相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).ppt

《相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).ppt（43页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件一相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B 记作（A等价于B：）问A是否相似于B？因为存在可逆矩阵使得例如例如 已知已知取令已知已知求一个与A相似的矩阵B即则对于可逆矩阵对于可逆矩阵一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个因为对于任意的 n 阶可逆矩阵都有不同，则可能不同，但都有注2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身，则对于任意的可逆矩阵设1 1反身性：反身性：2 2对称性：对称性：3 3传递性：传递性：二相似的性质若 则与的特征值相同若两对角阵和相似和有什么关系？由性质可知：若两对角阵相似，则两对角线上的元素，不计次序外

2、，完全相同若若 则则则与的特征值相同，若若 则则与与或同时可逆或同时不可逆或同时可逆或同时不可逆若若 则与的迹相同则与的迹相同设为则有若若 则则可逆可以表示成一些初等矩阵的乘积即若若 则则10.10.若若 则则注：这些相似关系中的 P不变,除了转置关系10.10.若若 则则相似矩阵有许多共同的性质特征值特征值相同相同行列式行列式相同相同可逆性可逆性相同相同迹相同迹相同等价等价秩相同秩相同三.阶矩阵A与对角矩阵相似的条件定理5.6证明：必要性 阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量若 则存在n阶可逆矩阵，使得显然，且 线性无关设是A的特征值，是A的属于 的特征向量又 线性无关所

3、以A有n个线性无关的特征向量充分性设有n个线性无关的特征向量：它们所对应的特征值依次为：则有令于是，由于 线性无关，故可逆即所以A相似于对角阵 若 A 有 n 个线性无关的特征向量,则 A与对角阵相似，且其中，是的n个特征值，是的属于的特征向量例例判断矩阵判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似矩阵相似,若相似，求相应的可逆矩若相似，求相应的可逆矩阵阵，解解得得的全部特征值为的全部特征值为使得使得对于对于解齐次线性方程组解齐次线性方程组令自由未知量令自由未知量 ，得基础解系得基础解系对于对于令自由未知量令自由未知量得基础解系得基础解系有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量性质性质属于不

4、同特征值的线性无关的特征向属于不同特征值的线性无关的特征向量仍然线性无关（定理量仍然线性无关（定理5.4）相应的可逆阵相应的可逆阵或或注意：对角阵注意：对角阵 的主对角线上特征值的顺的主对角线上特征值的顺序要和可逆阵序要和可逆阵P中特征向量的顺序一致中特征向量的顺序一致或或推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相同的特征个互不相同的特征值，则值，则A一定相似于一个对角阵一定相似于一个对角阵设三阶矩阵A有特征值-1,1,2，求证：矩阵 可对角化证的特征值为设A的特征值为 ，则的特征值为的特征值为的特征值为即阶矩阵有三个互不相同的特征值或例例2 2判断矩阵判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似

5、矩阵相似解解得得的全部特征值为的全部特征值为对于对于解齐次线性方程组解齐次线性方程组令自由未知量令自由未知量 ，得基础解系得基础解系对于对于令自由未知量令自由未知量得基础解系得基础解系三阶矩阵三阶矩阵只有两个线性无关的特征向量只有两个线性无关的特征向量，故故A不与对角矩阵相似不与对角矩阵相似为什么三阶矩阵为什么三阶矩阵只有两个线性无关的特征只有两个线性无关的特征向量向量？2重特征值只提重特征值只提供了供了1个线性无个线性无关的特征向量关的特征向量问题出问题出在哪里在哪里呢呢特征值特征值 是特征方程是特征方程 的根的根特征方程特征方程 是关于是关于 的的n次方程次方程n次方程在复数域内有次方程在

6、复数域内有n个根个根(包括重根包括重根)所以所以n阶矩阵阶矩阵A有有n个特征值个特征值.如果某个特征值是特征方程的如果某个特征值是特征方程的 重根，就重根，就说的重数是说的重数是 .则则A的全部特征值的重数之和为的全部特征值的重数之和为n.如果如果A的任一个特征值提供的线性无关的特的任一个特征值提供的线性无关的特征向量的个数都与这个特征值的重数相同，征向量的个数都与这个特征值的重数相同，因为所有特征值的重数之和为因为所有特征值的重数之和为 n那么那么一定有一定有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量则可对角化则可对角化基础解系中解向量的个数基础解系中解向量的个数 提供的线性无关的特征向

7、量个数提供的线性无关的特征向量个数的的重数重数n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是:对于对于A的每个的每个 重特征值重特征值 ,都有都有n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是:对于对于A的每个的每个 重特征值重特征值 ,都有都有即即定理定理5.75.7例例判断矩阵判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似矩阵相似解解得得的全部特征值为的全部特征值为的重数 对于重特征值，对于重特征值，不与对角阵相似不与对角阵相似应有应有但是但是n阶约当块：四约当标准形阶约当块阶约当块阶约当块不是不是约当块注：注：约当块是上三角矩阵，且对角线上元素相同由若干个约当块构成的分块对角阵2 2约当形矩阵注：注：对角矩阵是特殊的约当形矩阵矩阵 有两个特征值 3.结论：任一n阶矩阵都和一个n阶约当形矩阵相似或注：注：除对角线上约当块的次序外，约当除对角线上约当块的次序外，约当标准形是被矩阵标准形是被矩阵惟一确定的惟一确定的约当标准形对角线上的元素就是约当标准形对角线上的元素就是的特征值的特征值