高考数学：三角函数专题.pdf

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1、 1/15 第 12 讲 三角函数复习专题 1.三角函数图象与性质 一教学目标：1.了解正弦函数、余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象；2.了解周期函数、周期、最小正周期定义.会求三角函数的周期；3.掌握周期性，奇偶性最值性，并会求简单三角函数的值域及最值；4.掌握的单调性，并能用单调性比较大小.会求函数及的单调区间.二、重点难点:重点：三角函数的图象与性质；掌握正弦型函数 yAsin(x)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法 难点：三角函数的单调区间五点法画图三角函数性质的应用 三教学方法：一学、二记、三应用 四知识梳理：1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正

2、弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(2，1)，(，0)，(32，1)，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(2，0)，(，1)，(32，0)，(2，1)2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R x|xR 且 x2k，kZ 值域 1,1 1,1 R 单调性 22k，22k(kZ)上递增；22k，322k(kZ)上递减 2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(2k，2k)(kZ)上递增 最值 x22k(kZ)时，ymax1；x22k(kZ)

3、时，ymin1 x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心(k，0)(kZ)(2k，0)(kZ)(k2，0)(kZ)对称轴方程 x2k(kZ)xk(kZ)周期 2 2 3函数的周期性：(1)定义：对于函数，如果存在一个实数 T，使得当取定义域内的任意实数时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 2/15 (2)如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小 （3）函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.4.三角函数的奇偶性：三角函

4、数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式 五、课前自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数 ycosx 的对称轴是 y 轴()(2)正切函数 ytanx 在定义域内是增函数()(3)已知 yksinx1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(4)ysin|x|是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2.若1cossin3，则 cos2sin()A1 B1 C25 D1 或25 答案：C 解析：因为1cossin3，所以 cos3sin1(sin0)，所以 sin2(3sin1)21(sin0)，即 5s

5、in23sin0(sin0)，所以 sin35，cos45，所以 cos2sin25.3y|cosx|的一个单调增区间是()A.2，2 B0，C.，32 D.32，2 解析 将 ycosx 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称，x 轴上方(或 x 轴上)的图象不变，即得 y|cosx|的图象(如图)故选 D.六、典例剖析 题型一 三角函数定义及同角，诱导公式 例 1（1）2022河北张家口月考若角 满足 sin0，tan0，tan0，是第二象限角，即22k2k，kZ，4k22k，kZ，2是第一或第三象限角故选 C.（2）2022湖北百所重点校联考已知角 的终边经过点 P(x,3)(x0

6、)且 cos1010 x，则 x()A1 B13 C3 D2 23 3/15 答案：A 解析：由题意，得xx291010 x，故 x2910，解得 x1.因为 x0，所以x1，故选 A.（3）2022泉州质检若 sintan0，且 sincos(0,1)，那么角 的终边落在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 解析：sintan0，0，0)的部分图象如图所示，则 _。解析 由题设图象知，A2，可得 f(x)2sin(x)。由函数图象过点(0，1)，可得2sin1，即 sin12，则 2k6(kZ)或 2k56(kZ)。因为3T456T，所以56T109，所以95125。

7、由函数图象过点56，0，得 sin56 0，则562k(kZ)。由得 2k，2k2(kZ)，又0，|2的部分图象如图所示，其中 A(2,3)(点 A为图象的一个最高点)，B52，0，则函数 f(x)_。解：由题意得 M3，34T252，所以 T62，所以 3，所以 f(x)3sin3x，将 A(2,3)代入可得 33sin23，因为|0，0)的解析式主要从以下三个方面考虑：1根据最大值或最小值求出 A 的值。2根据周期求出 的值。3根据函数图象上的某一特殊点求出 的值。课堂练习 2：已知函数 f(x)2sin(x)(0，|0，|0)的最小正周期为，则f(x)的单调递增区间为()A.k3，k56

8、(kZ)B.2k6，2k3(kZ)C.k3，k6(kZ)D.k6，k3(kZ)解析：根据已知得2，得2.由不等式 2k22x62k2(kZ)，解得k6xk3(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是k6，k3(kZ)答案：D（2）(2022河北省石家庄市高三二检)已知函数 f(x)sin2x6cos2x，则 f(x)的一个单调递减区间是()A.12，712 B.512，12()sin 24f xx0,22222 7/15 C.3，23 D.6，56 解析 f(x)sin2x6cos2x32sin2x12cos2xcos2x32sin2x32cos2x 3sin2x3.由 2k22x32k32(

9、kZ)，得 k12xk712(kZ)，所以 f(x)的一个单调递减区间为12，712，故选 A.答案 A(3).(2022广州模拟)函数f(x)sin(x)在区间3，23上单调递增，常数的值可能是()A0 B.2 C D.32 解析 由函数 f(x)sinx 的图象可以看出，要使函数 f(x)sin(x)在区间3，23上单调递增，结合选项，经验证知，需将 f(x)sinx 的图象向左平移32个单位长度，故选项 D 正确 （4）（提高）已知0，函数f(x)sinx4在2，上单调递减，则的取值范围是()A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0，2 解析 由2x 得24x44，由题意知2

