空间力系的简化与平衡.pptx

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1、本章重点、难点重点力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间力系平衡方程的应用。常见的空间约束及约束反力。难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。本章重点、难点重点力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间力系平衡方程的应用。常见的空间约束及约束反力。难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。本章重点、难点重点力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间力系平衡方程的应用。常见的空间约束及约束反力。难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。空间力系平衡方程的应用。第1页/共73页第一节 空间力系 一、空一、空间汇交力系交力系（一）（一）.力在空力在空间的表示的表示1.直

2、接投影法直接投影法2.二次投影法二次投影法力的解析表示可写力的解析表示可写为第2页/共73页习题已知：已知：F1=500N，F2=1000N，F3=1500N，求：各力在坐标轴上的投影。解：解：F1、F2可用直接投影法可用直接投影法4m2.5m3mxyzF1F2F3第3页/共73页对F3应采用二次投影法采用二次投影法4m2.5m3mxyzF1F2F3第4页/共73页（二）（二）.空空间汇交力系的合成与平衡交力系的合成与平衡空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。平衡条件平衡条件平衡方程平衡方程第5页/共73页例题31 三根直杆AD，BD，CD在点D处互相联结构成支架如图所

3、示，缆索ED绕固定在点D处的滑轮提升一重量为500 kN的载荷。设ABC组成等边三角形，各杆和缆索ED与地面的夹角均为60，求平衡时各杆的轴向压力。解：以点D为研究对象，受力如图所示。SCSASBWDCABEWOyxz第6页/共73页例题32 杆OD的顶端作用有三个力F1，F2，F3，其方向如图3-4 所示，各力大小为F1100 N，F2150 N，F3300 N。求三力的合力。解：求出三个力在坐标轴上的投影和ADBCO343xyzF3F1F2334第7页/共73页ABCEDxyzP例题33 已知：物重P=10kN，EB与CD垂直,CE=EB=DE；q30o，求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图

4、，列平衡方程结果：F2F1FA第8页/共73页习题空气动力天平如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为，又AOD=BOD=，试求各钢丝中的拉力。y yzxABCDF FO第9页/共73页联立求解可得：列平衡方程：y yzxABCDF FF F1 1OF F2 2F F3 3取O点为研究对象，受力分析如图所示，解：解：第10页/共73页习题 已知：P=1000N,BCO是同一水平面内的等腰直角三角形，各杆重不计.求：三根杆所受力.解：各杆

5、均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。由解得 （压）（拉）ABCOGDPFOCFOBFOAxzy第11页/共73页习题 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量不计。求：各杆的所受的力。12090150ABCDO60ABCDPFADFCDFBDOxyz解：取销钉D为研究对象解出得FAD=10.56kN,FBD=5.28kN,FCD=9.14kN第12页/共73页习习题题 桅桅杆杆式式起起重重机机可可简简化化为为如如图图所所示示结结构构。ACACACAC为为立立柱柱，BCBCBCBC，CDCDCDCD和和CECECECE均均为为钢钢

6、索索，ABABABAB为为起起重重杆杆。A A A A端端可可简简化化为为球球铰铰链链约约束束。设设B B B B点点滑滑轮轮上上起起吊吊重重物物的的重重量量G G G G=20=20=20=20 kNkNkNkN，ADADADAD=AEAEAEAE=6=6=6=6 m m m m，其其余余尺尺寸寸如如图图。起起重重杆杆所所在在平平面面ABCABCABCABC与与对对称称面面ACGACGACGACG重重合合。不不计计立立柱柱和和起起重重杆杆的的自自重，求起重杆重，求起重杆ABABABAB、立柱、立柱ACACACAC和钢索和钢索CDCDCDCD，CECECECE所受的力。所受的力。C CA A5

7、 m5 mB BD DE EG G第13页/共73页 1.1.先先取取滑滑轮轮B B为为研研究究对对象象。注注意意，起起重重杆杆ABAB为为桁桁架架构构件件，两两端端铰铰接接，不不计计自自重重，它它是是一一个个二二力力构构件件，把把滑滑轮轮B B简简化化为为一一点点，它的受力图如图所示。它的受力图如图所示。x xy yB BG GF FABABF FBCBC解：解：解：解：这是一平面汇交力系，列平衡方程这是一平面汇交力系，列平衡方程解得解得C CA A5 m5 mB BD DE EG G第14页/共73页 2.2.再选取再选取C C点为研究对象，它的受力图如图所示。点为研究对象，它的受力图如图

