运动学点运动和刚体基本运动.pptx

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1、1目 录第11章 点的运动学和刚体的基本运动第12章 点的合成运动第13章 刚体的平面运动 第1页/共59页2 运动学 运动学研究的对象 运动学学习目的 运动是相对的 瞬时、时间间隔 运动分类是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。(relativity)：参考体(物)；参考系；静系；动系。1)点的运动；2)刚体的运动引 言第2页/共59页3第3页/共59页411.1 点的运动学11.2 刚体的平行移动11.3 刚体的定轴转动11.4 以矢量表示角速度和角加

2、速度 以矢积表示点的速度和加速度目 录第4页/共59页5 点的运动学，是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义，它将研究点的几何规律，即运动方程、轨迹、速度及加速度等运动特征量。描述点的运动有矢径法、直角坐标法和自然法三种方法。矢径法通常用于理论推导，在具体问题的计算中通常采用直角坐标法和自然坐标法。如果点的运动轨迹未知，一般选用直角坐标法；如果点的轨迹已知，则用自然坐标法比较方便。11.1 点的运动学第5页/共59页61.点的运动方程3.点的速度3.点的加速度一、矢量法第6页/共59页71.点的运动方程2.点的速度二、直角坐标法第7页/共59页8 3.点的加速度注 这里的 x、y、z

3、都是时间单位连续函数。当消去参数 t 后，可得到 F(x，y，z)=0 形式的轨迹方程。第8页/共59页9 例1 椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点由铰链连接，规尺两端A、B可分别沿互相垂直的两直槽滑动。已知OC的转角为 常量，OCACBCl，CMa，如图所示。试求规尺上M点的运动方程、轨迹、速度和加速度。解 首先建立M点的运动方程，为此，取直角坐标系Oxy，如图所示。任一瞬时动点的位置可用x、y表示为第9页/共59页10 这就是动点M的运动方程。从运动方程中消去时间t，即得轨迹方程 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的

4、长轴将与y轴重合，短轴将与x轴重合。M点的速度在坐标轴上的投影为 第10页/共59页11速度的大小为速度的方向余弦为M点的加速度在坐标轴上的投影为第11页/共59页12加速度的大小为加速度的方向余弦为第12页/共59页13三、自然法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然坐标法。1.弧坐标表示的点的运动方程S=f(t)补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用)同理可导出柱坐标下的点的运动方程第13页/共59页142.点的速度自然轴系第14页/共59页15 切向加速度 表示速度大小的变化3.点的加速度 法向加速度 表示速度方向的变化第15页/共59页16由图可知第16页/共5

5、9页17 例2 如图所示，固定圆圈的半径为R，摇杆O1A绕O1轴以匀角速度 转动，。轴固定在圆周上，小环M同时套在摇杆和圆圈上。运动开始时，摇杆O1A在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法写出小环M的运动方程，并求出其速度和加速度。解 直角坐标法：以圆心O为原点建立直角坐标系，如图所示。任 一 瞬 时 动 点 M的 位 置 用 坐 标 x、y表 示。由 于 ，而圆心角 ，于是以直角坐标表示的小环M的运动方程为第17页/共59页18 将运动方程分别对时间求一阶导数和二阶导数，分别可得速度和加速度在直角坐标轴上的投影：速度的大小为速度的方向为加速度的大小为加速度的方向为第18页/共59页19 弧坐

6、标法：动点M的运动轨迹是圆弧，在轨迹上取水平直径的端点O2为弧坐标的原点，并规定O2点的上方为正，则任一瞬时动点M的位置可用弧坐标S表示，显然 这就是小环M以弧坐标表示的运动方程。将弧坐标表示的运动方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得速度与切向加速度的大小为第19页/共59页20 因为切向加速度等于零，故全加速度即为法向加速度，其大小为：即，速度的大小为 ，方向与 相同(与矢径 r 垂直)。加速度大小为 ，方向指向圆心(与矢径r反向)。以上两种方法求得的结果完全相同。由于运动轨迹已知，因而用自然法求解显然更加方便。第20页/共59页21例3 动点A沿图示作匀加速度圆周运动。已知圆周半径为R，初

7、速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为 ，并以 角表示点走过的圆弧S所对应的圆心角，试证明：。证明：设动点A自原点A0沿圆弧运动。由题意知：第21页/共59页22点的运动学问题一般解题步骤为：1)根据题意，确定研究对象，并将其抽象为动点；2)分析动点的运动情况，并根据其特点选择恰当的解题方法。当动点轨迹可按题意直接确定时，采用自然坐标法；当动点轨迹不可确定时，采用直角坐标法；3)在具体求解时，常会遇到两种情况：一种是运动方程、速度、加速度都是待求的未知参数，此时应先按题意建立运动方程，可将动点的坐标用时间t表出，一但运动方程已建立，就可用函数求导的方法按速度、加速度与运动方程之间的关系求出其

8、速度、加速度；另一种是已知动点的加速度或速度，要求出动点的运动方程，此时可根据运动方程、速度、加速度之间的关系，通过积分的方法来确定。第22页/共59页23例 是指刚体的平行 移动和定轴转动。简单运动 刚体的平行移动和定轴转动是刚体最简单的两种运动形式，也是研究复杂运动的基础。下面，我们首先研究刚体的平行移动，然后再讨论刚体的定轴转动。刚体的简单运动第23页/共59页24OB作定轴转动，CD作平动AB、凸轮均作平动 由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形式，确定刚体内某一个有

9、代表性的直线或平面的位置即可。11.2 刚体的平行移动第24页/共59页25一.刚体平动的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。由A、B 两点的运动方程式 而例AB在运动中方向和大小始终不变。它的轨迹可以是直线可以是曲线第25页/共59页26二.刚体平动的特点 刚体平动时，在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态。即：平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，O1O2AB。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为 ，其中t 为时间。

