线性代数之行列式的性质与计算.pdf

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1、 1 第二节 行列式的性质与计算 2.1 行列式的性质 考虑111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa将它的行依次变为相应的列，得 112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 称TD为D的转置行列式.性质 1 行列式与它的转置行列式相等.（TDD）事实上，若记111212122212nnTnnnnbbbbbbDbbb 则(,1,2,)ijjibai jn 1212()12(1)nnp ppTppnpDb bb1212()12(1).nnp ppppp naaaD 说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.性质 2 互换

2、行列式的两行(ijrr)或两列(ijcc)，行列式变号.例如 123123086351.351086 推论 若行列式D有两行（列）完全相同，则0D.证明:互换相同的两行,则有DD,所以0D.性质 3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa 推论：(1)D中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；2(2)D中某一行(列)所有元素为零，则0D；性质 4:行列式中如果有两行(列)元素对应成比例,则此行列式等于零 性质 5:若行列式某一行(列)的

3、所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即 11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaabbbaaa.证:由行列式定义 1212()12(1)()niinp ppppipipnpDaaaba 12121212()()1212(1)(1).nnininp ppp ppppipnpppipnpaaaaaaba 性质 6 行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一数k加到另

4、一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()ijrkrDD，即 111211212ijnrkriiinnnnnaaaaaaaaa11121112212nijijinjnnnnnaaaakaakaakaaaa 计算行列式常用方法:利用性质 2,3,6,特别是性质 6 把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值 例 1:计算行列式 2324311112321311(1)(2)3234113104251113D 解:211231231232123223240188(1)3234086204250425rrrrrrD 3 4332413085841232123201880188005

5、86200586214300303700029rrrrrr1431(1)5828629 .41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002iiirrrriD6(1 2 2 2)48 .此方法称为归边法.例 2:计算 n 阶行列式 12111111(1)(2)111(0,1,2,)nnniaxaaaaxaDDaaaxain 解:(1)1112132,3,11111000000irrninnaaaDaaaa22111111100100010nnaaaaa(箭形行列式)11223122,3,11110000iincciian

6、innaa aaaaa 2312122111(1)(1)nnnnniiiia aaa aaa aaaa(2)注意到行列式各行元素之和等于(1)xna,有 12,3,(1)(1)(1)iccninxnaaaxnaxaDxnaax11(1)1aaxaxnaax 4 12,3,100(1)00irrinaaxaxnaxa1(1)()nxna xa.例 3:设1111111111110,kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb11111,kkkkaaDaa11121,nnnnbbDbb 证明:12.DD D 证:对1D作行运算ijrkr,把1D化为下三角形行列式:1111110;kkkkkp

7、Dpppp 对2D作列运算ijckc,把2D化为下三角形行列式:1121110.nnnnkqDqqqp 先对D的前kk行作行运算ijrkr,然后对D的后n列作列运算ijckc,把D化为下三角形行列式:11111111110,kkkknnknnnpppDccqccqq 故,111112.kknnDppqqD D.思考练习 1.计算行列式 5 111222122512123714(1)(2)(2)5927124612nnnnaaanaaanDDnaaan 2.证明1111111112222222222abbccaabcabbccaabcabbccaabc 3.证明 2222222222222222

8、(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaaabacaebbbbbdcddeabcdefccccbfcfefdddd 4.计算行列式2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 答案 134152217341.(1)29571642ccD 324342215221522011301131 1(3)390030003000330003rrrrrr 112122,3,1 111 11,2(2)0,21 11iccninnananaanDnan 2.左边=211111111111112222222

9、22222ccabbccaabcacaabbccaabcacaabbccaabcaca 32111111111122222222222222ccabcacabcacabcacabcacabcacabcac 21312341,215221522021601130113021601200120rr rrrrrr 6 2312121111111222222222ccccccabacbacabacbacabacbac1112222abcabcabc.3.证 (1)左边111111111abcdef2131111002020rrrrabcdef23111020002rrabcdef 4.abcdef(2

10、)左边12222,3,42214469214469214469214469icciaaaabbbbccccdddd324222223221262126021262126ccccaabbccdd右边 4.解:从第 4 行开始，后行减前行得，002320363abcdaababcDaababcaababc4332rrrr0002003abcdaababcaabaab43rr0002000abcdaababcaaba 4a 2.2 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233aaaaaaaaa222321232123111213323331333133aaaa