8、所示。此力系在此力系在AxyAxy平面上投影为一平面汇交平面上投影为一平面汇交力系，其中：力系，其中：x xz zA Ay y先列出对先列出对AzAz轴的投影方程轴的投影方程 这是一空间汇交力系，作直角坐标系这是一空间汇交力系，作直角坐标系AxyAxy，把力系中各力投影到把力系中各力投影到AxyAxy平面和平面和AzAz轴上。轴上。C CF FACACF FCECEF FCDCD第15页/共73页列平衡方程列平衡方程由此解得由此解得所求结果如下：所求结果如下：x xz zA Ay yC CF FACACF FCECEF FCDCD第16页/共73页二、空二、空间的力矩的力矩力偶矩力偶矩 1.力

9、对点的矩 (1).定义:设空间一力F作用在点A,则定义力F对空间任一点O的矩为矢量的大小方向的大小方向与矩心的与矩心的选择有关有关,因因此力此力对点的矩点的矩应画在画在矩心矩心处.(2).的解析表达式的解析表达式第17页/共73页2.力力对轴的矩的矩(1).定定义空间力对轴的矩是个代数量,它等于这个力在垂直于该轴的平面内的投影对于这平面与该轴交点的矩.其正其正负由由右手螺旋右手螺旋规则来确定来确定,拇指方向与拇指方向与该轴方向方向一致一致为正正,反之反之为负第18页/共73页(2).力力对轴的矩表达式的矩表达式同理同理(3).力对点的矩和力对轴的矩之间的关系比较力对点的矩和力对于轴的矩的关系式

10、得投影关系第19页/共73页例题34 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为，若CD=a，BCx轴，CE y轴，AB=BC=l。求力F对x、y和z三轴的矩。第20页/共73页显然，Fx=Fsin Fz=Fcos由合力矩定理可得：解法1 将力F沿坐标轴分解为Fx 和Fz。FxFzM x(F)=M x(Fz)=-F z(AB+CD)=-F(l+a)cosM y(F)=M y(Fz)=-F z(BC)=-Fl cosM z(F)=M z(Fx)=-F x(AB+CD)=-F(l+a)sinFxFzFxFz第21页/共73页解法2直接套用力对轴之矩的解析

11、表达式：力在 x、y、z轴的投影为Fx=F sin FY=0FZ=-F cos Mx(F)=yFZ zFY=(l+a)(-Fcos)-0=-F(l+a)cosMy(F)=zFX xFZ=0-(-l)(-Fcos)=-FlcosMz(F)=xFY yFX=0-(l+a)(Fsin)=-F(l+a)sinFxFzFxFzFxFz第22页/共73页习题习题在直角弯杆的C端作用着力F，试求该力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，=30,=60。第23页/共73页解：由图示可以求出力F 在各坐标轴上的投影和力F 作用点C 的坐标分别为：x=b=4 m y=a=

12、6 mz=c=3 m则可求得力F 对坐标轴之矩：力F 对原点O之矩的方向余弦：力F 对原点O之矩大小：第24页/共73页习题 图示柱截面，在A点受力P作用。已知P100kN，A点位置如图所示。求该力对三个坐标轴的矩。xyzPAO100mm250mm第25页/共73页FAB(1)力偶矩的大小；(2)力偶的转向；(3)力偶作用面的方位。M自由矢量M空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。3.空空间力偶的定力偶的定义方向用右手定则判定第26页/共73页三、空三、空间力偶系的力偶系的简化与平衡条件化与平衡条件M=MM=M1 1+M+M2 2+M+Mn n=M=Mi

13、i合力偶矩矢：平衡条件平衡条件平衡方程平衡方程第27页/共73页四、空四、空间任意力系的任意力系的简化化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3MO主矢MO主矩第28页/共73页五、空间一般力系简化结果的讨论第29页/共73页OxyzA(4,9,5)534ijk解：1、先求F的三个方向余弦F2545434),cos(222-=+-=iF215435),cos(222-=+-=jF2535433),cos(222=+=kF习题 图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)2、求力的投影（F=10kN）第30页/共73

14、页3、求力对轴的矩OxyzA(4,9,5)534FijkF F（求力对轴的矩也完全可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）4、求力F对O点的矩也可以按如下方法求解：第31页/共73页五、空五、空间任意力系的平衡条件任意力系的平衡条件空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.空间平行力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.平衡方程：下面简单介绍空间约束的类型第32页/共73页约束反力未知量约束类型AFAAFAzFAyA径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链第33页/

