椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法(5页).doc

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1、-椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法-第 4 页椭圆离心率的三种求法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求a，c的值，利用公式e或利用直接求解.(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与a2b2c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.1.若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被

2、点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析依题意，得，c2b，ab，e. 答案D点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.2.设P是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2F1PF260，求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.解方法一根据椭圆的定义，有|PF1|PF2|2a.在F1PF2中，由余弦定理，得cos 60，即|PF1|2|PF2|24c2|PF1|PF2|.式平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.由，得|PF1|PF2|.由和运用基本不等式，得|PF1|PF2|

3、，即a2.由b2a2c2，得(a2c2)a2，解得e.又e1，该椭圆的离心率的取值范围是，1).方法二如图，设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故F1B2F2F1PF260，从而OB2F230.在RtOB2F2中，esin OB2F2sin 30.又e1，e1.该椭圆的离心率的取值范围是，1).点评“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国高考)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的，则该椭圆的离心率为（ B ）A. B. C. D.解：设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，上顶点与右焦点

4、分别为，则直线的方程为。又椭圆短轴长为2b，椭圆中心到的距离为，所以，即。（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（ D ）A. B. C. D.解：由题意得，解得。椭圆的中点弦方程的求法有三：（1） 方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2） 点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为，将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。（3） 中点转移法：先设出弦的

5、一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。1.已知椭圆，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为yk(x消去y并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，所以x1x2.因为点P为弦AB的中点，所以2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y

6、2).因为点P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y2A，B在椭圆上，所以x4y16，x4y16.两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kAB.故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40.方法三（利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4x,2y).因为点A，B在椭圆上，所以x24y216，(4x)24(2y)216，从而A，B在方程所形成的图形上，即在直线x2y40上.又因为过A，B的直线只有1条，故所求直线的方程为x2y40.解后反思解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程 。