理学点的运动学描述和刚体的简单运动.pptx

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1、第五章第五章 点的运动学描述和刚体的点的运动学描述和刚体的 简单运动简单运动5-1 5-1 点的运动学描述点的运动学描述5-2 5-2 刚体的平移刚体的平移5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比5-5 5-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度.以矢以矢积表示点的速度和加速度积表示点的速度和加速度第1页/共63页5-1 5-1 点的运动学描述点的运动学描述一、点的运动方程 在参考系上任取一点O为坐标原点 r:点M相对点O的位置矢量,简称矢径。当动点M运动时,矢径r随时间而变,即上式称为以矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中,

2、矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹。第2页/共63页二、点的速度 点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即动点的速度矢沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点轨迹的切线，并与点的运动方向一致。在国际单位制中，速度的单位为 m/s。vv*AMBOr(t)r(t+t)Mr第3页/共63页三、点的加速度 点的加速度也是矢量。动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即在国际单位制中，加速度的单位为 m/s2。第4页/共63页 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等

3、都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线OM1M2M3vv1v2a加速度的方向确定第5页/共63页由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有一、点的运动方程 其中这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。也是点的轨迹的参数方程。如求点的轨迹方程，可将运动方程中的时间t消去。如点在某平面内运动，取该平面为坐标平面Oxy，则点的运动方程为：从上式中消去时间t，即得轨迹方程第6页/共63页二、点的速度 由于得设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy

4、、vz,即比较上两式，得可见，速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。第7页/共63页三、点的加速度 设动点的加速度矢a在直角坐标轴上的投影为ax、ay、az,即则有因此，加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。第8页/共63页例：椭圆规的曲柄OC可绕轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知：OC=AC=BC=l，MC=a ，=t。求规尺上点M的运动方程、轨迹方程、速度和加速度。解：取坐标系Oxy,点M的运动方程为消去时间t，得轨迹方程第9页/共63页求点M的速度故点M的速度大小为其方向余弦为第

5、10页/共63页求点M的加速度故点M的加速度大小为其方向余弦为第11页/共63页一、弧坐标 已知动点M的轨迹为图示曲线。在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向。动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长s 为代数量，称为动点M在轨迹上的弧坐标。点沿轨迹的运动方程，当动点M运动时，s随时间变化，它是时间的单值连续函数，即或以弧坐标表示的点的运动方程。第12页/共63页二、自然轴系 以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标轴称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。第13页/共63页OjMMsjt tt t两个相关的计算结果MMt tt tt tst曲率：曲线切线的

6、转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率半径：曲率的倒数。如曲率半径以表示，则有第14页/共63页三、点的速度 点沿轨迹由M到M,经过t 时间,其矢径有增量r。当t0时，故有 可见：速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。弧坐标对时间的导数是一个代数量，以v表示绝对值表示速度的大小,正负表示点沿轨迹运动的方向。由于是切线轴的单位矢量，因此点的速度矢可写为第15页/共63页四、点的加速度（1 1）反映速度大小变化的加速度at 显然at是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切向加速度(tangential acceleration)(tangential acceleration)。如at指向轨迹的

7、正向；at指向轨迹的负向。令 at是一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影。由此可得结论：切向加速度反映点的速度值对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。如第16页/共63页（2 2）反映速度方向变化的加速度an它反映速度方向的变化。上式可改写为得于是可得结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。有此可见,an的方向与主法线的正向一致,称为法向加速度(normal acceleration)(normal acceleration)。第17页/共63页

8、 当速度v与切向加速度at指向相同时，速度的绝对值不断增加，点作加速运动；当速度v与切向加速度at指向相反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。第18页/共63页式中由于at，an均在密切面内，因此全加速度a也必在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即全加速度的大小可由下式求出 它与法线间的夹角的正切为第19页/共63页匀变速曲线运动 几种特殊情况：匀速曲线运动 直线运动 曲率半径任何瞬时点的法向加速度始终为零。v=常量at=常量第20页/共63页例：曲柄摇杆机构，曲柄长 OA=10cm，绕O轴转动，角O1O=10cm。求B点的运动方程、速度及加速度。（rad）(时间t的单位为s)，

9、摇杆O1B=24cm，距离第21页/共63页解：B点的运动轨迹是以O1B为半径的圆弧,t t=0=0时,B点在B0处。取B0为弧坐标原点。则B点的弧坐标由于OAO1是等腰的,则=2=2，故这就是B点的运动方程。其方向如图。可见，B点作匀速圆周运动。于是B点的速度及加速度为va第22页/共63页 例例6 杆杆AB绕绕A点点转转动动时时，带带动动套套在在半半径径为为R的的固固定定大大圆圆环环上上的的小小护护环环M 运运动动，已已知知t(为为常常数数)。求求小小环环M 的的运运动动方方程程、速速度和加速度。度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M

