线性代数第二节 行列式的基本性质与计算.ppt

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1、返回返回2 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质一、行列式的基本性质 二、行列式按任一行二、行列式按任一行（列列）展开展开1返回返回定义定义3 设设 一、一、行列式的基本性质行列式的基本性质 性质性质1.1.行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 2返回返回因为因为性质性质2 2.互换两行互换两行(列列),),行列式改变符号行列式改变符号.注注：由性质由性质1可知可知,行列式中行与列具有同等地位行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立对列也成立,反之亦然反之亦然.所以所以3返回返回注注:换行换行

2、:换列换列:即即例如例如:4返回返回又如又如:推论推论1.1.若行列式若行列式 中某一行中某一行(列列)的所有元素均的所有元素均为零为零,则则 证明证明:当第一行元素全为当第一行元素全为0 0时时,即即由由行列式定义知行列式定义知 D=0;5返回返回若若第第 i 行行(i1)的元素全为的元素全为0,即即(第第 i 行行)=0.证毕证毕.6返回返回推论推论2.若行列式若行列式D 中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同,则则D=0.=0.证明证明:将相同的两行互换将相同的两行互换,有有 性质性质3.若行列式中某行若行列式中某行(列列)的所有元素是两个数的所有元素是两个数的和的和,则则D可表示成两

3、个新行列式之和可表示成两个新行列式之和.即即 7返回返回8返回返回证明证明:当当 i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知9返回返回当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第列式的第i行与第一行互换即可行与第一行互换即可10返回返回性质性质4.行列式中某一行行列式中某一行(列列)所有元素的公因子可所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面.即即证证:当当i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知11返回返回当当i1时，把第时，

4、把第i行与第一行互换，根据上面的结论，行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第行和第i行，即得该命题行，即得该命题12返回返回(第第 j 行行)推论推论20.(第第 i 行行)也就是也就是 推论推论3.若行列式若行列式 D 中有某两行中有某两行(列列)对应元素成比对应元素成比例例,则则 D=0.13返回返回 性质性质5把行列式中某一行把行列式中某一行(列列)的各元素乘以常数的各元素乘以常数k 后加到另一行后加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式保持不变行列式保持不变,即即14返回返回又又注

5、意注意:注注:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角即可把行列式化成上三角(或下三角或下三角)行列式来计算行列式来计算.15返回返回例例1.计算计算解解:D16返回返回17返回返回例例2.计算计算解解:从从第四行开始第四行开始,后行减去前行后行减去前行,得得18返回返回19返回返回例例3.计算计算n 阶行列式阶行列式 解解:此行列式的特点是各行此行列式的特点是各行 n 个数之和均为个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第故把第二列至第 n 列都加到第一列上去列都加到第一列上去:20返回返回21返回返回解法二解法二(镶边法镶边法)

6、当当a,b相等时，行列式为相等时，行列式为0,当当a,b不等不等时时22返回返回23返回返回例：计算例：计算解：解：24返回返回25返回返回26返回返回 引理引理 一个一个n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行行(或第或第j列列)所所有元素除有元素除 外都为零，那末此行列式等于外都为零，那末此行列式等于 与它的代与它的代数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即 二、行列式按任一行二、行列式按任一行(列列)展开展开 根据行列式的定义和性质根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于我们知道行列式等于它的第一行它的第一行(列列)的各元素与它们对应的代数余子式的的各元素与它们对应的代数余子式的乘

7、积之和乘积之和.事实上可以证明更一般的结论事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下为此先证明以下引理引理.例如例如27返回返回也就是也就是:若若则则28返回返回(1).当当 位于第一行第一列的情形位于第一行第一列的情形,即即证明证明:先证先证由由定义定义,按第一行展开得按第一行展开得 (2).再证一般情形再证一般情形(第第 i 行除行除 外外,其它元素全为其它元素全为零零),此时此时29返回返回得得30返回返回其中其中得得31返回返回32返回返回于是于是证毕证毕.定理一定理一.行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即它们对应的代数余

8、子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法行列式按行（列）展开法或或 证明证明:把行列式把行列式 D 的第的第 i 行的每个元素按下面的行的每个元素按下面的方式拆成方式拆成 n 个数的和个数的和,再根据性质再根据性质3,可将可将 D 表示成表示成 n 个行列式之和个行列式之和:33返回返回引理引理34返回返回证毕证毕.同理同理,若按列证明若按列证明,可得可得 推论推论.行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明证明:不妨设不妨设 i j,考虑辅助行列式考虑辅助行列式35返回返回第第 i 行

9、行第第 j 行行其中第其中第i行与第行与第 j行对应元素相同行对应元素相同,又将又将 按按第第 j行展开行展开,有有于是得于是得36返回返回上述证法按列进行上述证法按列进行,同理可同理可得得证毕证毕.小结小结:关于代数余子式的性质有关于代数余子式的性质有:(1).(2).或或简写成简写成:37返回返回例例1.利用定理一计算前面的例利用定理一计算前面的例1 1解解:D38返回返回39返回返回例例2 2.计算计算0000解解:按第一行展开按第一行展开,有有40返回返回41返回返回递推递推公式公式42返回返回例例3.证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式说明说明:43返回返回下面

10、我们来证明下面我们来证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式.证明证明:用数学归纳法用数学归纳法.因为因为44返回返回45返回返回按按归纳法假设归纳法假设,有有故故46返回返回常见的行列式计算法常见的行列式计算法1.用定义用定义2.化为三角行列式化为三角行列式3.每行每行(列列)元素之和为同一常数元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）为奇数）47返回返回所以所以48返回返回型型49返回返回50返回返回镶边法镶边法归纳法归纳法递推法递推法利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式51返回返回思考题思考题求：求：设设求求52返回返回求求解：解：53返回返回4.设行列式设行列式则第四行各元素余子式之和的值则第四行各元素余子式之和的值=().解解:54