高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理选修4_4.doc

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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案精选高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理选修理选修 4_44_4考纲展示 1.理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程4了解参数方程，了解参数的意义5能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程6掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题考点 1 直角坐标方程与极坐标方程的互化1.极坐标系(1)

2、设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的_，记为 ，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M的极角，记为 .有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记作M(，)一般地，不作特殊说明，我们认为 0,02.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为 x_，y_.另一种关系为2_，tan _(x0)- 2 - / 14答案：(1)极径 (2)cos sin x2y2 y x2常用简单曲线的极坐标方程(1)

3、几个特殊位置的直线的极坐标方程直线过极点：0 和 0；直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；直线过 M 且平行于极轴：sin b.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程当圆心位于极点，半径为 r：_；当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：_；当圆心位于 M，半径为 a：_.答案：(2)r 2acos 2asin 典题 1 (1)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin.求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解 圆 O：cos sin ，即 2cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为 x2y2xy，即 x2y2x

4、y0.直线 l：sin，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为 yx1，即 xy10.由得Error!故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为.(2)2017河南洛阳统考已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2，22cos2.- 3 - / 14将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过两圆交点的直线的极坐标方程解 由 2 知，24，所以 x2y24.因为 22cos 2，所以 222，所以 x2y22x2y20.将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin.点石成金 (1)直角坐标方程

5、化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及 ysin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 cos ，sin ，2 的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验考点 2 参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变量 t 的函数并且对于 t 的每一个允许值，上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t 称为_答案：参数方程 参数2一些常见曲线的参数方程(1)过

6、点 P0(x0，y0)，且倾斜角为 的直线的参数方程为(t 为- 4 - / 14参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2 的参数方程为( 为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为( 为参数)答案：(1)x0tcos y0tsin (2)arcos brsin (3)acos bsin 3直线参数方程的标准形式的应用(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是(t 是参数，t 可正、可负、可为 0)若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则(1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t

7、2sin )(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|t|.典题 2 (1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(t 为参数)；(t 为参数)；(t 为参数)解 由 x1t，得 t2x2，y2(2x2)，xy20，此方程表示直线由 y2t，得 ty2，x1(y2)2，- 5 - / 14即(y2)2x1，此方程表示抛物线 22，得 x2y24，此方程表示双曲线(2)2017重庆巴蜀中学模拟已知曲线 C 的参数方程是( 为参数)，直线 l 的参数方程为(t 为参数)，求曲线 C 与直线

8、l 的普通方程；若直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|，求实数 m 的值解 由得的平方加的平方，得曲线 C 的普通方程为x2(ym)21.由 x1t，得 tx1，代入 y4t 得y42(x1)，所以直线 l 的普通方程为 y2x2.圆心(0，m)到直线 l 的距离为 d，所以由勾股定理，得221，(|m2|5)解得 m3 或 m1.点石成金 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

9、系，C 的极坐标方程为2sin .- 6 - / 14(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标解：(1)由 2sin ，得 22sin ，从而有 x2y22y，所以 x2(y)23.(2)设 P，又 C(0，)，则|PC|(31 2t)2(32t 3)2，故当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)考点 3 极坐标、参数方程的综合应用典题 3 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为

10、极轴)中，圆 C 的方程为 2sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解 (1)由 2sin ，得 22sin ，x2y22y，即 x2(y)25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得225，即 t23t40.(322t)由于 (3)24420，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以Error!- 7 - / 14又直线 l 过点 P(3，)，故由上式及 t 的几何意义，得|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.点石成金 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别

11、化为普通方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程的标准形式为(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即|t|，t 可正，可负使用该式时直线上任意两点 P1，P2对应的参数分别为 t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2 的中点对应的参数为(t1t2).2017黑龙江大庆模拟在平面直角坐标方程 xOy 中，已知直线l 经过点 P，倾斜角 .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的极坐标方程为 2cos.(1)写出

12、直线 l 的参数方程，并把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值解：(1)直线 l 的参数方程为(t 为参数)，即(t 为参数)由 2cos ，得2cos 2sin ，22cos 2sin ，x2y22x2y，故圆 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.- 8 - / 14(2)把(t 为参数)代入(x1)2(y1)22，得 t2t0，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2，t1t2，|PA|PB|t1t2|.方法技巧 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式 cos

13、x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以 等2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法易错防范 1.极径 是一个距离，所以 0，但有时 可以小于零极角 规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与 P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,00)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .- 9 - / 14(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将

14、 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2.C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos ，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a 1(舍去)或 a1.a1 时，极点也为 C

15、1，C2 的公共点，在 C3 上所以 a1.22016新课标全国卷在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|，求 l 的斜率解：(1)由 xcos ，ysin 可得圆 C 的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得 212cos 110.- 10 - / 14于是 1212c

16、os ，1211.|AB|12|122412.由|AB|，得 cos2，tan .所以 l 的斜率为或.32016新课标全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为( 为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解：(1)C1 的普通方程为y2 1，C2 的直角坐标方程为xy4 0.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(cos ，sin )因为 C2是直线，所以|PQ|的最小值

17、即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d()| 3cos sin 4|2sin2.当且仅当 2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时 P 的直角坐标为.42015新课标全国卷在直角坐标系 xOy 中，直线C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积- 11 - / 14解：(1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40

18、.(2)将 代入 22cos 4sin 40，得 2340，解得 12，2.故 12，即|MN|.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为.52015新课标全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：(t为参数，t0)，其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2cos .(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y22x0.联立 解得 或 所以 C2 与 C3

19、交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线 C1 的极坐标方程为 (R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin ，)，B 的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |- 12 - / 144.当 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.课外拓展阅读 直线参数方程中参数 t 的几何意义过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为(t 为参数)通常称为直线 l 的参数方程的“标准式” 其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.当 00，所以，直线 l 的单位方向向量 e 的方向总是向上此时，若 t0

20、，则的方向向上；若 t0)，过点 P(2，4)的直线 l 的参数方程为(t 为参数)直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)求 a 的取值范围；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值思路分析 (1)由题意知，曲线 C 的直角坐标方程为y22ax(a0)，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，令0 即可求得结果；- 13 - / 14(2)设交点 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，由参数方程中t1，t2 的几何意义，可得 t1t22(4a)，t1t22(164a)，然后由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|t1t2|2|t1t2|，

21、代入求解即可解 (1)由题意，可得曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax(a0)，将直线 l 的参数方程(t 为参数)代入曲线 C 的直角坐标方程，得t2(4a)t164a0，因为直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，所以 0，即 a0 或 a0，所以 a 的取值范围为(0，)(2)设交点 M，N 对应的参数分别为 t1，t2.则由(1)知，t1t22(4a)t1t22(164a)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则|t1t2|2|t1t2|.解得 a1 或 a4(舍去)，所以实数 a 的值为 1.典例 2 过点 M(2,1)作曲线 x24y216 的弦 AB，若 M 为线段AB 的三等分点，求线段 AB 所在直线的方程思路分析 解 设直线 AB 的参数方程为Error!(t 为参数)，代入曲线方程，得(cos24sin2)t24(cos 2sin )t80，令 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2，- 14 - / 14t1t2.因为点 M(2,1)是弦 AB 的三等分点，不妨令点 M 为靠近点 B 的一个三等分点，所以 t12t2，t1t2t2，t1t22t2(t1t2)2，将代入，得 12tan216tan 30，可求得 tan ，则 AB 所在直线的方程为 y1(x2)