高考数学二轮复习难点2-3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题教学案文.doc

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1、1 / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-32-3 三角变换平面向量函数三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题教学案文解三角形问题等综合问题教学案文高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的

2、目的.1.1.向量与三角形问题的结合向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份” ，既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算， ，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景.1.11.1 向量与三角形谈向量与三角形谈“心心”内心（三角形内切圆圆心）：三角形三条内角平分线的交点；外心（三角形外接圆的圆心）：三角形各边中垂线的交点；垂心：三角形各边上高的交点；重心：三角形各边中线的交点，用向量形式可表示为如下形式：用向量形式可表示为如下形式：2 / 8若是内的一点，是的内心；PABC

3、(),0()0ABACAP ABACBABCBPtt BABC ，PABC若两点分别是的边上的中点,且DE、ABCBCCA、是的外心；DP PBDP PCEP PCEP PA PABC若,则是的重心；0GAGBGC GABC若是面内的一点，且，则是的垂心.PABCPA PBPA PCPC PB PABC例例 1.1.已知外接圆的圆心为，且，则已知外接圆的圆心为，且，则 ABCO320OAOBOC AOC思路分析：本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应思路分析：本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值由于三角形的边长不固定，所以不妨

4、假设外接用，考查特殊角的三角函数值由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为，也可以假设为，这个数会在后面运算过程中约掉三个向量的和圆的半径为，也可以假设为，这个数会在后面运算过程中约掉三个向量的和为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于余弦值的表达式，由此求得角的大小化简出关于余弦值的表达式，由此求得角的大小1rAOC【答案】2 3点评：本题考查了向量的应用，综合性高，难度大，密切联系已知条件和合理构思是解题的关键.1.21.2判断三角形形状判断三角形形状三角形的边可以看做向量的

5、模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状3 / 8例例 2.2. 【吉林省实验中学吉林省实验中学 20182018 届第二次月考届第二次月考】已知已知 P P 为三角形为三角形 ABCABC 内部任一点内部任一点（不包括边界）（不包括边界） ，且满足，且满足(-)(+-2)=0(-)(+-2)=0，则，则 ABCABC 的形状一定为的形状一定为_._.思路分析：（思路分析：（1 1）利用向量的线性运算，向量的数量积找出边之间关系，从而推）利用向量的线性运算，向量的数量积找出边之间关系，从而推断出，可知是等腰的三角

6、形断出，可知是等腰的三角形CBCA ABC【答案】等腰三角形【解析】,PBPAABCBCA 2PBPAPCPBPCPAPCCBCA 又,20PBPAPBPAPC 220CBCACBCACBCA ，故.ABC 一定为等腰三角形.22CBCA CBCA 点评：此题考查了向量的线性运算，向量的数量积应用，利用向量的数量积可以很好得解决了三角形的边角问题，熟练掌握定理是解本题的关键1.31.3向量运算与三角形问题的综合运用向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.

7、例例 3.【3.【河北衡水金卷河北衡水金卷 20182018 届模拟一届模拟一】已知的内角，已知的内角， ， 的对边，的对边， ， 分别满足，分别满足，又点满足，又点满足ABCA BCabc22cb2 coscoscos0bAaCcAD12 33ADABAC （1）求及角的大小；aA（2）求的值AD思路分析：（思路分析：（1 1）由及正弦定理化简可得即，从而得又，所以，由余弦定理得；）由及正弦定理化简可得即，从而得又，所以，由余弦定理得；（2 2）由，得）由，得 ，所以，所以2 coscoscos0bAaCcA2sin cossinsinBAACB4 / 81cos2A 0,A2 3A7a 1

8、2 33ADABAC 2 212 33ADABAC 444142 199929 2 3AD 点评：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 2.2.三角函数与三角形问题的结合三角函数与三角形问题的结合三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.例例 4.4. 的内

