高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数解三章三角函数解三角形第角形第 4 4 节函数节函数 y yAsin(xAsin(x)的图象及三角函数模型的图象及三角函数模型的简单应用教师用书文新人教的简单应用教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin (x)的有关概念振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0，x0)，表示一个振动量时AT2

2、f 1 T 2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x 2 3 2 2 x0 23 22yAsin(x)0A0A03.由 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(其中A0，0)的图象先平移后伸缩 先伸缩后平移 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的2 / 14打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致( )(2)将 y3sin 2x 的图象左移个单位后所得图象的解析式是y3sin.( )(3)函数 f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期( )(4)函数 y

3、Acos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )答案 (1) (2) (3) (4)2(2016四川高考)为了得到函数 ysin 的图象，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点( )A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度A 把函数 ysin x 的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数 ysin 的图象3若函数 ysin(x)(0)的部分图象如图 341，则( )图 341A5 B4 C3 D2B 由图象可知，x0x0，所以 T，所以 4.3 / 144将函数 ysin(2x)的图象沿 x

4、 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( )A. B. C0 D 4B 把函数 ysin(2x)沿 x 轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin 为偶函数，则 的一个可能取值是.5(教材改编)电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系式是 I5sin，t0，)，则电流 I 变化的初相、周期分别是_， 由初相和周期的定义，得电流 I 变化的初相是，周期 3T.函数yAsin(x)的图象及变换已知函数 f(x)3sin，xR.(1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数 ysin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象？解 (1

5、)列表取值：x 23 25 27 29 2x1 2 40 23 22f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.5 分(2)先把 ysin x 的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图象.12 分规律方法 1.变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸4 / 14缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x 确定平移单位2用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设zx，由 z 取 0， ，2 来求出相应的 x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定变式训练 1 (1

6、)(2016全国卷)将函数 y2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )Ay2sinBy2sin(2x 3)Cy2sinDy2sin(2x 3)(2)(2016全国卷)函数 ysin xcos x 的图象可由函数y2sin x 的图象至少向右平移_个单位长度得到(1)D (2) (1)函数 y2sin 的周期为 ，将函数 y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选 D.(2)ysin xcos x2sin，函数 ysin xcos x 的图象可由函数 y2sin x 的图象向右平移个单位长度得到求函数yAsin(x)的解析式(1)

7、(2016全国卷)函数 yAsin(x)的部分图象如图 342 所示，则( )图 342Ay2sin(2x 6)By2sin(2x 3)Cy2sin(x 6)5 / 14Dy2sin(x 3)(2)已知函数 yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为 0，最小正周期为，直线 x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )Ay4sin(4x 6)By2sin2Cy2sin2Dy2sin2(1)A (2)D (1)由图象知，故 T，因此 2.又图象的一个最高点坐标为，所以 A2，且 22k(kZ)，故 2k(kZ)，结合选项可知 y2sin.故选 A.(2)由函数 yAsi

8、n(x)b 的最大值为 4，最小值为 0，可知 b2，A2.由函数的最小正周期为，可知，得 4.由直线 x是其图象的一条对称轴，可知 4k，kZ，从而k，kZ，故满足题意的是 y2sin2.规律方法 确定 yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A，b；(2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 ；(3)求 ：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，b 已知)或代入图象与直线 yb 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 “第一点”(即图象上升

9、时与 x 轴的交点)时6 / 14x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时 x；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 x；“第四点”(即图象的“谷点”)时 x；“第五点”时 x2.变式训练 2 (2017石家庄一模)函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图 343 所示，则 f 的值为( )图 343A B C D1D 由图象可得 A，最小正周期 T4，则 2.又fsin，解得 2k(kZ)，即 k1，则 f(x)sin，fsinsin1，故选 D.函数yAsin(x)图象与性质的应用(2016天津高考)已知函数 f(x)4tan xsincos.(1)求 f(x)的定义域

10、与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间上的单调性解 (1)f(x)的定义域为.2 分f(x)4tan xcos xcos34sin xcos34sin x32sin xcos x2sin2x3sin 2x(1cos 2x)3sin 2xcos 2x2sin.所以 f(x)的最小正周期 T.6 分(2)令 z2x，则函数 y2sin z 的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.8 分7 / 14设 A，BxkZ，易知 AB.所以当 x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.12分规律方法 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函

11、数化成一个角的一种三角函数变式训练 3 设函数 f(x)sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 【导学号：31222119】(1)求 的值；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值解 (1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.3 分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4，因此 1.5 分(2)由(1)知 f(x)sin.6 分当 x时，2x，所以sin1，则1f(x).10 分故 f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.12 分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度