11、aaaaaaaaaaa 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式 定义：在n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa中，划去元素ija所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记作ijM；而 7(1)ijijijAM 称为元素ija的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232aaaaaaaaa中元素ija的余子式为1112233132aaMaa 元素23a的代数余子式为2 3232323(1)AMM 四

12、阶行列式101102511230301x中元素x的代数余子式为3 23211 1(1)0515001A 二、行列式按行（列）展开 定理 n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 11221122(1,2,)(1,2,)iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa AinDa Aa Aa Ajn或 证 （1）元素11a位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200nnnnnaaaaDaaa1 21 2121211()()121211(1)(1)nnnnj jjj jjjjnjjj

13、njjja aaa aa 222 3()112()(1)nnnjjjnjj jjaaa1111a M 而1 1111111(1)AMM,故1111Da A;（2）1111100jnijnnjnnaaaaDaaa 将D中第i行依次与前1i行对调，调换1i次后位于第一行;8 将D中第j列依次与前1j 列对调，调换1j 次后位于第一列;经(1)(1)2ijij 次对调后，ija就位于第一行、第一列，即 2(1)(1)ijijijijijijijijDa Ma Ma A .(3)一般地 111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa 11121111211112112121212

14、000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1122iiiiinina Aa Aa A 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A同理有.推论 n 阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 112211220()0()isisinsnjtjtnjnta Aa Aa Aisa Aa Aa Ajt或 证 考虑辅助行列式 1111121222112jjnjjnnnjnjnaaaaaaaaDaaaaij列列 1122).tjtjtnjnta Aa Aa A

15、jt按第 列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D，所以 9 1122)0jtjtnjnta Aa Aa Ajt（.关于代数余子式的重要性质 1,0,;nkikjijkD ija ADij 1,0,;nikjkijkD ija ADij1,0,.ijijij，其中 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成 n 个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列

16、式的性质将某一行（列）化为仅含 1 个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例 4:计算四阶行列式1234101231101205D.解:314121222100031461217ccccD 22 122211146217 按第 行展 122(1)111121 146217rr 1112 14621721311002 135239cccc 1 1352 1139 按第1行展3522439.例 5 已知 4 阶行列式 4142434430402222,.07005322ijijDMMMMMa求的值 其中为 的余子

17、式 解:(方法 1)直接计算4(1,2,3,4),.iAi 的值 然后相加（略）(方法 2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.10 414243441424344441424344111(1)1MMMMAAAAAAAA 30402222070011113407 22211134014 11100234281128.例 6:计算n阶行列式 00001000000020(1)(2)0000001000000nnxyxyDDxynyxn 解：11111212111(1)nnnDa Aa Aa A按第 列展 1 110000000000000(1)(1)00000000000000nxyyxyxyx

18、yxyyxxy 1(1)nnnxy.11111212111(2)nnnDa Aa Aa A按第 列展 1110000200(1)(1)!00200001nnnnnn .例 7:计算四阶行列式400000000ababababDabababab.解:按第 1 行展开，有 1 11 4400()(1)0()(1)00000ababababDabababababababab,11 对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得 22()()ababDabababab4222 a b.例 8:证明 X 得蒙行列式（Vandermonde)12111112111()(2)nnijj i nnnnn

19、xxxDxxnxxx ,其中1()ijj i nxx 表示所有可能的()ijxxji（的乘积.证:(用数学归纳法)2n 时,2211211,Dxxxx结论正确;假设对n-11nX 得蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形.21311222221331111121222133111111000nnnnnnnnnnnnxxxxxxDxx xxx xxx xxxxxxxxxx 2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxx 112()niixx按第 列展提取公因子 2322223111nnnnnxxx

20、xxx1()ijj i nxx .例 9 用 X 德蒙行列式计算 4 阶行列式 1111437516949256427343125D 解：对照 X 德蒙行列式，此处12344,3,7,5xxxx 12 所以有 14()ijj iDxx 213141324243()()()()()()xxxxxxxxxxxx(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 .第三环节：课堂练习 练习:已知 4 阶行列式 1424344411713180,.21435125ijijDAAAAAa求的值 其中为 的代数余子式 解:(方法 1)直接计算4(1,2,3,4),.iAi 的值 然后相加（略）(方法 2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.14243444142434441111AAAAAAAA 它是D中第 2 列元素与第 4 列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.AAAA