状态方程与输出方程.pptx

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1、v2.1 状态空间描述的概念状态空间描述的概念v2.2 一般时域描述化为状态空间描述一般时域描述化为状态空间描述v2.3 频域描述化为状态空间描述频域描述化为状态空间描述v2.4 根据状态变量图列写状态空间描述根据状态变量图列写状态空间描述 v 根据方块图导出状态空间描述根据方块图导出状态空间描述v2.6 将状态方程化为规范形式将状态方程化为规范形式v小结小结第2章 状态方程与输出方程第1页/共84页 系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入-单输出

2、系统极为有效，可从传递函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程2.1 状态空间描

3、述的概念第2页/共84页一、基本定义现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 如图所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。例题解：由图分析可知列写该回路的微分方程为图2.1 RLC网络图第一种形式的数学描述第二种形式的数学描述第3页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一阶微分方程组表示形式为向量矩阵方程表示形式为传递函数表示形式为第三种形式的数学描述第4页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 由例题可知，系统的描述可分为外部描述和内部描述两种。外部描述(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映

4、外部变量间的因果关系，即输入-输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程；另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。传递函数向量矩阵方程第5页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 同时可以建立以下几个基本概念。1、状态变量 状态变量是能够完整地准确地描述系统的时域行为的最小一组变量。即 、。满足：在任何时刻t=t0，这组状态变量的值 、都表示系统在该时刻的状态；只要t0时状态已知，

5、tt0时的输入电压u(t)已知，则今后的运动状态也唯一地确定了。第6页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程2、状态向量 以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。即3、状态空间 以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。4、状态空间描述 在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型，包括状态方程和输出方程。第7页/共84页 现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二、状态空间描述的建立 通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想，同时说明状态变量的特点。如图所示的机械系统，外力u(t)为系统的输入量，位移y(t)为系统的输出量，试求其数学描述。例题图2.2 机械系统图解：根据牛顿第二定律分

6、析可得第8页/共84页建立步骤现代控制理论第2章 状态方程与输出方程令 、，则动态方程为则系统的状态空间描述为1、由已知条件分析得出系统的微分方程；2、确定系统的状态变量；3、列写系统的状态空间描述。第9页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 如图所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。例题解：由图分析可知图2.3 RLC网络图 选取状态变量x1=uc、x2=i，则第10页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程列写状态空间描述为 选取状态变量x1=i、x2=uc，则列写状态空间描述为第11页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 由此可见

7、，状态变量选择的不同，则系统的状态空间描述的表达形式也是不同的。但它们描述的都是同一个物理过程，所以在它们之间一定存在某种坐标变换关系，即可以通过一个变换矩阵来相互转化。状态变量的特点1、状态变量的选取不唯一；2、状态变量的个数唯一。第12页/共84页三、状态空间描述的表示形式现代控制理论第2章 状态方程与输出方程1、单输入-单输出(SISO)线性定常系统 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为x1、x2、xn，则一般形式的状态空间描述写作：式中常系数 与系统特性有关。第13页/共84页 系统矩阵，由系统内部结构及其

8、参数决定，体现了系统内部的特性；现代控制理论第2章 状态方程与输出方程其中，输入矩阵，体现了系统输入的施加情况；输出矩阵，表达了输出变量与状态变量之间 的关系；直接转移矩阵(或称关联矩阵)，表示了控制 向量u直接转移到输出变量y的转移关系。以上方程可写成矩阵形式，即第14页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 用方块图表示如图所示。图2.4 线性定常系统方块图第15页/共84页2、多输入-多输出(MIMO)线性定常系统现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 MIMO线性定常连续系统一般形式的状态空间描述为：第16页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程其中，、，n表示系统

9、维数，r表示输入向量的维数，m表示输出向量的维数。以上方程可写成矩阵形式，即第17页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程3、多输入-多输出(MIMO)线性时变系统4、非线性定常系统5、非线性时变系统第18页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程四、系统状态空间描述的特点 状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，因此它提示了问题的本质。输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于

10、控制系统的结构来说，把状态变量选为可测量或可观察更为合适。系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立贮能元件的个数。系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。第19页/共84页 要解决的问题：选取适当的状态变量，并由确定出相应的系数矩阵A、B、C、D。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 在经典控制理论中，控制系统的时域模型：线性定常系统的状态空间描述为：2.2 一般时域描述化为状态空间描述第20页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一、微分方程中不包含输入函数的导数 系统的微分方程：1、选取状态变量 若给定初始条件 、和t0时的输入 ，则系统的行为被完全确定，故选择 、作为系

