高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第22练常考的递推公式问题的破解方略文.doc

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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 5 5 数列推理与证明第数列推理与证明第 2222 练常考的练常考的递推公式问题的破解方略文递推公式问题的破解方略文题型分析高考展望 利用递推关系式求数列的通项公式及前 n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型” ，然后采用相应的计算方法即可解决体验高考体验高考1(2015湖南)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 a11，且3S1,2

2、S2，S3 成等差数列，则 an_.答案 3n1解析 由 3S1,2S2，S3 成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比 q3，故等比数列通项 ana1qn13n1.2(2015课标全国)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_.答案 1 n解析 由题意，得 S1a11，又由 an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为 Sn0，所以1，即1，故数列是以1 为首项，1 为公差的等差数列，得1(n1)n，所以 Sn.3(2015江苏)设数列an满足 a11，且2 / 12an1ann1(nN*)，则数列前 10 项的和为_答案 20 11解析 a1

3、1，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上 n1 个式子相加得 ana123n，即an.令 bn，故 bn2，故 S10b1b2b102.4(2016课标全国丙)已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5，求 .(1)证明 由题意，得 a1S11a1，故 1，a1，a10.由 Sn1an，Sn11an1，得 an1an1an，即 an1(1)an，由 a10，0 得 an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是 ann1.(2)解 由(1)得 Sn1n.由 S5，得 15，即 5.解得 1.高考必会

4、题型高考必会题型题型一 利用累加法解决递推问题3 / 12例 1 (1)在数列an中，a11，anan1，则 an 等于( )A2B11 nC. D21 n1答案 A解析 anan1，a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n1)，以上各式左右两边分别相加得 ana11 nn111，ana112，又 a11 适合上式，an2，故选 A.(2)在数列an中，已知 a12，an1ancn(nN*，常数 c0)，且 a1，a2，a3 成等比数列求 c 的值；求数列an的通项公式解 由题意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3 成等比数列，(2c)22(23c)，解得 c0 或 c2，又

5、 c0，故 c2.当 n2 时，由 an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得 ana112(n1)cc.又 a12，c2，故 ann2n2(n2)，4 / 12当 n1 时，上式也成立，数列an的通项公式为 ann2n2(nN*)点评 由已知递推关系式，若能转化为 an1anf(n)，或f(n)且 f(n)的和可求，则可采用累加法变式训练 1 在数列an中，a11，an1anln(1)，则 an等于( )A1nln nB1nln nC1(n1)ln nD1ln n答案 D解析 a11，an1anln(1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)

6、a1ln(1)ln(1)ln(11)1ln(2)11ln n.题型二 利用累乘法解决递推问题例 2 (1)已知 a11，则 an_.(2)已知数列an中，a11，n(nN*)，则 a2 016_.答案 (1) (2)2 016解析 (1)，an an1.即，又a11，an，5 / 12而 a11 也适合上式，an的通项公式为 an.(2)由n(nN*)，得，a2 a1，a4 a3，各式相乘得n，an an1ann(n1 适合)，a2 0162 016.点评 若由已知递推关系能转化成f(n)的形式，且 f(n)的前 n 项积能求，则可采用累乘法注意验证首项是否符合通项公式变式训练 2 数列an的

7、前 n 项和 Snan (n2)，且a11，a22，则an的通项公式 an_.答案 Error!解析 Sn1an1 (n3)，SnSn1anan1，ananan1，.当 n3 时，2，n1，an(n1)a22(n1)(n3)a22 满足 an2(n1)，anError!题型三 构造法求通项公式例 3 (1)已知数列an，a12，an(n2)，则 an_.(2)已知 a11，an1，则 an_.答案 (1) (2)1 n解析 (1)由 an两边取倒数得1，6 / 12数列是首项为，公差为 1 的等差数列，(n1)n.an.(2)由 an1，得1(常数)，又1，为以 1 为首项，1 为公差的等差数

