. B.(32，12)C. D.(32，12)答案 (1) (2)A解析 (1)由题意知 r，sin m，m0，m，r2，cos .(2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin.Q 点的坐标为(，)命题点 2 三角函数线例 4 函数 ylg(2sin x1)的定义域为_答案 2k，2k)(kZ)解析 要使原函数有意义，必须有即如图

11、，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2k，2k) (kZ)9 / 15思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角 终边上一点 P 的坐标可求 的三角函数值；已知角 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围(1)已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0.则实数 a 的取值范围是( )A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3(2)满足 cos 的角 的集合为_答案 (1)A (2)|2k2k，kZ解析 (1)cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半

12、轴上 20，tan cos x 成立的 x 的取值范围为_答案 (，)解析 如图所示，找出在(0,2)内，使 sin xcos x 的 x 值，sin 14 / 15cos ，sin cos .根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x(，)11一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB.解 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，则解得Error!圆心角 2(rad)如图，过 O 作 OHAB 于 H，则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圆心角的弧度数为 2 rad，弦长 AB 为 2sin

13、 1 cm.12已知角 终边上一点 P，P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为34，且 sin 0)，则 r5k，从而 cos ，tan ，cos 2tan .若点 P 位于第四象限，可设 P(4k，3k)(k0)，则 r5k，15 / 15从而 cos ，tan ，cos 2tan .综上所述，若点 P 位于第三象限，则 cos 2tan ；若点 P 位于第四象限，则 cos 2tan .13.已知 sin 0.(1)求角 的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tan sin cos 的符号解 (1)由 sin 0，知 在第一、三象限，故角 在第三象限，其集合为|2k0，cos 0，所以 tan sin cos 也取正号因此，tan sin cos 取正号