概率论与数理统计课件第3章.ppt

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1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布例如例如 E E：抽样调查：抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自

2、的性各自的性质，质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为记为(X,Y),称为称为二维二维随机变（向）量随机变（向）量。设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量，则称向量量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若（

3、XX，Y Y）是是是是随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.n n定义定义定义定义称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数n n性质性质性质性质(3)(x,y)x1x2y1y2 P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y Y y y2 2）=F(x=F(x2 2,y,y2 2)-F(x)-F(x2 2,y,y1 1)-F(x)-F(x1 1,y,y2 2)+F(x)+F(x1 1,y,y1 1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y y y2 2）F(xF(

4、x2 2,y,y2 2)-F(x-F(x2 2,y,y1 1)-F(x-F(x1 1,y,y2 2)+F(x+F(x1 1,y,y1 1)二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 （X X X X，Y Y Y Y）的所有可能取值的所有可能取值只有限对或可列对，则称只有限对或可列对，则称（X X X X，Y Y Y Y）为为二维离散型随二维离散型随机变量。机变量。如何反映（如何反映（X X，Y Y）的取值规律呢？）的取值规律呢？n n定义定义定义定义n研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。（X X，Y Y）的联合概率分布（分布

5、律）的联合概率分布（分布律）n n表达式形式表达式形式表达式形式表达式形式。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。n n表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）性质性质 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次依次标标有数字有数字1，2，2，从中任从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设设每次取球每次取球时时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分以、分别记别记第一次和第二次取到的球第一次和第二次取到的球上上标标有的数字，有的数字，求求的的联联合分布列合分布列.的可能取的可能取值为值为(1，

6、2)，(2，1)，(2，2).，(1/3)(2/2)(1/3)(2/2)1/31/3，(2/3)(1/2)(2/3)(1/2)1/31/3，=(2/3)(1/2)=(2/3)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例解解 见书见书P69，习题习题1的可能取的可能取值为值为例例解解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（，（2，0）（X，Y）的）的联合分布律为联合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200 若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对任意，使对任意实数实数x x，y y，二元随机变量，二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布

7、函数的分布函数 可表示成如下形式可表示成如下形式 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随机变量称为二元随机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 n n定义定义定义定义联合概率密度函数联合概率密度函数的性质的性质n非负性非负性n n几何解释几何解释几何解释几何解释n.n.随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设二二维维随机随机变变量量的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(2)求求的分布函数；的分布函数

8、；.(4)求求例例(1)所以所以 解解 (2)当当 时，时，当当 时，时，所以，所以，(3)4 1或解或解 (4)224例例 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 求概率求概率 解解 1续解续解 .x+y=3 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 求概率求概率 2241解答解答 二维均匀分布二维均匀分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，

9、Y）服从区域）服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求（区域。求（1）分布函数；（）分布函数；（2）解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 y=2x+1-1/2 （1）当）当 时，时，分布函数为分布函数为 y=2x+1-1/2 （2）当）当 时，时，y=2x+1-1/2 （3）当）当 时，时，所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 0.5y=2x+1-1/2 二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 其中其中均为参数均为参数 则称则称 服从参数为服从参数为 的的二维正

10、态分布二维正态分布 边缘分布边缘分布 marginal distribution 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，依次称为二维随机变量依次

11、称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边

12、缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）

13、的联合分布列）的联合分布列 二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设（设（X,Y）的联合密度为）的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 当

14、当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（设（X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 （1）求）求k值值(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(2)均匀分布均匀分布解解 (1)由由 得得 当当 时时-11当当 时时 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 .-11解解 当当 时时当当 时时 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 解解 （3）见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X

15、，Y）服从正态分布）服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 所以，所以，同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确

16、定联合分布但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 n n定义定义定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y)，两个，两个，两个，两个边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y)，如果对于，如果对于，

17、如果对于，如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有F(x,y)=FF(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y)，则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是相互独立的，进而是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是相互独立的前提下是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！

18、边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明设（设（X，Y）的概率分布（律）为）的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1 2/5 1/5 2/5 p.j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi.2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互独立相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0-1 X 2/4 1/

19、4 1/4 Pj.2 1 1/2 Y例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求(1)P(1)P（0X1 0X1，0Y10Y1）(2)(X,Y)(2)(X,Y)的边缘密度，的边缘密度，（3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1，0y10y1）11 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时当当 时时所以，所以，同理可得同理可得 所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴

20、及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 当当 时，时，所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时当当 时，时，所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时所以所以 所以，所以，X与与Y不独立不独立。设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀

21、分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例4 4 时时时时解解于是于是同理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。时时时时二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布函数为其联合分布函数为 是随机变量是随机变量 的二元函数的二元函数 n 的分布函数的分布函数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其联合分布列为

22、其联合分布列为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的的分布列分布列解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3

23、/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12二维连续型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X

24、,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解解例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数解解 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 两个随机变量的和的分布两个随机变量的和的分布见课本见课本P67P67例例1 1 如果（如果（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 记记 住住 结结 论！论！两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独立，且XB（n,p），），YB（m,p），则），则X+YB（n+m,p）证明证明 X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n.证毕证毕