2015年湖南省高考数学试卷(理科).pdf

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1、 第1页（共48页）2015 年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1（5 分）（2015湖南）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B1i C1+i D1i 2(5 分）（2015湖南）设 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3（5 分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3,则输出的 S=(）A B C D 4(5 分)（2015湖南)若变量 x、y 满足约束条件,则 z=3xy 的最小值为（）A7 B1 C1 D2 5

2、(5 分)（2015湖南）设函数 f(x）=ln（1+x)ln（1x），则 f（x）是(）A奇函数,且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在(0，1）上是减函数 C偶函数,且在（0，1)上是增函数 D偶函数，且在（0,1）上是减函数 6（5 分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（)A B C6 D6 7（5 分)(2015湖南)在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C为正态分布 N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（)第2页（共48页）附“若 XN=（，a2)，则 P(X+）=0。6826 p（2X+2）=0.954

3、4 A2386 B2718 C3413 D4772 8（5 分）（2015湖南）已知 A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为(2，0），则|的最大值为（)A6 B7 C8 D9 9（5 分）（2015湖南）将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移(0）个单位后得到函数 g（x）的图象 若对满足f（x1）g（x2)=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）A B C D 10(5 分）（2015湖南）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材

4、料利用率=)（）A B C D 二、填空题,共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11(5 分)（2015湖南）（x1）dx=第3页（共48页）12（5 分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为 135 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是 13（5 分）（2015湖南）设 F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 14（5 分）(2015湖南）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a

5、1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an=15（5 分)（2015湖南)已知函数 f(x)=若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 三、简答题，共 1 小题,共 75 分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修 41：几何证明选讲 16(6 分）（2015湖南)如图，在O 中，相交于点 E 的两弦 AB,CD 的中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1)MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO 选修 4-4：坐标系与方程 17(6 分)（2015湖南)已知直线 l：（t 为

6、参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为=2cos（1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程;（2）设点 M 的直角坐标为（5，），直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值 选修 4-5：不等式选讲 18(2015湖南)设 a0，b0,且 a+b=+证明:第4页（共48页）（）a+b2;（）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 19（2015湖南）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=btanA,且 B 为钝角 (）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围 20（2015湖南）某商场举行有奖

7、促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 21(2015湖南）如图，已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6的正方形,AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 DD1、BC 上(1)若 P 是 DD

8、1的中点，证明：AB1PQ；（2）若 PQ 平面 ABB1A1，二面角 PQDA 的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积 22（13 分）(2015湖南）已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2(）求 C2的方程；(）过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A、B 两点，与 C2相交于 C、D 两点，且与同向(）若|AC=BD|，求直线 l 的斜率；（）设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形 23（13 分）(2015湖南）已知 a0，函数 f(x）=eax

9、sinx（x0，+）记 xn为 f（x）的从小到大的第 n（nN*）个极值点证明:（）数列f（xn)是等比数列；（）若 a，则对一切 nN，xn|f(xn)恒成立 第5页（共48页）2015 年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题,共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分 1（5 分）（2015湖南）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B1i C1+i D1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值【解答】解：已知=1+i（i为虚数单位），z=1i，故选：D【点评】本题主要

10、考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题 2（5 分)（2015湖南）设 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的(）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】集合；简易逻辑【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可【解答】解：A、B 是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”所以 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件 故选：C【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用 3（5 分）(2015湖南）执行如图

11、所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S=(）第6页（共48页）A B C D 【考点】程序框图【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解:判断前 i=1，n=3，s=0,第 1 次循环，S=,i=2，第 2 次循环，S=,i=3，第 3 次循环，S=，i=4,此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果:S=故选:B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 4（5 分）（2015湖南）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3xy 的最小值为（)A7 B1 C1 D2【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分

12、析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案 【解答】解:由约束条件作出可行域如图,第7页（共48页）由图可知，最优解为 A，联立，解得 C(0，1）由解得 A(2，1）,由,解得 B(1，1）z=3xy 的最小值为 3（2）1=7 故选：A 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的 B 点 5(5 分)（2015湖南)设函数 f（x）=ln（1+x)ln（1x)，则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（0，1）上是减函数 C偶函数,且在（0，1）上是增函数 D偶函数,且在（0，1)上是