15、共73页约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头第34页/共73页约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导轨空间的固定端支座第35页/共73页习题 图示为三轮小车,自重P=8KN,作用于点E,载荷P1=10KN,作用点c,求小车静止时地面对车轮的反力.xzy2m0.2m1.2m0.6m0.6m0.2mCDABEP1FDFBPFA解:以小事为研究对象,受力如图,其中P和P1是主动,FA,FB,FD为地面的约束力,

16、此5个力相互平行,构成空间平行力系.-P1-P+FA+FB+FD=0-0.2P1-1.2P+2FD=00.8P1+0.6P-0.6FD-1.2FB=0联立求解有:FD=5.8(KN)FB=7.777(KN)FA=4.423(KN)注意:本题中出现了空间平行力系,独立平衡方程的数量有空间任意力系的6个3个。第36页/共73页DBAyz200200200FF2F1FAzFAxFBzFBx习题如图,皮带轮上皮带的拉力F2=2F1,曲柄上作用有铅垂力F=200N,已知皮带轮的直径D=400mm,曲柄长R=300mm,皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为和,=30,=60.其它尺寸如图,求皮带拉力和轴承反

17、力.解:以整个轴为研究对象。选取坐标系如图,列出平衡方程.联立求解,得:第37页/共73页习题 已知：Fx4.25N,Fy=6.8N,Fz=17N,Fr=0.36Ft,R=50mm,r=30mm,各尺寸如图所示。求1、Fr，Ft；2、A、B处约束力；3/O处约束力。第38页/共73页解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图又：第39页/共73页研究对象2：工件受力图如图列平衡方程第40页/共73页习题 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量不计。求：各杆的所受的力。12090150ABCDO60ABCDPFADFCDFBDOxyz解：取

18、销钉D为研究对象解出得FAD=10.56kN,FBD=5.28kN,FCD=9.14kN第41页/共73页习题 已知：Q=100kN，P=20kN，等边ABC边长a=5m，HDl=3.5m，=30，求：各轮的支持力。又当=0时，最大载重Pmax是多少。解:取起重机为研究对象CABEHDy xPAB,CDQHz30FA=19.3kNFC=46.8kNFB=53.9kN（2）当=0，由上式第一个方程得：为确保安全，必须：FA0FAFCFB第42页/共73页习题 起重机装在三轮小车ABC上如图所示。已知ADDB1m，CD1.5m，CM1m。起重机为平衡锤F所平衡。机身连同平衡锤共重G100kN，作用

19、在E点；E点在平面LMNF之内，它到机身轴线MN的距离EH0.5m。所举重物Q30kN。试求当起重机的LMN平面平行于AB的位置时，车轮对轨道的压力。HD4mMLQBEGCFAN解：取三轮车为研究对象。FNAFNBFNC第43页/共73页习题 空心楼板ABCD重Q=2.8kN，一端支承在AB中点E，在另一端H、G两处用绳悬挂如图所示。已知HDGCAD/8。求H、G两处绳索的拉力及E处的反力。EGBAHCDNE=1.2kNT=0.8kN解：取楼板为研究对象NETTMHGNEAHQ3AD/8=0 FZ=NE+2T-Q=0第44页/共73页习题 立柱AC在A处用球铰与地面相接，B处用两条等长的绳索B

20、D、BE牵拉，C处作用一力Q，其大小为Q8.4kN，尺寸如图所示，求A处的约束反力及绳索的张力。10m6mDAB6mxzQCE6m7myTDTEXAYAZA第45页/共73页解：取系统为研究对象习题 已知：a=300mm，b=400mm，c=600mm，R=250mm，r=100mm，P=10kN，F1=2F2。F1和F2水平求：A、B处反力。abcABPF1F2xzyRrFAxFAzFBxFBz第46页/共73页xzy2002007575ABFyFzFx习题镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀

21、尖B的坐标x=200mm，y=75mm，z=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束反力的各个分量。xzyA AB BF FAxAxFxMMAxAxF FAyAyF FAzAzMMAyAyMMAzAzFyFz解：1.取镗刀杆为研究对象,受力分析如图。2.列平衡方程。3.联立求解。第47页/共73页解：给各杆编号受力分析，假定各杆均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6MAB=0MAE=0S5=0MAC=0S4=0MBF=0S1=0MEG=0S3=0MFG=0 PaBHbADCFGE例题312 水平均质板重P，6根直杆用球铰将板