10、试求荡木中点M的速度、加速度的表达式。第26页/共59页27 解 由于钢索O1A和O2B等长且O1O2AB，于是O1ABO2为平行四边形。AB在运动过程中始终与OlO2平行，也就是始终平行于它自身原来的位置，所以，荡木的运动为平行移动。由于平动刚体上各点的速度、加速度相同，因此，只需求出A点(或B点)的速度和加速度即可。显然，A点的运动是以O1为圆心、l为半径的圆周运动。取最低点O为原点，并规定弧坐标s向右为正，则A点沿轨迹的运动方程为：第27页/共59页28A点的速度大小为A点的切向加速度大小为A点的法向加速度大小为 以上A点的速度、切向加速度和法向加速度，亦即荡木中点M的速度、切向加速度和

11、法向加速度。第28页/共59页2911.3 刚体绕定轴的转动一.刚体定轴转动的特征及其简化 特点：有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平面 上做圆周运动。二.转角和转动方程 转角，单位弧度(rad)=f(t)为转动方程 方向规定：从 z 轴正向看去，逆时针为正；顺时针为负。第29页/共59页30三.定轴转动的角速度和角加速度 1.角速度：工程中常用单位：n=转/分（r/min）则n与 的关系为:单位 rad/s若已知转动方程第30页/共59页312.角加速度:设当t 时刻为，t+t 时刻为+与方向一致为加速转动，与 方向相反为减速转动。3.匀速转动和匀变速转动 当=常数，为匀速转动

12、；当=常数，为匀变速转动。常用公式与点的运动相类似。单位：rad/s2(代数量)第31页/共59页32 、对整个刚体而言(各点都一样)；v、a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。1.线速度v 和角速度之间的关系四.转动刚体内各点的速度和加速度第32页/共59页332.角加速度 与an、a 的关系第33页/共59页34结论:v方向与 相同时为正，vR，且与 R 成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致,且小于90o ,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:各点速度分布图各点加速度分布图第34页/共59页35 例2 一个绕O轴转动的皮带轮，某瞬时轮缘上点A的速度为VA=50cm/s，加速

13、度为aA=150cm/s2，轮内另一点B的速度为VB=10cm/s，已知OAOB=20cm，试求此瞬时皮带轮转动的角速度和角加速度，以及B点的加速度。解：第35页/共59页36B点的加速度还可用加速度分布规律来求解，第36页/共59页37 例3 飞轮半径R=0.5m，由静止开始转动，其转动规律为 ，其中c为常数，已知t=5秒时，轮缘上一点的速度为V=20(m/s)，试求当t=10秒时，该点的速度和加速度。解：第37页/共59页38当t=5秒时，V=20(m/s)，即故当t=10秒时，飞轮的角速度为该点的速度为该点的切向加速度为该点的法向加速度为 第38页/共59页39 我们常见到在工程中,用一

14、系列互相啮合的齿轮来实现变速，它们变速的基本原理是什么呢?1.齿轮传动 齿轮是做纯滚动 (即没有相对滑动)定义齿轮传动比1）内啮合五、轮系的传动比第39页/共59页402）外啮合第40页/共59页41由于转速 n 与 有如下关系：显然当：时，为升速转动；时，为降速转动。第41页/共59页423.链轮系 设有：A、B、C、D、E、F、G、H 为轮系，则总传动比为：2.皮带轮系传动(而不是 方向不同)皮带传动第42页/共59页43 其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。第43页/共59页44 例4 绕于半径为r的鼓轮上的绳子下挂一重物B，该重物由静止开始以等加速度a向下

15、作直线运动，如图所示。该鼓轮固连一节圆半径为r1的齿轮1，齿轮l与节圆半径为r2的齿轮2啮合，求齿轮2的转动方程。解 鼓轮边缘上任一点的切向加速度和重物B的加速度大小相等，因此鼓轮的角加速度为由于齿轮1与鼓轮固连，所以两者的角加速度相等，即 。而 齿 轮 2的 角 加 速 度 为 =常数 第44页/共59页45由此可见，齿轮2的运动为匀加速转动，由积分后得再积分得 式中 、分别为齿轮2的初始转角和初始角速度。设 0，依题意又有 0，所以齿轮2的转动方程为即第45页/共59页4611.4 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度一.以矢量表示角速度和角加速度按右手定则规定 、的方向

16、。第46页/共59页47二.以矢积表示点的速度和加速度第47页/共59页48 例1 列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？解：由于是匀变速运动，则 常量。由公式，而由已知点的运动学和刚体的简单运动习题课第48页/共59页49列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度第49页/共59页50 例2 已知如图，求 时正好射到A点且用力最小。分析：只有在A点，vy0 且为最大高度时，用力才最小。解：由 由于在A点时，vy=0，所以上

17、升到最大高度 A点时所用时间为：第50页/共59页51将上式代入和，得：将代入，得第51页/共59页52 例3 已知：重物A的加速度为（常数），初瞬时速度，方向如图示。求：滑轮3s内的转数；重物B在3s内的行程；重物B在3s时的速度；滑轮边上C点在初瞬时的加速度；滑轮边上C点在3s时的加速度。第52页/共59页53）常数（）解：因为绳子不可以伸长，所以有）（第53页/共59页54 t=0 时，t=3s 时，第54页/共59页55 例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得求：（1）转动方程；（2）t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。解（1）求转动方程M第55页/共59页56（2）求t5s时，点的速度和向心加速度的大小。当5s时M第56页/共59页57 例5 试画出图中刚体上、两点在图示位置时的速度和加速度。第57页/共59页58第58页/共59页59感谢您的观看！第59页/共59页