13、减函数【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数 f（x）=ln(1+x）ln（1x），函数的定义域为(1，1），函数 f（x）=ln（1x）ln(1+x）=ln（1+x)ln（1x）=f(x），所以函数是奇函数 排除 C，D，正确结果在 A,B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0;x=时,f（）=ln（1+）ln（1)=ln31,显然 f（0)f（），函数是增函数，所以 B错误，A 正确 故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力 6

14、（5 分）（2015湖南)已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（）A B C6 D6【考点】二项式定理的应用【专题】二项式定理 第8页（共48页）【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项,整理成最简形式，令 x 的指数为 求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1=;展开式中含 x的项的系数为 30，r=1，并且，解得 a=6 故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 7（5 分）(2015湖南)在如图所示的正方形中

15、随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C为正态分布 N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若 XN=(,a2），则 P（X+）=0.6826 p(2X+2）=0。9544 A2386 B2718 C3413 D4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；概率与统计【分析】求出 P(0X1)=0。6826=0。3413，即可得出结论【解答】解：由题意 P(0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为 100000。3413=3413,故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 和 的

16、应用，考查曲线的对称性，属于基础题 8（5 分）（2015湖南）已知 A，B,C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2,0），则|的最大值为（)A6 B7 C8 D9 第9页（共48页）【考点】圆的切线方程【专题】计算题;直线与圆【分析】由题意，AC 为直径，所以|=2+B 为（1，0）时,2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|=2+|所以 B 为（1，0）时，2+7 所以|的最大值为 7 故选：B【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力，比较基础 9（5 分）(2015湖南）将函数 f（x)=sin2x 的图象向右平移（

17、0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g(x2）=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则=(）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数 f（x）=sin2x 的周期为,函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足f(x1）g（x2）=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有|x1x2min=，不妨 x1=，x2=，即 g(x)在 x2=，取得最小值,sin（22)=1，此时=,不合题意，x1=，x2=

18、,即 g(x)在 x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意 故选：D【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖 有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答 10(5 分）（2015湖南）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=)（）第10页（共48页）A B C D【考点】简单空间图形的三视图【专题】创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高

19、为 2,求解体积 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，利用轴截面的图形可判断得出 n=（1），0 x2，求解体积式子，利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高为 2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,此长方体底面边长为 n 的正方形,高为 x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1),0 x2，第11页（共48页）长方体的体积=2（1）2x,=x24x+2,，=x24x+2=0,x=，x=2,可判断(0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1)2=，原工件材料的利用率为=，故选：A【点评】本题很

20、是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题 二、填空题,共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11（5 分）（2015湖南）（x1)dx=0 【考点】定积分【专题】导数的概念及应用【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值【解答】解：(x1）dx=（x）|=0；故答案为：0【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数 12（5 分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间139，151上的运动

21、员人数是 4 【考点】茎叶图【专题】概率与统计【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论【解答】解：根据茎叶图中的数据，得;成绩在区间139，151上的运动员人数是 20，用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人,成绩在区间139，151上的运动员应抽取 7=4（人）故答案为：4 第12页（共48页）【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目 13（5 分）（2015湖南）设 F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线

22、的定义、性质与方程【分析】设 F（c，0),P(m，n）,（m0）,设 PF 的中点为 M(0,b）,即有 m=c，n=2b，将中点 M 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到【解答】解：设 F（c，0），P(m，n)，（m0),设 PF 的中点为 M（0，b）,即有 m=c，n=2b，将点（c,2b）代入双曲线方程可得,=1，可得 e2=5,解得 e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题 14（5 分）(2015湖南）设 Sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列

23、，则 an=3n1【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式【解答】解：设等比数列的公比为 q，Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1,2S2，S3成等差数列，可得 4S2=S3+3S1，a1=1,即 4（1+q)=1+q+q2+3，q=3 an=3n1 故答案为：3n1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查 15（5 分）（2015湖南）已知函数 f（x）=若存在实数 b,使函数 g（x)=f(x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 a|a0 或 a1 【考点】函数的零点

24、【专题】计算题；创新题型;函数的性质及应用 第13页（共48页）【分析】由 g（x）=f（x）b 有两个零点可得 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围【解答】解：g（x）=f（x）b 有两个零点，f（x)=b 有两个零点，即 y=f(x）与 y=b 的图象有两个交点,由 x3=x2可得，x=0 或 x=1 当 a1 时，函数 f（x）的图象如图所示，此时存在 b,满足题意，故 a1 满足题意 当 a=1 时，由于函数 f（x）在定义域 R 上单调递增，故不符合题意 当 0a1 时，函数 f(x）单调递

