中考数学试题分类解析汇编专题8三角形试题.pdf

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1、创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 2021 年-2021 年中考数学试题分类解析汇编专题 8：三角形锦元数学工作室 编辑 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 一、选择题 1.2021 年 3 分以下两个三角形不一定相似的是【】A、两个等边三角形 B、两个全等三角形 C、两个直角三角形 D、两个顶角是 120 的等腰三角形【答案】C。【考点】相似三角形的断定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。【分析】根据相似三角形的断定方法及各三角形的性质进展分析，从而得到答案

2、：A 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的断定；B 相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C 不相似，因为没有指明其另一锐角相等或者其两直角边对应成比例；D 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的断定。应选 C。2.2021 年 5 分计算：60tan30cos60cos45cot的结果是【】A、1 B、31 C、23-3 D、1332【答案】A。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】根据特殊角的三角函数值计算：cot45=1，cos60=12，cos30=32，tan60=3，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二

3、 O 二二 年 1 月 15 日 原式=1123132。应选 A。3.2021 年 5 分如图，直线l1/l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，那么 AE：EC 是【】A、5：2 B、4：1 C、2：1 D、3：2【答案】C。【考点】相似三角形的断定和性质。【分析】如下图，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，设 AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。由l1/l2，得AGFBDF，AG AFBDBF，即AG 2x3y3x。AG=2y。由l1/l2，得AGECDE，AE AG2y2 1ECCDy:。应选 C。4.2021 年 3 分如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到处时

4、，测得影子 CD 的长为米，继续往前走 2 米到达处时，测得影子 EF 的长为 2 米，王华的身高是，那么路灯 A 的高度 AB 等于【】6 米 8 米 【答案】B。【考点】相似三角形的应用，解二元一次方程组。【分析】如图，设 AB=x 米，BC=y 米，那么 BC=y1 米，BF=y5 米。由ABDGCD 和ABFHEF 得 G A l1 l2 F E B C D 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 A B C D ABBDGCCDABBFHEEF，即xy 11.51xy 51.52，解得x=6y=3。路

5、灯 A 的高度 AB 等于 6 米。应选 B。5.2021 年学业 3 分如图，ABC 中，ACADBD，DAC80，那么B 的度数是【】A40 B35 C25 D20【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。【分析】ABC 中，AC=AD，DAC=80，ADC=180802=50。AD=BD，ADC=B+BAD=50，B=BAD=502=25。应选 C。6.2021 年 3 分如图，小正方形边长均为 1，那么以下图形中三角形(阴影局部)与ABC相似的是【】【答案】B。【考点】相似三角形的断定。【分析】如 B 图EFG 和ABC 中，EFG=ABC=1350，AB

6、2CB22 ,2 EF1GF2，ABCB EFGF。EFGABC。实际上，A，C，D 三图中三角形最大角都小于ABC，即可排它，选 B即可。7.2021 年 3 分如图，ABC 与DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，那么创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 AD：BE 的值是【】A.3:1 B.2:1 C.5:3 D.不确定 【答案】A。【考点】等边三角形的性质，相似三角形的断定和性质。【分析】连接 AO，DO。设等边ABC 的边长为a，等边ABC 的边长为b。O 为 BC、EF 的中点，AO

7、、DO 是 BC、EF 的中垂线。AOC=DOC=900，AOD=1800COE。又BOE=1800COE，AOD=BOE。又由 AO、DO 是 BC、EF 的中垂线，得 OB=12a，OE=12b，OA=32a，OD=32b。从而33OAODOAOD223 ,3 ,AODBOE11OBOEOBOE22abab。AD：BE=3:1。应选 A。二、填空题 1.2021年3分 如图，D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，假设SADE=1，那么SABC=。【答案】4。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的断定和性质。【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：E 分别是ABC 的边 AB

8、、AC 的中点，DE 是中位线。DE12BC。ADEABC，且相似比为 1：2。SADE=1，SABC=4。2.2021 年 3 分计算：3tan30cot452tan452cos60=.【答案】3。【考点】特殊角的三角函数值。创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日【分析】运用特殊角的三角函数值求解：3tan30cot452tan452cos60=31312 12332 。3.2021 年 3 分如图，在ABC 和DCB 中，AC=DB，假设不增加任何字母与辅助线，要使 ABCDCB，那么还需增加一个条件是 。

