椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法精修订.pdf

《椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法精修订.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法精修订.pdf（5页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、椭椭圆圆离离心心率率的的三三种种求求法法中中点点弦弦方方程程三三种种求求法法 SANY标准化小组#QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#椭圆离心率的三种求法：椭圆离心率的三种求法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a，b，求a，c的值，利用公式e 或利用22cab2e 12直接求解.a(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得 的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与caa2b2c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首

2、先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.x2y2b1.若椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点,0分成ab253 的两段，则此椭圆的离心率为()bc解析依题意，得252b2 522，c2b，abc 5b，e.答案 Db355bc2点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.x2y22.设P是椭圆221(ab0)上的一点，F1，F2是其左，右焦点.已知F1PF2ab60，求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此

3、类问题的关键本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.解方法一根据椭圆的定义，有|PF1|PF2|2a.在F1PF2中，由余弦定理，得|PF1|PF2|F1F2|1cos 60，2|PF1|PF2|2即|PF1|PF2|4c|PF1|PF2|.式平方，得|PF1|PF2|2|PF1|PF2|4a.4b由，得|PF1|PF2|.3由和运用基本不等式，得4b|PF1|PF2|2|PF1|PF2|，即3a.222222222222242c122222由bac，得(ac)a，解得e .3a21又e1，该椭圆的离心率的取值范围是，1).2方法二如图，设椭圆与y轴交于B1，B

4、2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故F1B2F2F1PF260，从而OB2F230.c1在 RtOB2F2中，e sin OB2F2sin 30.a21又e1，e1.21该椭圆的离心率的取值范围是，1).2点评在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.(20

5、16 全国高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的1，则该椭圆的离心率为（B）4A.1123 B.C.D.3234解：设椭圆是焦点在 x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为B(0,b)、F(c,0)，则直线l的方程为bxcybc 0。又椭圆短轴长为 2b，椭圆中心到的距离为所以bcb2c2bc，abc1c12b，即。a4a2（2017 济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（D）A.22 1 B.C.22 D.2 122b2c解：由题意得2c，解得2 1。aa椭圆的中

6、点弦方程的求法有三：椭圆的中点弦方程的求法有三：（1 1）方程组法：）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2）点差法：点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y1)，将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点(x0,y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。（3）中点转移法：中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。x2y21，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，

7、求此弦所在的直线1.已知椭圆164方程.分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为yk(x2)1.由ykx21，22xy 1164消去y并整理，得(4k1)x8(2kk)x4(2k1)160.2222设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，82kk则x1，x2是方程的两根，所以x1x22.4k12x1x242k2k1因为点P为弦AB的中点，所以 22，解得k.24k12故所求直线的方程为x2y40.方法二(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB的中

8、点，所以x1x24，y1y22.又因为A，B在椭圆上，所以x14y116，x24y216.两式相减，得(x1x2)4(y1y2)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以22222222y1y2x1x211，即kAB.x1x24y1y2221故所求直线的方程为y1(x2)，2即x2y40.方法三（利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4x,2y).因为点A，B在椭圆上，所以x4y16，(4x)4(2y)16，从而A，B在方程所形成的图形上，即在直线x2y40 上.又因为过A，B的直线只有 1 条，故

9、所求直线的方程为x2y40.解后反思解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程直接求出弦所在的直线方程。2222