25、增，故不符合题意 a=0 时，f（x）单调递增，故不符合题意 当 a0 时，函数 y=f（x）的图象如图所示，此时存在 b 使得，y=f（x）与 y=b 有两个交点 第14页（共48页）综上可得,a0 或 a1 故答案为：a|a0 或 a1【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想 三、简答题，共 1 小题，共 75 分,16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做,则按前两题计分选修 4-1：几何证明选讲 16（6 分）（2015湖南）如图，在O 中,相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M,N,直线 MO 与直线 CD 相交于点 F,证

26、明：(1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO 【考点】相似三角形的判定【专题】选作题；推理和证明【分析】（1）证明 O，M,E，N 四点共圆，即可证明 MEN+NOM=180（2）证明 FEM FON,即可证明 FEFN=FMFO【解答】证明：(1）N 为 CD 的中点，ONCD,M 为 AB 的中点，OMAB,在四边形 OMEN 中，OME+ONE=90+90=180，O，M，E，N 四点共圆，MEN+NOM=180（2）在 FEM 与 FON 中，F=F，FME=FNO=90，FEM FON，第15页（共48页）=FEFN=FMFO【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定

27、与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 选修 44:坐标系与方程 17(6 分）（2015湖南)已知直线 l:（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为=2cos（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（5，），直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求MA|MB|的值 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【专题】选作题;坐标系和参数方程【分析】（1）曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2)直线 l 的方程化为普通方程，利用切

28、割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；(2）直线 l：（t 为参数),普通方程为，（5，)在直线 l 上，过点 M 作圆的切线,切点为 T，则MT|2=(51）2+31=18,由切割线定理,可得MT|2=|MA|MB|=18【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题 选修 4-5：不等式选讲 18（2015湖南）设 a0，b0，且 a+b=+证明：(）a+b2；（）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【考点】不等式的证明【专题】不等式的解法及应用【分析】（)由 a0,b0，结合条件可

29、得 ab=1,再由基本不等式,即可得证;（）运用反证法证明假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立结合条件 a0，b0，以及二次不等式的解法,可得 0a1,且 0b1，这与 ab=1 矛盾,即可得证【解答】证明:（）由 a0，b0，则 a+b=+=，由于 a+b0,则 ab=1，即有 a+b2=2，第16页（共48页）当且仅当 a=b 取得等号 则 a+b2；（)假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立 由 a2+a2 及 a0，可得 0a1，由 b2+b2 及 b0，可得 0b1，这与 ab=1 矛盾 a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【点评】本题考查不等式的证明，主要考

30、查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题 19（2015湖南）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA，且 B 为钝角 (）证明：BA=；（)求 sinA+sinC 的取值范围【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】(）由题意和正弦定理可得 sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得 A（0，），可得 0sinA，化简可得 sinA+sinC=2（sinA）2+，由二次函数区间的最值可得【解答】解：（)由 a=btanA 和正弦定理可得=，sinB=cosA，即 sinB=sin（+A）又 B 为钝角，+A（,），B=+A，BA=

31、；（）由（）知 C=(A+B）=（A+A）=2A0,A（0,)，sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0,），0sinA,由二次函数可知2(sinA）2+sinA+sinC 的取值范围为（，【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值，属基础题 第17页（共48页）20（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，

32、若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖，事件 A2=顾客抽奖 1 次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，利用 A1，A2相互独立，,互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可（2)顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验,判断

33、 XB求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望【解答】解：（1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球,事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖,事件 B2=顾客抽奖 1 次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，由题意 A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2，因为 P（A1）=,P(A2）=，所以,P(B1)=P（A1)P（A2)=,P（B2)=P（）+P（）=+=,故所求概率为：P(C）=P(B1+B2）=P（B1）+P（B2)=（2）顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，由（1)可知，顾客抽奖 1

34、 次获一等奖的概率为：所以XB于是，P（X=0）=,P（X=1）=，P(X=2）=，P(X=3）=故 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）=3=第18页（共48页）【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响 21(2015湖南）如图，已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6的正方形，AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 DD1、BC 上(1）若 P 是 DD1的