10、 的运动方程。的运动方程。故故M点的速度大小为点的速度大小为第23页/共63页其方向余弦为其方向余弦为故故M点的加速度大小为点的加速度大小为第24页/共63页MMjRoj例例7 半半径径为为R 的的轮轮子子沿沿直直线线轨轨道道纯纯滚滚动动(无无滑滑动动地地滚滚动动)。设设轮轮子子保保持持在在同同一一竖竖直直平平面面内内运运动动，试试分分析析轮轮子子边缘一点边缘一点M的运动。的运动。第25页/共63页 解解：取取坐坐标标系系Axy如如图图所所示示，并并设设M 点点所所在在的的一一个个最最低低位位置置为为原点原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为点坐标为这是旋轮线的参数

11、方程。这是旋轮线的参数方程。oRCAxy第26页/共63页M点的速度为：点的速度为：当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于零。点速度等于零。oRCAxy第27页/共63页解解：取取M点点的的直直线线轨轨迹迹为为 x 轴轴，曲曲柄柄的的转转动动中中心心O为为坐坐标标圆圆点点。M点的坐标为：点的坐标为：例例1 下下图图为为偏偏心心驱驱动动油油泵泵中中的的曲曲柄柄导导杆杆机机构构。设设曲曲柄柄 OA 长长为为r，自自水水平平位位置置开开始始以以匀匀角角速速度度w 转转动动，即即 tt，滑滑槽槽K-K与与导导杆杆B-B制制成成一一体体。曲曲柄柄端端点点A通通过过滑滑块块在在滑滑槽

12、槽K-K中中滑滑动动，因因而而曲曲柄柄带带动动导导杆杆B-B作作上上下下直直线线运运动动。试试求求导导杆杆的的运运动动方方程程，速速度度和加速度。和加速度。将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：BABOKMKwxjx第28页/共63页例例2 曲曲柄柄连连杆杆机机构构是是由由曲曲柄柄、连连杆杆及及滑滑块块组组成成的的机机构构。当当曲曲柄柄OA绕绕O轴轴转转动动时时，由由于于连连杆杆AB带带动动，滑滑块块沿沿直直线线作作往往复复运运动动。设设曲曲柄柄OA长长为为r，以以角角速速度度w 绕绕O轴轴转转动动，即即t，连连杆杆AB长长为为l。试求滑块。试求滑块B的运动方

13、程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。解解：取取滑滑块块B的的直直线线轨轨迹迹为为x轴轴，曲曲柄柄的的转转动动中中心心O为为坐坐标标原原点点。在在经经过过 t 秒秒后后，此此时时B点的坐标为：点的坐标为：ABOClxwxja整理可得整理可得B的运动方程：的运动方程：第29页/共63页由此可得滑块由此可得滑块B的速度和加速度：的速度和加速度：将右边最后一项展开：将右边最后一项展开：第30页/共63页例例3 一一人人高高 h2，在在路路灯灯下下以以匀匀速速v1行行走走，灯灯距距地地面面的高为的高为h1，求人影的顶端，求人影的顶端M沿地面移动的速度。沿地面移动的速度。解解:取坐标系取坐标系x如

14、图所示，由几何关系得如图所示，由几何关系得:上上式式对对t求求一一阶阶导导数数，得得 M 点点的速度为的速度为:h1h2xmx2Mxv1第31页/共63页例例4 下下图图为为料料斗斗提提升升机机示示意意图图。料料斗斗通通过过钢钢丝丝绳绳由由绕绕水水平平轴轴O转转动动的的卷卷筒筒提提升升。已已知知：卷卷筒筒的的半半径径为为R16cm，料料斗斗沿沿铅铅垂垂提提升升的的运运动动方方程程为为y2t2，y以以cm记记，t 以以s计计。求求卷卷筒筒边边缘缘一一点点M在在t4s时的速度和加速度。时的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：解：此时此时M点的切向加速度为：点的切向加速度为：v4416 cm/s当

15、当t=4 s时速度为：时速度为：第32页/共63页M点的法向加速度为：点的法向加速度为：M点的全加速度为：点的全加速度为：第33页/共63页34指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动?,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)第34页/共63页35判断下列运动是否可能出现判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动?不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动加速运动加速运动不可能不可能匀速曲线运动匀速曲线运动不可能或改作不可能或改作

16、直线加速运动直线加速运动不可能不可能减速曲线运动减速曲线运动第35页/共63页36 点作直线运动时点作直线运动时,若其速度为零若其速度为零,其加速度也为零其加速度也为零 点作曲线运动时点作曲线运动时,若其速度大小不变若其速度大小不变,加速度是否一定为加速度是否一定为零零答答:不一定不一定.速度为零时加速度不一定为零速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时自由落体上抛到顶点时)加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化答：表示速度大小的变化

17、表示速度方向的变化表示速度方向的变化第36页/共63页5-2 5-2 刚体的平移刚体的平移一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。例如：第37页/共63页二、平移的特点 设刚体作平移，在刚体内任选两点A、B,令点A的矢径为rA，点B的矢径为rB,则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知当刚体平移时，线段AB的长度和方向都不改变。刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线，但是它们的形状是完全相同的。因此只要把点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的轨迹完全重合。5-2 5-2 刚体的平移刚体的平移第