10、4，42，32，242，432，1254，故选 A.课堂练习 4：函数的单调增区间是（）A B C D【答案】B【解析】，只需求的增区间，由得，所以的增区间是，故选 B.题型五 三角函数的对称性 例 5、(1)函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A B C D【答案】B【解析】cos()3yx42,2()33kkkZ22,2()33kkkZ32,2()88kkkZ52,2()66kkkZ2coscos33xxycos3x223kxk2-+2233kxkycos3x22,2()33kkkZcos 43yx842 8/15（2）函数的图象的对称中心是()A B.C.D.【答案】D【解析】：令

11、 2x+=，kz，求得 x=-，kz 故函数 ytan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），kz，故选 D（3）(2021陕西宝鸡二模)同时具有性质：最小正周期是；图象关于直线 x3对称的一个函数是()Aycosx26 Bysin2x6 Cycos2x6 Dysin2x6 解析(1)由于 ycosx26的周期为2124，不满足条件，故排除 A.对于函数 ysin2x6，它的周期为22，当 x3时，函数取得最大值为 1，因此图象关于直线 x3对称，故满足条件 对于函数 ycos2x6，它的周期为22，当 x3时，函数值为 0，不是最值，因此图象不关于直线 x3对称，故不满足条件故选 B.对于函

12、数 ysin2x6，它的周期为22，当 x3时，函数值为12，不是最值，因此图象不关于直线 x3对称，故不满足条件（4）函数 f(x)2sin(x)(0)对任意 x 都有 f6x f6x，则 f6的值为()A2 或 0 B2 或 2 C0 D2 或 0 解析 因为函数 f(x)2sin(x)对任意 x 都有 f6x f6x，所以该函数图象关于直线 x6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选 B.答案 B（5）（提高）(2021湖南长沙模拟)若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6，0，则 的最小值为()A1 B2 C4 D8 解：由662k，得 26k，kZ.又 N

13、*，故 的最小值为 2.故选 B.课堂小结：三角函数对称轴和对称中心求法(1)直接利用公式求解：如果求 f(x)Asin(x)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)Asin(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可(2)利用函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是tan(2)4yx(,0)4kkZ(,0)24kkZ(,0)28kkZ(,0)48kkZ42k4k444k8 9/15 函数图象与 x 轴的交点，这一性质求解或通过检验函数值进行判断 课堂练习 5：（1）下列坐标所表示的点不是函数tan()26xy的图象的对

14、称中心的是（）A03，B503，C203，D403，【答案】C （2）函数的图象关于点成中心对称，则最小的的值为（）A B C D【答案】C【解析】：由题意得，当时，即，时最小，此时，故选 C 题型六 三角函数的奇偶性 例 6（1）.函数()lg|sin|f xx是（）.A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为2的偶函数【答案】C（2）已知函数 f(x)sin(x)3cos(x)2，2是偶函数，则 的值为()A0 B.6 C.4 D.3 解析 据已知可得f(x)2sinx3，若函数为偶函数，则必有3k2(kZ)，又由于 2，2，故有 32

15、，解得 6，经代入检验符合题意故选 B.答案 B（3）（提高）已知函数 f(x)12cosxcos(x3)是偶函数，其中 0，2，则下列关于函数 g(x)cos(2x)的正确描述是()Ag(x)在区间12，3上的最小值为1 Bg(x)的图象可由函数 f(x)的图象向上平移 2 个单位长度，向右平移3个单位长度得到 Cg(x)的图象的一个对称中心是12，0 Dg(x)的一个单调递减区间是0，2 解析 因为函数 f(x)12cosxcos(x3)是偶函数，y1，y2cosx 都是偶函数，所以 ycos(x3)是偶函数，所以 3k，kZ，所以 k3，kZ，又 02，所以 3，)2sin()(xAxf

16、)0,34(363634xkx288,33kkkZ 3k3 10/15 所以 g(x)cos2x3。当12x3时，22x33，cos2x30,1，故 A 项错误；f(x)12cosxcos(x)12cos2xcos2x，显然 B 项错误；当 x12时，g(x)cos20，故 C 项正确；当 0 x2时，32x323，g(x)cos2x3有增有减，故 D 项错误。故选 C。答案 C（4）（提高）【湖南省长沙市一中 2022 届高三高考模拟试卷（二）】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是()A.B.C.(1,1)D.(-1,1)【答案】D 课堂小结：利用三角函数的奇偶性求参数值 若 f(x)As

17、in(x)为偶函数，则 k2(kZ)，且 x0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则 k(kZ)，且 x0 时，f(x)0.课堂练习 6:【2017-2021 山西省朔州一中 8 月】函数 是 （）A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数【答案】B【解析】为偶函数本题选择 B 选项.题型七 三角函数的周期性 例 7（1）(2022洛阳市高三第一次统一考试)下列函数中，是周期函数且最小正周期为 的是()Aysinxcosx Bysin2x 3cos2x Cycos|x|Dy3sinx2cosx2 解析 对于 A，函数 ysin