35、中点，证明：AB1PQ;（2）若 PQ 平面 ABB1A1，二面角 PQDA 的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离;空间角；空间向量及应用【分析】（1）首先以 A 为原点，AB，AD,AA1所在直线分别为 x，y，z 轴,建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标,Q 在棱 BC 上,从而可设 Q(6，y1，0)，只需求即可；（2）设 P（0，y2，z2），根据 P 在棱 DD1上，从而由即可得到 z2=122y2，从而表示点 P 坐标为 P（0，y2,122y2）由 PQ 平面 ABB1A1便知道与平面 ABB1A1的

36、法向量垂直，从而得出 y1=y2，从而 Q 点坐标变成 Q（6，y2，0），设平面 PQD 的法向量为，根据即可表示,平面 AQD 的一个法向量为，从而由即可求出 y2,从而得出 P 点坐标,从而求出三棱锥 PAQD 的高，而四面体 ADPQ 的体积等于三棱锥 PAQD 的体积，从而求出四面体的体积 【解答】解：根据已知条件知 AB，AD,AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为 x，y，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0,6），D1（0，3，6）；Q 在棱 BC 上，设 Q(6,y1，0）,0y16

37、；（1）证明：若 P 是 DD1的中点，则 P；，；第19页（共48页）AB1PQ；（2）设 P（0，y2,z2），y2，z20，6，P 在棱 DD1上;，01；(0，y26，z2)=（0，3,6)；z2=122y2；P（0,y2，122y2）；;平面 ABB1A1的一个法向量为；PQ 平面 ABB1A1;=6（y1y2）=0；y1=y2;Q（6，y2，0）；设平面 PQD 的法向量为,则：；，取 z=1，则；又平面 AQD 的一个法向量为;又二面角 PQDA 的余弦值为；解得 y2=4，或 y2=8（舍去）;P（0，4，4）；三棱锥 PADQ 的高为 4，且；V四面体ADPQ=V三棱锥PAD

38、Q=第20页（共48页）【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理,直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式 22（13 分)（2015湖南）已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2：+=1(ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2（）求 C2的方程；（）过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A、B 两点，与 C2相交于 C、D 两点，且与同向(）若AC|=BD，求直线 l 的斜率；(）设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证

39、明：直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）根据两个曲线的焦点相同，得到 a2b2=1，再根据 C1与 C2的公共弦长为 2，得到=1，解得即可求出；（）设出点的坐标,（)根据向量的关系,得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4)24x3x4，设直线 l 的方程，分别与 C1,C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于 k 的方程，解得即可；（）根据导数的几何意义得到 C1在点 A 处的切线方程,求出点 M 的坐标，利用向量的乘积 AFM 是锐角，问题得以证明【解答】解：(）抛

40、物线 C1：x2=4y 的焦点 F 的坐标为（0，1），因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点，a2b2=1，又 C1与 C2的公共弦长为 2，C1与 C2的都关于 y 轴对称，且 C1的方程为 x2=4y，由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为（，），所以=1，联立得 a2=9，b2=8，故 C2的方程为+=1 第21页（共48页）(）设 A(x1，y1），B（x2，y2)，C（x3，y3），D(x4，y4），（）因为与同向，且AC|=|BD|，所以=，从而 x3x1=x4x2，即 x1x2=x3x4,于是(x1+x2）24x1x2=(x3+x4）24x3x4,设直线的斜率为 k，则 l 的方程

41、为 y=kx+1，由，得 x24kx4=0，而 x1，x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2)x2+16kx64=0,而 x3，x4是这个方程的两根，所以 x3+x4=，x3x4=，将代入，得 16（k2+1）=+，即 16(k2+1)=，所以(9+8k2）2=169，解得 k=(）由 x2=4y 得 y=x,所以 C1在点 A 处的切线方程为 yy1=x1（xx1)，即 y=x1x x12,令 y=0，得 x=x1，M（x1,0),所以=(x1，1)，而=（x1，y11）,于是=x12y1+1=x12+10,因此 AFM 是锐角,从而 MFD=180

42、AFM 是钝角，故直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形 第22页（共48页）【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理,以及向量的关系，得到关于 k 的方程,计算量大，属于难题 23（13 分）（2015湖南）已知 a0，函数 f（x）=eaxsinx（x0,+）记 xn为 f(x）的从小到大的第 n（nN）个极值点证明：(）数列f（xn）是等比数列；（）若 a，则对一切 nN，xn|f(xn)|恒成立【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用

