第十一 能量法.pptx

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1、111 杆件应变能的计算一、能量原理：二、杆件应变能的计算：弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。第1页/共30页不计能量损耗时，外力功等于应变能。内力为分段常量时dxN(x)N(x)拉压杆的比能 u：单位体积内的应变能。1.1.轴向拉压杆的应变能计算：第2页/共30页2.2.扭转杆的应变能计算：3.3.弯曲杆的应变能计算：第3页/共30页三、应变能的普遍表达式：应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。第4页/共30页QMNMTAAPNBj j

2、T例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）求内力APR第5页/共30页外力功等于应变能应变能：第6页/共30页例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf第7页/共30页112 单位载荷法 莫尔积分求任意点A的位移f A。一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P=1q(x)fA图b A=1P0第8页/共30页 莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理f fA A -梁上任一点A A在外力作用下的挠度.M(x)-M(

3、x)-外载下的弯矩方程.M M0 0(x)-(x)-单位力作用于A A点时的弯矩方程.第9页/共30页三、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。第10页/共30页例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P=1x第11页/共30页变形BAaaC0P=1BAaa

4、Cqx第12页/共30页求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()()()()(00)(00+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM第13页/共30页例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P0第14页/共30页变形第15页/共30页114 卡氏定理给Pn 以增量 dPn，则：1.先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn，则：一、定理证明 d

5、 dn第16页/共30页再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：d dnn=nPU d d卡氏定理应变能对任一外力的偏导数,等于该力作用点沿该力方向的位移.第17页/共30页二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性应变能 Pn 视为变量，结构反力和应变能 等都必须表示为 Pn的函数 n n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当没有与 n n对应的 Pn 时，先加一沿 n n 方向的 Pn，求偏导后，再令其为零。d dn第18页/共30页三、特殊结构（杆）的卡氏定理：第19页/共30页例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系将内力对

6、PA求偏导ALPEIxO 第20页/共30页求转角 A求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。将内力对MA求偏导后，令M A=0求变形（注意：M A=0）LxO APMA第21页/共30页例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没 有 与f（x）相 对 应 的 力，加 之。PALxBPx CfxOx1第22页/共30页变形（注意：Px=0）第23页/共30页例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，将内力对RC求偏导取静定基如图PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC第24页/共30页变形第25页/共30页2.求将内力对P求偏导求内力第26页/共30页变形第27页/共30页11112222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关115 互等定理第28页/共30页第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页