18、xcosx 2sinx4的最小正周期是 2，不符合题意；对于 B，函数 ysin2x 3cos2x12(1cos2x)32(1cos2x)1 321 32cos2x 的最小正周期是，符合题意；对于 C，ycos|x|cosx 的最小正周期是 2，不符合题意；对于 D，函数 y3sinx2cosx232sinx 的最小正周期是 2，不符合题意故选 B.答案 B（2）函数 y2sin2xsin2x 的最小正周期是()A.4 B.2 C D2 解析 函数 y2sin2xsin2x21cos2x2sin2x 2sin2x41，则函数的最小 11/15 正周期为22.故选 C.（3）函数 f(x)|si

19、nx|cosx|的最小正周期是_ 解：fx2sinx2cosx2|cosx|sinx|f(x)f(x)的最小正周期是2.课堂小结：三角函数的周期求法：(1)利用周期定义(2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(3)利用图象 课堂练习 7：:对函数1()2sin()1()26f xxxR，有下列说法：()f x的周期为4，值域为 3,1；()f x的图象关于直线23x对称；()f x的图象关于点(,0)3对称；()f x在2(,)3上单调递增；将()f x的图象向左平移3个单位，即得到函数12cos12yx的图象.其中正确的是_.（

20、填上所有正确说法的序号）.【答案】.【解析】因为函数1()2sin()1()26f xxxR中，1=2，则2=412T；1sin()1,126x，则12sin()13,126x ；故 正 确；函 数()f x的 对 称 轴 为1262xkkZ，即223xk；当0k 时，23x，所以图像关于直线23x对称；故正确；函数()f x的对称中心为,0 x，即126xkkZ，解得23xk；当0k 时，3x，所以()f x的图象关于点(,0)3对称，故正确；函数()f x的单调递增区间为1222262kxk，解得424433kxk，当0k 时，4233x，故错误；将()f x的图象向左平移3个单位，即得到

21、函数 112sin12sin123323fxxx，故错误.七自我测评：1函数 f(x)1cos4x4是()A周期为2的非奇非偶函数 B周期为 的奇函数 C周期为2的奇函数 D周期为2的偶函数 解：T242且为偶函数故选 D.2.(2022安徽合肥联考)函数 f(x)sin2x6cos2x 的图象的一条对称轴的方程可以是()Ax6 Bx1112 12/15 Cx23 Dx712 解析 f(x)sin2x6cos2x32sin2x32cos2x 3sin2x3.令 2x32k(kZ)，可得 x512k2(kZ)令 k1 可得函数图象的一条对称轴的方程是 x1112.故选 B.3.函数sin(2)(

22、0)2yx图象的一条对称轴在区间(,)6 3 内，则满足此条件的一 个值为（）A.12 B.6 C.3 D.56 答案：A 解析：令2()2xkkZ,解得()242kxkZ.由图象的一条 对 称 轴 在 区 间(,)6 3 内，令()62423kkZ，解 得()66kkkZ，四个选项中只有 A 符合题意.4(2022辽宁沈阳二中月考)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 成中心对称，那么|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2 解析 函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 成中心对称，243k2(kZ)，k136(kZ)由此易得|min6.故选 A.答案 A 5(202

23、1辽宁沈阳教学质量监测)函数 ysin2x2sinxcosx3cos2x，x0，2的单调递增区间是()A.0，4 B.4，2 C.0，8 D.8，4 解析 把函数的解析式变形，得 y1cos2x2sin2x31cos2x22sin2xcos2x 2sin2x42.若 x0，2，则 2x44，54，由42x42，得 0 x8，则函数的单调递增区间是0，8.故选 C.答案 C 6.将偶函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)(0)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象，则 g(x)在4，6上的最小值是()A2 B1 C 3 D12 解析 由题意可知 f(x)2sin2x6，因为函数 f

24、(x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象，所以 g(x)2sin2x62sin2x6。因为函数 f(x)2sin2x6为偶函数，所以 6k2(kZ)，k3(kZ)。又因为 00，|0，|0，|2。将函数 f(x)的图象向左平移12个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 ysinx12，由于所得图象关于 y 轴对称，故函数 ysinx12 为偶函数，故12k2，kZ。将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 ysinx6，由于所得函数 14/15 的图象关于原点对称，故函数 ysinx6 为奇函数，所以6n，nZ。化简可得 4(kn)2，即 4m2，mZ，即 是被 4 除余 2 的整数。故选 B。答案 B 10.函数 f(x)3sin2xlog12 x 的零点的个数是()A2 B3 C4 D5 解析 函数 f(x)零点个数即为 y3sin2x 与 ylog12 x 两函数图象的交点个数，如图，函数 y3sin2x 与 ylog12 x 有 5 个交点。答案 D 15/15