直线与圆知识点总结及例题[精选.].pdf-得力文库

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1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围0,。如（1）直线xcos 3y 2 0的倾斜角的范围是 _（答：0，U，）；566倾斜角的取值范围是 0 180.倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是 90的直线没有斜率.22（2）过点P（3,1）,Q（0,m）的直线的倾斜角的范围,那么 m值的范围是33（答：m 2或m4）2、直线的斜率

2、：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan（90）；倾斜角为 90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的直线的斜率12为k x1x2；（3）直线的方向1 2yyxx向量 ar（1,k），直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：kABkBC。如（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的 _条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数x,y满足3x 2y 5 0（1 x 3），则的最大值、最小值xy2分别为 _（答：,1）33、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点（x0,y0）斜率为k，则直线

3、方程为y y0k（x x0）,它不包括垂直于x轴的直线。直线的斜率k 0时，直线方程为y y1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x x1.y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为,它不包2）斜截式：已知直线在kx b括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过P1（x1,y1）、P2（x2,y2）两点，则直线方word.程为y y1y2y1，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00900 x2x1x x或的1直线，两点式应变为（y y1）（x2x1）（x x1）（y2y1）的形式.（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为1，它不包

4、括垂直于坐标轴的直线abx y和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成Ax By C 0（A,B 不同时为0）的形word.式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=（1,3）的直线的点斜式方程是 _答：y 13（x 2）；（2）直线（m 2）x(2m 1)y(3m 4)0，不管m怎样变化恒过点答：（1,2）；（3）若曲线y a|x|与y x a（a 0）有两个公共点，则a的取值范围是 _（答：a 1）提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线过

5、原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A（1,4），且纵横截距的绝对值相等的直线共有 _条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为y kxb；（2）知直线横截距x0，常设其方程为x my x0（它不适用于斜率为 0 的直线）；（3）知直线过点（x0,y0），当斜率k存在时，常设其方程为y k（xx0）y0，当斜率k不存在时，则其方程为x x0；（4）与直线l:Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By C10；（5）与直线l:Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay

6、C1 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：Ax0By0C0 0（1）点P（x0,y0）到直线Ax By C 0的距离d；22ABC1C2（2）两平行线l1:Ax By C10,l2:Ax By C20间的距离为d。21 2AB26、直线l1:A1x B1y C10与直线l2:A2x B2y C20的位置关系：（1）平行1 22 10（斜率）1 20（在y轴上截2 1ABABBCBC（2）相交（3）重合A1B21B2A2B12B1CAABA0；0且B1C21AB2C1A0。B1 11 1B121 12C2C提醒：合

7、的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线word.A2B2C2、A2B2AB仅是两直线平行、相l1:A1x B1y C1 0与直线l2:A2x B2y C2 0垂直A1A2 B1B2 0。如（1）设直线l_时l1l2；当m1:x my 6 0和l2:（m 2）x 3y 2m 0，当mm_时l1l2；当_ 时l1与l2相交；当 _时l1与l2重合m（答：11；m 3且m 1；3）；（2）已知直线l的方程为3x 4y 12 0，则与l平行，2且过点（1，3）的直线方程是（答：3x

8、 4y 9 0）；（3）两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（答：1 a 2）；（4）设word.a,b,c分别是 ABC 中 A、B、C 所对边的边长，则直线sin Agx ay c 0与bx sin Bgy sinC 0的位置关系是（答：垂直）；（5）已知点P1（x1,y1）是直线l:f（x,y）0上一点，P2（x2,y2）是直线l外一点，则方程f（x,y）f（x1,y1）f（x2,y2）0 所表示的直线与l的关系是_（答：平行）；（6）直线l过点（，），且被两平行直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9，则直线l的方程是_（答：4

9、x 3y 4 0 和 x 1）7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，互相平行；（2）当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直8、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点M（a,b）与点N关于x轴对称，点 P 与点 N 关于y轴对称，点 Q 与点 P 关于直线x y 0对称，则点 Q 的坐标为（答：（b,a）；（3）点（，）关于直线l的对称点为（2,7），则l的方程是（答：y=3x3）；（4）已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y