11、统的一组状态变量，即 第21页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程2、列写一阶微分方程组3、列写系统的状态空间描述 状态方程：第22页/共84页 输出方程：现代控制理论第2章 状态方程与输出方程其中，称为酉矩阵，。第23页/共84页系统结构图如图所示。注意：注意：状态变量是输出y及y的各阶导数；系统矩阵A特点。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程图2.5 系统结构图第24页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二、微分方程中包含输入函数的导数 系统的微分方程：1、选取状态变量 状态变量的选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。即第25页/共84页现代控制理

12、论第2章 状态方程与输出方程式中 为待定系数，通过计算可得并且 。2、列写一阶微分方程组第26页/共84页3、列写系统的状态空间描述 状态方程：现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 输出方程：第27页/共84页选取状态变量，例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：列写系统的一阶微分方程组，系统的状态空间描述，第28页/共84页则待定系数 ，即选取状态变量，例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：已知系数第29页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程列写系统的一阶微分方程组和输出关系式，系统的状态空间描述，第30页/共84页化为状态空间描述的方法采用部部分分分分式式法法，

13、按极点情况的不同分为以下两种。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 控制系统的频域描述(即传递函数)：极点为重根极点为互异根2.3 频域描述化为状态空间描述第31页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一、极点为互异根的情况 系统的传递函数用部分分式法可化为：其中，为待定系数，用留数定理留数定理可求。即 则系统输出为 第32页/共84页 令 现代控制理论第2章 状态方程与输出方程1、选取状态变量则 第33页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 将状态变量进行拉式反变换可得2、列写一阶微分方程组和输出关系式而系统输出关系式进行拉式反变换可得第34页/共84页现代控制理论第

14、2章 状态方程与输出方程 状态方程和输出方程分别为3、列写系统的状态空间描述其中，系统矩阵 为对角型矩阵，所以称其为对角规范型。第35页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二、极点为重根的情况 系统的传递函数用部分分式法可化为：其中，为待定系数，用留数定理留数定理可求。即 则系统输出为 1、极点为一个重根(即即s s1 1为为n n重根重根)第36页/共84页(1)选取状态变量现代控制理论第2章 状态方程与输出方程第37页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 将状态变量进行拉式反变换可得(2)列写一阶微分方程组和输出关系式而系统输出关系式进行拉式反变换可得第38页/共8

15、4页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 状态方程和输出方程分别为(3)列写系统的状态空间描述其中，系统矩阵 为约当型矩阵，所以称其为约当规范型约当规范型。第39页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 则系统状态空间描述中的A、B、C阵形式如下：2、极点为两个重根(即即s s1 1为为l l重根，重根，s s2 2为为n n-l l重根重根)第40页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 则系统状态空间描述中的A、B、C阵形式如下：3、极点既有重根，又有互异根(即即s s1 1为为mm重根，重根，n n-mm个单根个单根)第41页/共84页式中，b0是直接联系输入、输出

16、量的前馈系数，是严格有理真分式，其系数用综合长除法得，现代控制理论第2章 状态方程与输出方程注意：注意：n阶系统的传递函数为应用长除法可得第42页/共84页(1-45)现代控制理论第2章 状态方程与输出方程其状态空间描述为式中，A、B、C阵由实现方式确定，其形式不变，唯有输出方程中需要增加一项。第43页/共84页即例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：传递函数可化为则待定系数为第44页/共84页系统的状态空间描述为现代控制理论第2章 状态方程与输出方程第45页/共84页则例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：已知系统的极点为待定系数为第46页/共84页系统的状态空间描述为现代控

17、制理论第2章 状态方程与输出方程第47页/共84页即例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：传递函数可化为则系统输出为第48页/共84页系统的状态空间描述为现代控制理论第2章 状态方程与输出方程则待定系数为第49页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 状态变量图：由积分器、加法器、放大器所构成的图形表示。根据系统状态变量图列写状态空间描述的基基本本思思想想是：把状态变量图中每个积分器的输出作为系统的状态变量。积分器积分器比例器比例器注意：注意：负反馈时为“”注意：注意：有几个状态变量，就建几个积分器。加法器加法器2.4 根据状态变量图列写状态空间描述根据状态变量图列写状态空间

18、描述第50页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一、一阶系统的状态空间描述 已知一阶系统的传递函数为系统的方块图为相当于积分环节图2.6 一阶系统方块图第51页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一阶系统的状态变量图为由状态变量图可直接写出状态空间描述为图2.7 一阶系统状态变量图第52页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二、二阶系统的状态空间描述 已知二阶系统的传递函数为相当于两个积分器串联第53页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二阶系统的状态变量图为由状态变量图可直接写出状态空间描述为图2.8 二阶系统状态变量图第54页/共84页化简为

19、现代控制理论第2章 状态方程与输出方程三、高阶系统的状态空间描述 已知高阶系统的传递函数为则第55页/共84页令高阶系统的状态变量图如图所示。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程则第56页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程图2.9 高阶系统状态变量图第57页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程高阶系统的状态空间描述为第58页/共84页例题现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：传递函数可化为 试绘制系统的状态变量图，并根据状态变量图写出系统的状态空间描述。令则第59页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程系统的状态变量图为图2.10 系统状态变量图第60