9、角所对应的边分别为，已知，的内角所对应的边分别为，已知， ，. .ABC ABC， abc，ab3c 22coscos3sincos3sincosABAABB（1）求角的大小；C（2）若，求的面积.4sin5A ABC思路分析：（思路分析：（）由二倍角公式进行降次：，再根据配角公式进行分类整理，）由二倍角公式进行降次：，再根据配角公式进行分类整理，5 / 8最后根据三角形内角范围得角之间关系：，即，最后根据三角形内角范围得角之间关系：，即， （）由正弦定理可求边，即由）由正弦定理可求边，即由得，再根据三角形内角关系求角，最后利用三角形面积公式：得，再根据三角形内角关系求角，最后利用三角形面积公

10、式：cos21cos2133sin2sin22222ABABsin 2sin 266BA2266BA2 3AB3C3 43 52a8 5a 43 3sinsin10BAC18 318sin225ABCSacB点评：本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数，第一问中要熟练掌握三角变换公式；第二问涉及到三角形面积公式. 3.3.三角变换、向量、三角形问题的综合三角变换、向量、三角形问题的综合高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，

11、三角变换主要考察求值、化简、变形.例例 5.5. 【浙江省台州中学浙江省台州中学 20182018 届第三次统练届第三次统练】已知向量已知向量, , ，记，记3sin,14xm 2cos,cos44xxn f xm n (1) 若 ，求的值； 1f x cos3x(2) 在锐角 中，角 的对边分别是 且满足 ，求 的取值范围ABC, ,A B C, , ,a b c2coscosacBbC2fA思路分析：（思路分析：（1 1）由）由, , ， ，利用平面向量数量积公式可得，利用二倍角的余弦，利用平面向量数量积公式可得，利用二倍角的余弦公式可得结果；公式可得结果；(2)(2)由，根据正弦定理得，

12、再由两角和的正弦公式化简可得，从由，根据正弦定理得，再由两角和的正弦公式化简可得，从而求得，求得，利用三角函数的有界性即可得结果而求得，求得，利用三角函数的有界性即可得结果. .3sin,14xm 6 / 82cos,cos44xxn 1f x 1sin262x2coscosacBbC2sinsincossin cosACBBC1cos2B 3B2 363A点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是 “变角” ，即注意角之间的结构差异，弥

13、补这种结构差异的依据就是三角公式.B实际应用中的三角形问题实际应用中的三角形问题在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的.例例 6.6. 【江苏省如东高级中学江苏省如东高级中学 20182018 届期中届期中】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点处的某种设备产生水波圈，水波圈生产秒时的半径（单如图，固定在水面上点处的某种设备产生水波圈，水波圈生产秒时的半径（单位：位： ）满足；）满足； 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端固定是铺设在水面上的

14、浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端固定在水岸边在水岸边. .游戏规定：当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此游戏规定：当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的端跑向端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈同时从浮桥的端跑向端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知，定在这个游戏中不过关，已知， ，浮桥的某个桥墩处点到直线的距离分别为，浮桥的某个桥墩处点到直线的距离分别为，且，若某游戏

15、参与者能以的速度从浮桥端匀速跑到端且，若某游戏参与者能以的速度从浮桥端匀速跑到端. .Otrm234 3rtAB,A BOABABOtan2AOB 6OAmABM,OA OB8 52 ,5mm4AMm13/m sA B（1）求该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间？A B（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.思路分析：（思路分析：（1 1）设，由，解得或（舍）设，由，解得或（舍）. .求得直线的方程为，与联立可得，求求得直线的方程为，与联立可得，求7 / 8得得 AB,AB,进而可得所需时间；进而可得所需时间；0,2M x0228 555x 03x 05x AM23120xy20

16、xy3,6B （2）求得时，点坐标为，其中. ， .构造函数 ，求导计算可得时， 恒成立，所以该参与者在这个游戏中过关.tsP63 ,2tt03t 2222632133636OPtttt224 3rt 22324133f trOPtt3636 03tt 0,3trOP即.所以.所以，该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间为.3, 6x y 3,6B 223663 13AB A B3 13313s8 / 8点评：本题考查的是函数模型的应用.解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆要准确在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解 综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键