10、+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_（答：18xy 51 0）；（5）已知 ABC 顶点 A（3，），边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0，B 的平分线所在的方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程（答：2x 9y 65 0）；（6）直线2xy4=0 上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是 _（答：（5,6）；（7）已知Ax轴，B l:y x，C（2，1），VABC周长的最小值为 _（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9.（1）直线过定点。如直线（3m+4）x+（5-2

11、m）y+7m-6=0,不论 m 取何值恒过定点（-1，2）（2）直线系方程（1）与已知直线 Ax+By+C=0 平行的直线的设法:Ax+By+m=0（m C）（2）与已知直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=03）经过直线l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0 交点的直线设法：word.A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为参数，不包括l2)3）关于对称（1）点关于点对称（中点坐标公式）2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk=-1个方程）4）线

12、关于线对称求交点，转化为点关于线对称）、圆的方程：圆的标准方22程：b2圆的一般方Dxr。x222程：Ey F 0（D2 E24F 0只有当word.），特别提醒10：2 2 2 22222D E 4F 0时，方程x y Dx Ey F为1DE0才表示圆心为（,），半径22222的圆(二元二次方程条件2222表示圆的充要是什么？(且且x为参数），其中圆圆的，。圆的参数方程：(y半径为）；2参数方程的主要应用是三角2222；y2换元：。y为直径端点的圆111212D E 4FAx BxyB 0D Erarcosbrsintxyxx rrsin(0r t)cos,yA x,y,Bx x x xy

13、 y y0方程x,y如（1）圆 C 与圆（x21关于直yx对称，则C 的方程为22_线圆1）x2（y（答：圆心在直1）y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的2x2）2线22标2(y 1)1)；1）；（准方程是_已知(x3)(y3)9或(x 1)3）（答：_(x r cos为参数，P(1,3)是2）上的点，则圆的普通方（y r sin0圆程为 _224；P 点对应的值为 _，过 P 点的圆的切线方程是 _（答：x yA C 0,Cy Dx Ey F 0（a,b）4AF 0 x r cos,rr sinyy23）；（4）如果直线四象限，斜率的取值范围是x+y+k=0 表示一个圆，x 3y 4 0l将

14、圆：x+y-2x-4y=0 平分，且不过第那么l的（答：0，2）；（5）方程 x+yx 3 c osy3 s in222则实数 k1的取值范围为 _（答：）；（6）若（为参数，则 b 的取值范，若围是11点与圆的位置关系：已知00及圆、点1)点 M 在圆 C 外2 2 220200k0N(x,y)|y x bM N)M（x,y）|_（答：3,3222）r2r 0，M x,yC：x-ay bCMr；(2)点 M 在圆 CrCM2rx0CM）在圆（x）y=1 的内部,x0aP（5a+1,12a内2则 a 的取值范围是y2022b2r。如点2r；(3)点 M 在圆 C 上1答：|a|1l:Ax By

15、 C 0Cry bx ay b21 3）2212、直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则22相交；相离；1）圆相切。几何方法较简捷。如（提醒：判断直线与圆的位置关系一般用与直线，rr 0：000dd rd rd r2x 2y 1xsin y 1 0（R,k22222k z）0word.的位置关系为（答：相离）；（2）若直线ax by 3 0与圆x y 4x 1切于点P(1,2)，则ab的值(答：2)

16、；(3)直线x 2y 0被曲线x y 6x 2y15 0所截得的弦长等于(答：4 5)；(4)一束光线从点 A(221,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)+(y-3)=1 上的最短路程是(答：4)；(5)已知222M(a,b)(ab 0)是圆O:x y r内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线22l:ax by r，则 Am/l，且l与圆相交Bl m，且l与圆相交Cm/l，2222且l与圆相离Dl m，且l与圆相离(答：C)；(6)已知圆 C：x (y 1)5，直线 L：mx y 1 m 0。求证：对m R，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、

18、为(答：内切)22214、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆 x y R 上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：2xx0yy0R，过圆2 2 2222(x a)(y b)R上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(x a)(x0a)(y a)(y0a)R2，一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直22222线方程；切

19、线长：过圆x y Dx Ey F 0(x a)(y b)R)外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为x0y0Dx0Ey0F(x0a)(y0b)R)；如设 A 为圆(x1)y 1上22动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为 (答：(x 1)y 2)；1(2)弦长问题：圆的弦长的计算：(垂径定理)常用弦心距d，半弦长a及圆的22222222半径r所构成的直角三角形来解：r d (a)；过两圆C1:1222f(x,y)0、2C2:g(x,y)0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y)0，当f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.。1时，方程