20、页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程系统的状态空间描述为第61页/共84页已知系统方块图如图所示，试导出系统状态空间描述。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程解：把各环节传递函数化为最简形式例题只有积分环积分环节节和惰性环惰性环节节图2.11 系统方块图2.5 根据方块图导出状态空间描述根据方块图导出状态空间描述第62页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程则原方块图变为 把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联第63页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 选取状态变量则进行拉氏反变换第64页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程系统的状态空间

21、描述为第65页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 在建立系统的状态空间描述时，由于状态变量选择的非唯一性，使得给定系统的状态空间描述具有不同的形式。这些不同的形式之间有一定的转换关系。转换方法将状态方程化为规范形式通过线性变换与系统特征值有关2.6 将状态方程化为规范形式第66页/共84页一个n维系统的 方阵A有且仅有n个特征值。系统的特征值就是其系数矩阵A的特征值，即特征方程 的根，也是系统传递函数的极点。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程一、系统的特征值及其不变性 线性定常系统的状态方程为 ，则1、特征值的定义2、系统特征值的形态不同，其状态方程的规范形式也不同。3、特征

22、值的性质(3)对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。(2)物理上存在的系统，方阵A为实数阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。第67页/共84页证：设线性非奇异变换应证明现代控制理论第2章 状态方程与输出方程证明：对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。第68页/共84页(4)设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量 ，使 ，则称 为A的属于 的特征向量。即现代控制理论第2章 状态方程与输出方程(5)设 为系数矩阵A的特征值，是矩阵A的分别属于这些特征值的特征向量，当 两两相异时，线性无关。因此，由这些特征向量组成的变换矩阵P必是非奇异的。即第69页/共84页现代控制理论第2章 状态方程

23、与输出方程(6)若 ，其特征多项式为 ，特征方程为 ，特征方程的根就是系统的特征值，即系统的极点。第70页/共84页定理：定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，则必存在非奇异矩阵P，通过变换 ，状态方程被化为对角规范型。即现代控制理论第2章 状态方程与输出方程二、将状态方程化为对角规范型1、系数矩阵A具有任意形式式中，。第71页/共84页互异特征值所对应的特征向量线性无关 P是非奇异的根据特征值与特征向量的关系 ，有现代控制理论第2章 状态方程与输出方程证明：选择特征值 所对应的特征向量构成P矩阵，即第72页/共84页所以，上述等式两端左乘 为现代控制理论第2章 状态方程与输出方

24、程将非奇异变换 ，代入 可得 其中第73页/共84页求对角规范型的步骤现代控制理论第2章 状态方程与输出方程1、求系统特征值，看其是否互异；2、求特征向量 ；3、求变换矩阵 ，并求出 、；4、求出系统的对角规范型。第74页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程2、系数矩阵A具有特定形式定理：定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，且系数矩阵A具有如上形式，则将 系统化为对角规范型的变换矩阵P可取为第75页/共84页结结论论：对系统 ，设其特征值 为两两互异，并利用它们的特征向量组成变换矩阵 那么，系统的状态方程在线性变换 下，必可化为如下的对角规范型现代控制理论第2章 状

25、态方程与输出方程对角规范型：对角规范型：在对角规范型下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表示成几个独立的状态变量方程。第76页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程三、将状态方程化为约当规范型1、系数矩阵A具有任意形式式中定理：定理：对于线性定常系统，如果其有k个 重特征值 ，则必存在非奇异矩阵Q，通过线性 变换 ，状态方程被化为约当规范型。即 为 重特征值 所对应的约当块第77页/共84页证明：现代控制理论第2章 状态方程与输出方程通过非奇异线性变换 ，使求特征向量，有 ，设 ，则第78页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程 对于 重特征值 ，Q中有 个列向量与 对应，

26、即 对于其它的重特征值所对应的特征向量的求法如上，最终求出变换矩阵Q。第79页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程2、系数矩阵A具有特定形式定理：定理：对于线性定常系统，系数矩阵A的形式如上，如果 其特征值 为m重根，是两两相异的，则变换矩阵Q为第80页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程令 ，其中 ，则第81页/共84页现代控制理论第2章 状态方程与输出方程例题化为对角规范型。例题化为对角规范型。例题化为约当规范型。第82页/共84页1、状态空间描述的基本概念(状态变量、状态空间描述)；2、状态空间描述的一般建立步骤，四种不同类型建立状态 空间描述的方法；3、状态方程化为规范型。现代控制理论第2章 状态方程与输出方程本章小结第83页/共84页感谢您的观看！第84页/共84页