18、38页/共63页上式对时间t求导数，得而因此，得将上式再求一次导数，得结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时,各点的速度相同,加速度也相同。因此,研究刚体的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。速度、加速度5-2 5-2 刚体的平移刚体的平移第39页/共63页例：图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时，通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角为=t，其中是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。解：连杆作平移，因此在连杆上任取一点M可代表连杆的运动。点M的位置坐标为这就是点M的运动方程。因此

19、，点M的速度及加速度为5-2 5-2 刚体的平移刚体的平移第40页/共63页刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴线，简称轴。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第41页/共63页一、转动方程 取转轴为z轴。通过轴线作一固定平面,此外，通过轴线作一与刚体固连的动平面 。这两个平面间的夹角用表示,称为刚体的转角。转角是一个代数量，它确定了刚体的位置,它的符号规定为:从z轴正向往下看,逆时针为正,反之为负。并用弧度(rad)表示,当刚体转动时,转角是时间t的单值连续函数，即这个方程称

20、为刚体绕定轴转动的转动方程。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第42页/共63页二、角速度 转角对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用表示，即角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位一般用rad/s（弧度/秒）。角速度是代数量。从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第43页/共63页三、角加速度 角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。用表示，即角加速度表示角速度变化的快慢。单位一般用rad/s2(弧度/秒2)。角加速度也是代数量。如果与同号，则转动是加速的；如果与异号，则转动是减速的。5-3 5-3 刚体

21、的定轴转动刚体的定轴转动第44页/共63页四、两种特殊情况 1.1.匀速转动刚体角速度不变的转动，称为匀速转动。在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟转数n来表示，其单位为r/min（转/分），称为转速。角速度与转速n的关系为式中转速n的单位为r/min，角速度的单位为rad/s。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第45页/共63页2.2.匀变速转动刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。其中0和0分别是t=0时的角速度和转角。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第46页/共63页一、转动刚体内各点的速度 以固定点O 为弧坐标s的原点，按角的正向规定弧坐标s的正向，于

22、是将上式对t求一阶导数，得上式可写成 即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第47页/共63页转动刚体内各点速度分布规律：5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第48页/共63页二、转动刚体内各点的加速度 转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。法向加速度为即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。atan5-3 5-3 刚体的定轴转动

23、刚体的定轴转动第49页/共63页如果与同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。点M加速度a的大小和方向：5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第50页/共63页由于在每一瞬时，刚体的和都只有一个确定的数值，所以得知：1在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。2在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角都有相同的值。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第51页/共63页例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：r=0.4=0.4m，在某瞬时的全加速度a=40=40m/s2,与转动半径的夹角=30=30。若t=0=0时，位置角0=0=

24、0，求叶轮的转动方程及t=2=2s时M点速度和法向加速度。5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第52页/共63页解：将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切向及法向分解，则切向加速度及角加速度为由于匀加速转动，故为常量。转动方程为当t=2=2s时，叶轮的角速度为因此M点的速度及法向加速度为atan5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第53页/共63页5-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比一、齿轮转动 外啮合内啮合因两轮之间没有相对滑动，故但因此或处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比。又故第54页/共63页设轮是主动轮，轮是从动轮。传动比：不仅适用于圆柱齿轮传动

25、，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦传动等。有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比也取代数值：正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。5-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比第55页/共63页二、皮带轮转动 如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则于是皮带轮的传动比为即：两轮的角速度与其半径成反比。轮为主动轮：r1 1、1 1轮为从动轮：r2 2、2 25-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比第56页/共63页 例：图为一减速箱，轴为主动轴，与电机相联。已知电机转速n=1450=1450r/min,各齿轮的齿数z1=14

26、,=14,z2=42=42，z3=20=20，z4=36=36。求减速箱的总传动比i14及轴的转速。5-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比第57页/共63页解：用n1 1、n2 2、n3 3、n4 4分别表示各齿轮的转速，则有应用齿轮传动比公式，得将两式相乘，得5-4 5-4 轮系的传动比轮系的传动比第58页/共63页即角加速度矢为角速度矢对时间的一阶导数。5-55-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度zzkk角速度（代数量）角速度矢（矢量）它的指向按照右手螺旋规则确定。角速度矢是滑动矢量。同样 于是 一、以矢量表示角速度

27、和角加速度 第59页/共63页绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。二、以矢积表示点的速度和加速度 1.以矢积表示点的速度如在轴线上任选一点O为原点，rOvr证明：的方向于是可得结论：与v的方向一致则5-55-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度第60页/共63页2.以矢积表示点的加速度 rOratan因为点M的加速度为上式右端第一项的大小为与at的方向一致 同理,右端第二项为法向加速度,即的方向vv5-55-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度第61页/共63页第五章第五章 点的运动学描述点的运动学描述和刚体的简单运动和刚体的简单运动结结 束束第62页/共63页感谢您的观看！第63页/共63页