43、【分析】（）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为 0 的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（)由 sin=,可得对一切 nN*，xnf(xn）|恒成立即为 nea(n)恒成立，设 g（t)=（t0),求出导数,求得最小值，由恒成立思想即可得证【解答】证明：（）f（x）=eax（asinx+cosx）=eaxsin（x+）,tan=，0，令 f（x）=0，由 x0，x+=m,即 x=m，mN*,对 kN,若（2k+1）x+（2k+2）,即(2k+1）x(2k+2），则 f（x)0,因此在(（m1），m）和(m，(m+1）上 f（x)符

44、号总相反 于是当 x=n，nN*,f（x）取得极值,所以 xn=n,nN，此时 f（xn）=ea（n）sin（n）=(1）n+1ea（n）sin,易知 f(xn)0，而=ea是常数，故数列f（xn）是首项为 f(x1）=ea（）sin，公比为ea的等比数列；(）由 sin=,可得对一切 nN,xnf（xn)|恒成立 即为 nea（n）恒成立，设 g（t）=(t0），g(t）=，当 0t1 时，g(t）0,g（t）递减，当 t1 时，g（t）0，g(t）递增 第23页（共48页）t=1 时，g（t）取得最小值，且为 e 因此要使恒成立，只需g（1）=e，只需 a，当 a=，tan=,且 0，可得

45、，于是，且当 n2 时，n2，因此对 nN，axn=1，即有 g(axn）g（1）=e=,故亦恒成立 综上可得，若 a，则对一切 nN*,xnf（xn）|恒成立【点评】本题考查导数的运用:求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz;qiss；吕静;刘长柏；sdpyqzh；changq；742048；双曲线；lincy；wkl197822；whgcn（排名不分先后）菁优网 2016 年 6 月 8 日 考点卡片 1必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】正确理解和

46、判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点 1充分条件：对于命题“若 p 则 q为真时，即如果 p 成立，那么 q 一定成立，记作“pq”，称 p 为 q 的充分条件 意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立，换句话说要使结论 q 成立,具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件如 p：x6，q：x2，p 是 q 成立的充分条件，而 r：x3,也是 q 成立的充分条件 必要条件：如果 q 成立，那么 p 成立，即“qp”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定

47、不成立，也就是“若非 p 则非 q”，记作“pq”,这是就说条件 p 是 q 的必要条件,意思是说条件 p 是 q成立的必须具备的条件 充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件 p 是 q 成立的充要条件，或称条件 q 是p 成立的充要条件，记作“pq”第24页（共48页）2从集合角度看概念：如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示，那么“pq，相当于“PQ”即:要使 xQ 成立，只要 xP 就足够了有它就行“qp”，相当于“PQ”，即：为使 xQ 成立，必须要使 xP缺它不行“pq”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物 3当命题“若 p 则

48、q”为真时，可表示为,则我们称 p 为 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件这里由，得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的但为什么说 q 是 p 的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“它的意义是：若 q 不成立,则 p 一定不成立这就是说，q 对于 p 是必不可少的，所以说 q 是 p 的必要条件 4“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于的含义完全相同也就是说，如果命题p 等价于命题 q，那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立 【解题方法点拨】1借助于集合知识加以判断，若 PQ，则 P 是 Q 的充分条件，Q 是的

49、 P 的必要条件；若P=Q，则 P 与 Q 互为充要条件 2等价法：“PQ“QP”，即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的 3对于充要条件的证明，一般有两种方法:其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“”连接 【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础在每年的高考中，都会考查此类问题 2函数的零点【函数的零点】一般地,对于函数 y=f（x)（xR）,我们把方程 f（x)=0 的实数根 x 叫作函数 y=f（x)（xD）的零

50、点即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值函数的零点不是一个点，而是一个实数【解法二分法】确定区间a，b,验证 f（a)*f（b）0,给定精确度;求区间（a，b）的中点 x1；计算 f（x1）；若 f（x1)=0,则 x1就是函数的零点;若 f（a）f（x1）0，则令 b=x1（此时零点 x0（a，x1）)；若 f（x1）f（b）0,则令 a=x1（此时零点 x0（x1，b）判断是否满足条件，否则重复（2）(4）【总结】零点其实并没有多高深,简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x 轴的交点,另外如果在（a，b）连续的函数满足 f（a）f（b）0，则（a，b）至少有一个零点这个考