20、15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!22216.圆的切线和圆系方程 1过圆上一点的切线方程：圆x y r，圆上一点为(x0,word.y0)，则过此点的切线方程为x0 x+y0y=r(课本命题)圆x y r，圆外一点为（x0,y0），则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程222222为x0 x y0y r。2 圆系方程：设圆圆2222C1xyD1xE1y0F10和C2 x yD2x E2y F2若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2y D1x E122y F1+(x22yD2x=0（为

21、参数，圆系中E2yF2)不包括圆 C2，=-1 为两圆的公共弦所在直线方程）设圆 Cx y Dx Ey F 0与直线 l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x y Dx Ey F+（Ax+By+C）=0（为参数）例题 1 经过点 P（2，m）和 Q（2m，5）的直线的斜率等于12，则 m 的值是（B）1222A4B3C1 或 3D1 或 4变：求经过点 A（2,sin）,B（cos,1）的直线 l 的斜率 k 的取值范围2.已知直线 l 过 P（1，2），且与以 A（2，3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围1 点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜

22、角之间的关系！答案：，25，）3.已知坐标平面内三点 A（1，1），B（1，1），C（2，31），若 D 为ABC 的边 AB 上一动 CD 斜率 k 的变化范围答案：，25，）11.求 a 为何值时，直线 l1：（a2）x（1a）y10 与直线 l2：（a1）x（2a3）y20 互相垂直？答案：a=-12.求过点 P（1，1），且与直线 l2：2x3y10 垂直的直线方程答案：3x2y50.例 2.求过定点 P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程3例 3.已知 ABC 的顶点 A（1，1），线段 BC 的中点为 D（3，）word.2（1）求 BC 边上的中线所在直线的方程；wor

23、d.(2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9，求 BC 所在直线的方程例 4.方程(m 2m3)x(2m m1)y2m6 满足下列条件，请根据条件分别确定实数 m 的值(1)方程能够表示一条直线；(答案：m1)(2)方程表示一条斜率为 1 的直线(答案：m2)例 5.直线 l 的方程为(a2)y(3a1)x1(aR)13(1)求证：直线 l 必过定点；(答案：(55)，22(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(答案：5x5y 4 0)(3)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围(答案：分斜率存在与不存在)例 1：求点 A(-2,3)到直线 l:3x+

24、4y+3=0 的距离 d=。例 2：已知点(a,2)到直线 l:x-y+1=0 的距离为 2，则 a=例 3:求直线 y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线方程。类型一：圆的方程。(a 0)例 1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系变式 1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y 0平分的圆的标准方程.变式 2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y 0对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4 已知圆O：x y 4，求过点P 2，4与圆O相切的切线解：点P 2，4

25、不在圆O上，切线PT的直线方程可设为y k x 2 4.解得k所以y x 24 即3x4y 10 0yx 24k244因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x 22k 422根据d r33221 k，类型三：弦长、弧问题例 7、求直线l:3x y 6 0被圆C:x例 8、直线3x y 2 3 0截圆x解：依题意得，弦心距22y2 2x 4y 0截得的弦AB的长.2y4得的劣弧所对的圆心角为22d 3，故弦AB2 r d 2，从而 OAB 是等边形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3word.例 9、求两圆x y x y 2 0和x y 5的公共弦长

26、类型四：直线与圆的位置关系例 10、已知直线3x y 2 3 0和圆x y 4，判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系例 13、判断圆C1:x y 2x 6y 26 0与圆C2:x y 4x 2y 4 0的位置关系，例 14：圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有条。类型六：圆中的最值问题例 15：圆x y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是例 16(1)已知圆O1：(x 3)(y 4)1，P(x,y)为圆O上的动点，求d x y的最大、最小值22222222222222222222y 222(2)已知圆O2：(x 2)y 1，P(x,y)为圆上任一点求的最大、最小值，求x12 2x 2y的最大、最小值例 17：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x 3)2(y 4)2 422上运动，则PA PB的最小值是.解：设P(x,y)，则PA PB (x 2)y (x 2)y 2(x y)8 2OP 8.22设圆心为C(3,4)，则222222222OPmin OC r 5 2 3PA，PB的最小值为 2 3 8 26.最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改word.

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