8、列，n，从而 an，即所求通项公式为 an.点评 构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项此类问题关键在于条件变形：在“ancan1b”的条件下，可构造“anxc(an1x)”在“an”的条件下，可构造“” 变式训练 3 已知数列an中，a12，当 n2 时，an，求数列an的通项公式解 因为当 n2 时，an1，两边取倒数，得.即，故数列是首项为1，公差为的等差数列所以(n1).所以 an.又当 n1 时，上式也成立，故数列an的通项公式是 an(nN*)高考题型精练高考题型精练1数列an满足 a11，a2，且(n2)，则 an 等于( )A. B

9、()n17 / 12C()nD.2 n1答案 D解析 由题意知是等差数列，又1，公差为 d，(n1)，an，故选 D.2已知数列an中，a11，且3(nN*)，则 a10 等于( )A28 B33 C. D.1 28答案 D解析 由已知3(nN*)，所以数列是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，即1(n1)33n2，解得 an，a10，故选 D.3已知数列an中，a1，an1an(nN*)，则数列an的通项为( )AanBann n1CanDann1 n2答案 B解析 由 an1an可得，an1an1 n23n2，所以 a2a1，a3a2，a4a3，anan1，8 / 12累加可得 ana1

10、，又 a1，所以 an，故选 B.4已知 f(x)log21，anf()f()f()，n 为正整数，则a2 016 等于( )A2 015 B2 009 C1 005 D1 006答案 A解析 因为 f(x)log21，所以 f(x)f(1x)log21log212.所以 f()f()2，f()f()2，f()f()2，由倒序相加，得 2an2(n1)，ann1，所以 a2 0162 01612 015，故选 A.5已知数列an满足 a11，an1ann2n(nN*)，则 an 为( )A.2n11B.2n1C.2n11D.2n11答案 B解析 an1ann2n，an1ann2n.ana1(a

11、2a1)(a3a2)(anan1)1(12)(222)(n1)2n11123(n1)(2222n1)1212n1 122n1.9 / 126已知数列an满足 a11，anan12n(n2)，则 a7 等于( )A53 B54C55 D109答案 C解析 anan12n(n2)，a2a14，a3a26，a4a38，a7a614，以上各式两边分别相加得a7a14614，a7155.7数列an中，a11，an23n1an1(n2)，则an_.答案 3n2解析 因为 an23n1an1(n2)，所以 anan123n1(n2)，由叠加原理知 ana12(332333n1)(n2)，所以 ana1213

12、n33n2(n2)，因为 a11 也符合上式，故 an3n2.8若数列an满足 an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式 an_.10 / 12答案 23n11解析 设 an3(an1)，化简得 an3an12，an3an12，1，an13(an11)a11，a112，数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，an123n1，an23n11.9若数列an满足 a11，且 an14an2n，则通项an_.答案 22n12n1解析 an14an2n，设 bn，则 bn12bn，bn12(bn)，即2，又 b11，bn是等比数列，其中首项为 1，公比为 2，bn2n1，即

13、 bn2n1，即2n1，an2n(2n1)22n12n1.10数列an满足 an1，a82，则 a1_.答案 1 2解析 an1，an11an1 1an1111 an111 / 1211(1an2)an2，周期 T(n1)(n2)3.a8a322a22.而 a2，a1.11数列an满足 a11，a22，an22an1an2.(1)设 bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式(1)证明 由 an22an1an2，得 bn1bnan22an1an2an1an22an1an2，又 b1a2a11，bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)解 由(1)得 bn2n1，于是 an1

14、an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a113(2n3)1(n1)21，而 a11 也符合，an的通项公式 an(n1)21.12已知数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，且Sn12Snn1(nN*)(1)证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列nann的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知，Sn12Snn1(nN*), 当 n2 时，Sn2Sn1n，12 / 12两式相减得，an12an1，于是 an112(an1)(n2)当 n1 时，S22S111，即 a1a22a111，所以 a23，此时 a212(a11)，且 a1120，所以数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列所以 an122n1，即 an2n1(nN*)(2)令 cnnann，则 cnn2n，于是 Tn121222n2n，2Tn122(n1)2nn2n1，两式相减得，Tn2222nn2n1n2n1(1n)2n12，所以 Tn(n1)2n12.