12、(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11 ，则在哪段时间实验室需要降温？8 / 14解 (1)因为 f(t)102(32cos12t1 2sin 12t)102sin，2 分又 0t24，所以t，1sin1.4 分当 t2 时，sin1；当 t14 时，sin1.于是 f(t)在0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 .6 分(2)依题意，当 f(t)11 时实验室需要降温由(1)得 f(t)102

13、sin，故有 102sin11，即 sin.9 分又 0t24，因此t，即 10t18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温.12 分规律方法 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模2建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言” ，这个过程就是数学建模的过程变式训练 4 (2015陕西高考)如图 344，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图 344A5 B

14、6 C8 D109 / 14C 根据图象得函数的最小值为 2，有3k2，k5，最大值为 3k8.思想与方法1由图象确定函数解析式由图象确定 yAsin(x)时， 的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点2对称问题函数 yAsin(x)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)易错与防范1要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利

15、用诱导公式化为同名函数3由 ysin x 的图象变换到 yAsin(x)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言的4函数 yAsin(x)在 xm，n上的最值可先求tx 的范围，再结合图象得出 yAsin t 的值域课时分层训练课时分层训练( (二十二十) )函数函数 y yAsin(xAsin(x)的图象的图象A 组 基础达标10 / 14(建议用时：30 分钟)一、选择题1为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图象，可以将函数ycos 3x 的图象( ) 【导学号

16、：31222120】A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位A 由于 ysin 3xcos 3xsin，ycos 3xsin，因此只需将 ycos 3x 的图象向右平移个单位，即可得到 ysinsin 的图象2(2017成都二诊)将函数 f(x)cos 图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为( )Ag(x)cosBg(x)cos(2x 6)Cg(x)cosDg(x)cos(x 2 6)B 由图象变换规则可得 g(x)cos，故选 B.3函数 f(x)2sin(x)的部分图象如图 345 所示，则， 的值分别是

17、( )图 345A2， 3B2， 6C4， 6D4， 311 / 14A ，T.由 T，得2.22k，kZ，2k.又，.4已知函数 f(x)sin xcos x(0)，yf(x)的图象与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于 ，则 f(x)的单调递增区间是( ) 【导学号：31222121】A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZC 由题设知 f(x)2sin，f(x)的周期为 T，所以2，由 2k2x2k，kZ 得，kxk，kZ.5(2016全国卷)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)B 将函数 y2

18、sin 2x 的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin22sin 的图象由 2xk(kZ)，得 x(kZ)，即平移后图象的对称轴为 x(kZ)二、填空题6若函数 f(x)sin(0)的最小正周期为，则 f_. 【导学号：31222122】0 由 f(x)sin(0)的最小正周期为，得 4，所以fsin0.12 / 147已知函数 ycos x 与 ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则 的值是_由题意 cos sin， 6即 sin，k(1)k(kZ)因为 0，所以 .8某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos(x1,2,3，12)

19、来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ，12 月份的月平均气温最低，为 18 ，则 10 月份的平均气温值为_ .205 依题意知，a23，A5，y235cos，当 x10 时，y235cos20.5.三、解答题9已知函数 f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数 yf(x)在上的图象解 (1)振幅为，最小正周期 T，初相为.5 分(2)图象如图所示12 分10已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象过点 P，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数 f(x)的递增区间解 (1)依题意得 A5，周期 T4，2 分13

20、 / 142.故 y5sin(2x)，又图象过点 P，4 分5sin0，由已知可得0，y5sin.6 分(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，10 分故函数 f(x)的递增区间为(kZ).12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016北京高考)将函数 ysin 图象上的点 P 向左平移s(s0)个单位长度得到点 P.若 P位于函数 ysin 2x 的图象上，则( )At，s 的最小值为 6Bt，s 的最小值为 6Ct，s 的最小值为 3Dt，s 的最小值为 3A 因为点 P 在函数 ysin 的图象上，所以 tsinsin.所以 P.将点 P 向左平移 s(s0)个单位长度

21、得 P.因为 P在函数 ysin 2x 的图象上，所以 sin 2，即 cos 2s，所以 2s2k或 2s2k，即 sk或sk(kZ)，所以 s 的最小值为.2若函数 ycos 2xsin 2xa 在上有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_【导学号：31222123】(2，1 由题意可知 y2sina，该函数在上有两个不14 / 14同的零点，即 ya，y2sin 在上有两个不同的交点结合函数的图象可知 1a2，所以2a1.3函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图 346 所示图 346(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)2，求函数 g(x)在 x上的最大值，并确定此时 x 的值解 (1)由题图知 A2，则4，2 分.又 f2sin3 2( 6)2sin0，sin0.4 分0，0，即 ，f(x)的解析式为 f(x)2sin.6 分(2)由(1)可得 f2sin3 2(x 12) 42sin，8 分g(x)241cos(3x4) 222cos.10 分x，3x，当 3x，即 x时，g(x)max4.12 分