9、【答案】AB=DC 或者ACB=DBC。【考点】全等三角形的断定。【分析】要使ABCDCB，有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，那么可根据全等三角形的断定方法添加适宜的条件即可：可添加 AB=DC 利用 SSS 断定ABCDCB；可添加ACB=DBC 利用 SAS 断定ABCDCB。4.2021 年 3 分在ABC 中，AB 边上的中线 CD=3，AB=6，BC+AC=8，那么ABC 的面积为 【答案】7。【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。【分析】根据条件先确定ABC 为直角三角形，再求得ABC 的面积：如图，在ABC 中，CD 是

10、 AB 边上的中线，CD=3，AB=6，AD=DB=3，CD=AD=DB。1=2，3=4。1+2+3+4=180，1+3=90。ABC 是直角三角形。AC2BC2=AB2=36。又ACBC=8，AC22ACBCBC2=64。2ACBC=64AC2BC2=6436=28。创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 ACBC=14。SABC=12ACBC=1214=7。5.2021 年 3 分直角三角形斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 【答案】9。【考点】直角三角形斜边上中线的性质。【分析

11、】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：圆的半径=62=3，那么面积=r2=9。6.2021 年学业 3 分如图，某渔船在海面上朝正向匀速航行，在 A 处观测 到 M 在北偏东 60 方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到 M 在北偏东 30 方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离间隔 最近的位置【答案】15。【考点】解直角三角形的应用方向角问题，垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的断定，含 30 度角直角三角形的性质。【分析】过点 M 作 MCAB 于点 C，由垂直线段的性质，知渔船到达离间隔 最近的位置即为点 C。由两直

12、线平行，内错角相等的性质，得ADB=60，从而由DBM=30 和三角形外角定理，得DMB=DBM=30。因此根据等腰三角形等角对等边的断定，得 AB=MB。设渔船航行的速度为 v 单位/分钟，那么由 MB=AB=30v 单位。在 RtBCM 中，MCB=90，MBC=30，那么 BC=12 MB=15v 单位。那么渔船从 B 处航行到 C 处所用时间是为15vv=15 分钟。即该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离间隔 最近的位置。A B M 北北30 60 东 C D A B M 北北30 60 东 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二

13、O 二二 年 1 月 15 日 7.2021 年招生 3 分如图，一艘海轮位于 P 的东北方向，间隔 40 2海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间是后，到达位于 P 的南偏东 300 方向上的 B 处，那么海轮行驶的路程 AB 为 海里结果保存根号 【答案】40+40 3。【考点】解直角三角形的应用方向角问题，平行的性质，等腰直角三角形的断定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的断定，知APC 为等腰直角三角形，由 AP=40 2，根据勾股定理，得 AC=PC=40；由平行的性质，得B=300，由锐角三角函数定义，得 CB=PC4040 3

14、B33tan。因此，AB=AC+CB=40+40 3海里。三、解答题 1.2021 年 12 分如图，ABC，ACB=90，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45，1求证：ACFBEC 8 分 2设ABC 的面积为 S，求证：AFBE=2S 4 分 3试判断以线段 AE、EF、FB 为边的三角形的形状并给出证明【答案】解：1证明：AC=BC，ECF=45ACB=90，A=B=45，AFC=45+BCF，ECB=45+BCF。AFC=ECB。ACFBEC。2ACFBEC，ACAFBEBC，即 AFBE=ACBC。又 SABC=12ACBC，AFBE=2S。3直角三角形。证明如下：A

15、E F B C 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 由2可知 AFBE=ACBC=AC2=12AB2。设 AE=a，BF=b，EF=c 那么(a+c)(b+c)=12(a+b+c)2，化简即得 a2+b2=c2。所以以线段 AE、EF、FB 为边的三角形是以线段 EF 为斜边的直角三角形。【考点】相似三角形的断定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。【分析】1对应角相等，两三角形相似。2根据相似三角形的性质证明 AFBE=ACBC=2S；3由2的结论，求出 AE、EF、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆

16、定理即可证明。此题还有以下证明方法：方法 1：将ACE 绕 O 顺时针旋转 90到CBG，边角边证明三角形全等，得出 FG=EF，再证明FBG 为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。方法 2：将ACE 和BCF 分别以 CE、CF 所在直线为轴折叠，那么 AC、BC 的对应边正好重合与一条线段 CG，连接 GE、GF，那么FEG 是直角三角形。2.2021 年 8 分大楼 AD 的高为 10 米，远处有一塔 BC，某人在楼底 A 处测得踏顶 B 处的仰角为 60，爬 到楼顶 D 点测得塔顶 B 点的仰角为 30，求塔 BC 的高度。【答案】解：作 BEAD 的延长线于点 E，设 ED=x，在

17、 RtBDE 中，BE=3DE=x3，在 RtABE 中，AE=3BE=3x，由 AEED=AD 得：3xx=10，解之得：x=5。所以 BC=5+10=15。D A C B D A C B E 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 答：塔 BC 的高度为 15 米。【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题。【分析】过点 B 作 BEAD 交 AD 延长线于点 E，构造两个直角三角形。设 DE=x，分别求解可得 AD 与 DE 的值，再利用 BC=AD+DE，即可求出答案。3.2021 年 7 分如图，某货船以

18、24海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东60的方向上 该货船航行30分钟后到达 B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，在 C 岛周围9海里的区域内有暗礁假设继续向正向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由【答案】解：如图，在 RtABP 中，AB=240.5=12，BAP=900600=300，AP=0128 330cos，BP=4 3。易求，PCB=PBC=300，PC=BP=4 3，AC=12 3。过点 C 作 CQAM 于点 Q，那么 CQ=6 3。936，货船继续向正向行驶无触礁危险。【考点】解直角三角形的应用方向角问题，锐角三

19、角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的断定。【分析】应用锐角三角函数求出点 C 到直线 AM 的间隔，与9海里比拟即可。4.2021 年 6 分如图，斜坡 AC 的坡度坡比为 1:3，AC10 米坡 顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14 米试求旗杆 BC 的高度 【答案】解：延长 BC 交 AD 于 E 点，那么 CEAD 北 60 30 A B C M A B C D 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 在 RtAEC 中，AC10，由坡比为 13

20、可知：CAE30，CEACsin3010125，AEACcos3010325 3。在 RtABE 中，BE22ABAE2214(5 3)11。BEBCCE，BCBECE11-56米。答：旗杆的高度为 6 米。【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】延长 BC 交 AD 于 E 点，那么 CEAD，要求旗杆 BC 的高度，只要求出 BE 和 CE 的高度即可。解 RtAEC 和 RtAB 即可得出结果。5.2021 年学业 7 分如图，AOB 和COD 均为等腰直角三角形，AOBCOD90，D在 AB 上 1求证：AOBCOD；4 分 2假

21、设 AD1，BD2，求 CD 的长 3 分【答案】解：1证明：DOB=90AOD，AOC=90AOD，DOB=AOC。OC=OD，OA=OB，AOCBODSAS。2AOCBOD，AC=BD=2，CAO=DBO=45。CAB=CAO+BAO=90，CD=2222ACAD 21 5。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的断定和性质，勾股定理。【分析】1因为AOB=COD=90，由等量代换可得DOB=AOC，又因为AOB 和CODA B C D E A B C D O 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 均为

22、等腰直角三角形，所以 OC=OD，OA=OB，那么AOCBOD。2由1AOCBOD，所以 AC=BD=2，CAO=DBO=45，由等量代换求得CAB=90，那么根据勾股定理 CD=22ACAD可求。6.2021 年招生 8 分阅读以下材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形数学教师给小明出了一道题目：在图一 1 正方形网格每个小正方形边长为 1 中画出格点ABC，使 ABAC5，BC2；小明同学的做法是：由勾股定理，得 ABAC22215，BC22112，于是画出线段 AB、AC、BC，从而画出格点ABC 1请你参考小明同学的做法，在图一 2 正方形网格

23、每个小正方形边长为 1 中画出格点ABC A点位置如下图，使 ABAC5，BC10直接画出图形，不写过程；2 观察ABC 与ABC 的形状，猜测BAC 与B A C有怎样的数量关系，并证明你的猜测【答案】解：1格点ABC如图一个即可：2猜测：BAC=B A C。证明如下：ABAC5A BA C5=，BC25B C510。ABACBCA BA CB C=。ABCABC。BAC=B A C。创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的断定和性质。【分析】1由勾股定理可作图形。2由三边对应成比例的断定可得ABCABC，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到BAC=B A C。