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1、1配餐作业配餐作业( (十六十六) ) 导数与不等式导数与不等式(时间:40 分钟)一、选择题1(2017丹东模拟)若f(x),ef(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析 因为f(x),当xe 时,f(x)f(b)。故选 A。答案 A2f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若a0,由2xf(x)0,所以 00),则h(x)。3 xx3x1 x2当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)minh(1)4,所以ah(x)min4。故选 B。答案 B5已知函数F(x)(xa)2(lnx22a)2(x0,aR R),若存在x0
2、,使得F(x0) 成4 5立,则实数a的值是( )A1 B.1 2C. D.2 51 5解析 函数F(x)可视为两个动点M(x,lnx2),N(a,2a)之间的距离的平方,若存在x0使得F(x0) 成立意味着F(x)min ,注意到点M(x,lnx2),N(a,2a)分别是曲线f(x)4 54 52lnx和直线g(x)2x上的动点,f(x) ,令 2,解得x1,则函数f(x)图象上2 x2 x切线斜率为 2 的点M(1,0),该点到直线g(x)2x的距离的平方d22 ,此时y2x(25)4 5与y (x1)的交点的横坐标即为实数a的值 。故选 D。1 21 5答案 D二、填空题6若f(x)xs
3、inxcosx,则f(3),f,f(2)的大小关系为_。( 2)解析 函数f(x)为偶函数,因此f(3)f(3)。3又f(x)sinxxcosxsinxxcosx,当x时,f(x)f(2)f(3)f(3)。( 2)答案 f(3)1,f(0)4,则不等式f(x)1(e 为自然对数的底数)的解集为_。3 ex解析 由f(x)1 得,exf(x)3ex,构造函数F(x)exf(x)ex3,对F(x)求3 ex导得F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1。由f(x)f(x)1,ex0,可知F(x)0,即F(x)在 R R 上单调递增,又F(0)e0f(0)e03f(0)40,所以F(
4、x)0 的解集为(0,)。答案 (0,)8(2016衡水模拟)已知函数f(x)x2lnxa(x21),aR R。若当x1 时,f(x)0 恒成立,则a的取值范围是_。解析 f(x)2xlnx(12a)xx(2lnx12a),当a 时,因为x1,所以f(x)0。1 2所以函数f(x)在1,)上单调递增,故f(x)f(1)0。综上a的取值范围是。(,1 2答案 (,1 2三、解答题49(2016全国卷)已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)。(1)当a4 时,求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,)时,f(x)0,求a的取值范围。解析 (1)f(x)的定义域为(0,)。
5、当a4 时,f(x)(x1)lnx4(x1),f(x)lnx 3,f(1)2,f(1)0。1 x曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为 2xy20。(2)当x(1,)时,f(x)0 等价于 lnx0。ax1 x1设g(x)lnx,则ax1 x1g(x) ,g(1)0。1 x2a x12x221ax1 xx12()当a2,x(1,)时,x22(1a)x1x22x10,故g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增,因此g(x)0;()当a2 时,令g(x)0 得x1a1,x2a1。a121a121由x21 和x1x21 得x10 时,f(x)2aaln 。2 a解析 (1)f(x)的定义域为(
6、0,),f(x)2e2x 。a x当a0 时,f(x)0,f(x)没有零点;当a0 时,设u(x)e2x,v(x) ,a x因为u(x)e2x在(0,)上单调递增,v(x) 在(0,)上单调递增,a x所以f(x)在(0,)上单调递增。又f(a)0,当b满足 00 时,f(x)存在唯一零点。5(2)证明:由(1),可设f(x)在(0,)上的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0。故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0)。由于 2e2x00,a x0所以f(x0)2ax0aln 2aaln 。a 2x02 a2 a
7、故当a0 时,f(x)2aaln 。2 a答案 (1)当a0 时,存在唯一零点 (2)见解析(时间:20 分钟)1(2017唐山模拟)已知函数f(x)a(tanx1)ex。(1)若函数f(x)的图象在x0 处的切线经过点(2,3),求实数a的值;(2)对任意x,不等式f(x)0 恒成立,求a的取值范围。(0, 2)解析 (1)因为f(x)a(tanx1)ex,所以f(x)ex,a cos2x所以f(0)a1,又f(0)a1,且f(x)的图象在x0 处的切线经过点(2,3),故a1,a13 02a2。(2)由f(x)0 得a,ex tanx1令g(x),ex tanx1则g(x),extanx1
8、tanx tanx12当x时,g(x)0;(0, 4)当x时,g(x) e1x在区间(1,)内恒成立1 x(e2.718为自然对数的底数)。解析 (1)f(x)2ax (x0)。1 x2ax21 x当a0 时,f(x)0 时,由f(x)0,有x。12a此时,当x时,f(x)0,f(x)单调递增。(12a,)(2)令g(x) ,s(x)ex1x。1 x1 ex1则s(x)ex11。而当x1 时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,)内单调递增。又由s(1)0,有s(x)0,从而当x1 时,g(x)0。当a0,x1 时,f(x)a(x21)lnxg(x)在区间(1,)内恒成立时,必有a0。当 01,1 212a由(1)有f0,(12a)(12a)所以此时f(x)g(x)在区间(1,)内不恒成立。当a 时,令h(x)f(x)g(x)(x1)。当x1 时,h(x)2ax e1xx1 21 x1 x27 0。1 x1 x21 xx32x1 x2x22x1 x2因此,h(x)在区间(1,)内单调递增。又h(1)0,所以当x1 时,h(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x)恒成立。综上,a。1 2,)答案 (1)见解析 (2)12,)