22、和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。第48页/共73页ACDxyzEB4m2m2m习题均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。解1.以板为对象画出受力图.2.列出板的平衡方程空间任意力系，6个独立方程。解法一第49页/共73页ACDxyzEB4m2m2mP(拉力)第50页/共73页ACDxyzEB4m2m2mP l1l2解法二分别取AC，BC，AB，l1，l2，z 为矩轴：(拉力)第51页/共73页 解：以板为研究对象，受力如图，建

23、立如图坐标。习题 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。第52页/共73页P1PFBFAFDFBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mAC例题35 图示三轮小车，自重 P=8kN，作用于点 E，载荷 P1=10N，作用于点 C。求小车静止时地面对车轮的反力。第53页/共73页P10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDPz zx xy yOM x(F)=0，2FD 1.2P 0.2P1=0 FD=5.8kNM y(F)=0，1.2FB 0.8P1 0.6P+0

24、.6FD=0 FB=7.8kNFZ=0，FA+FB+FD P1 P=0 FA=4.4kN适当地选择坐标轴对简化计算非常重要。F FAAF FAAF FAAF FAA选取坐标轴如图解：以小车为研究对象，受力分析如图第54页/共73页200mm200mm200mmDRFF2F1AB习题 在图中，皮带的拉力 F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力 F=2000N。已知皮带轮的直径 D=400mm，曲柄长R=300mm，=30，=60。求皮带拉力和轴承反力。第55页/共73页X=0，F1sin30 +F2sin60 +XA+XB=0Y=0，0=0Z=0，ZA+ZB-F-F1cos30 -F2cos60 =0

25、z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为对象，受力分析如图200mm200mm200mmAB解:选坐标轴如图第56页/共73页M x(F)=0，400ZB-200F+200 F1cos30 +200 F2cos60 =0M y(F)=0，FR-(F2-F1)D/2=0M z(F)=0，200F1 sin30 +200F2 sin60 -400XB=0又有：F2 =2F1 (由于Y 0，所以只有在题设条件下可解）解得：F1=3000N，F2=6000N，XA=-1004N，ZA=9397N，XB=3348N，ZB=-1700N

26、z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mm200mmAB=30，=60 第57页/共73页习题 已知：Fx4.25N,Fy=6.8N,Fz=17N,Fr=0.36Ft,R=50mm,r=30mm,各尺寸如图所示。求1、Fr，Ft；2、A、B处约束力；3/O处约束力。第58页/共73页习题 均质长方形薄板重 W=200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。WZ ZBBX XBBZ ZAAY YAAX XAAT TCADBabyxzE3060Z ZAA

27、Y YAAX XAAZ ZAAY YAAX XAAZ ZBBX XBBT TZ ZBBX XBBT T第59页/共73页解：解：受力分析如图Fx=0，XA+XBT cos30 sin30 =0Fy=0，YA T cos30 cos30 =0Fz=0，ZA +ZB W +T sin30 =0WZBXBZAYAXATCADBaby yx xz zE3060ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBTMz(F)=0，X B a=0M x(F)=0，Z B a+T sin30 a W a/2=0M y(F)=0，W b/2 T sin30 b =0 解之得：XA=86.6N，YA

28、=150N，ZA=100N X B=0，Z B=0，T=200NW=200N第60页/共73页习题习题如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一水平力F，且F=2G。杆重不计，求各杆的内力。第61页/共73页2.2.列平衡方程。列平衡方程。综上，有综上，有解：解：解：解：1.1.1.1.取板为研究对象，受力取板为研究对象，受力分析如图。分析如图。第62页/共73页1.重心的概念及其坐标公式zOxyP PP PiiCVixCyCzCxiyiziPxPxC C=P=P1 1x x1 1+P+P2 2x x2 2+P+Pn nx xn n=P

29、=Pi ix xi i如果单位体积的重量为g g常量 称这时的重心为体积重心称这时的重心为体积重心第二节 重 心 第63页/共73页曲面：其厚度远远小于其表面积S，又称为薄壳结构这种重心称为这种重心称为面积重心面积重心曲线：如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与长度l相比是很小的。均质物体的重心就是几何中心，通常称形心这种重心称为这种重心称为线段重心线段重心第64页/共73页2.确定物体重心的方法（1）简单几何形状物体的重心当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。对于几何形状较复杂的均质物体，往往采用分割法和负面积法分割法分割法分割法分割法负面积法

30、负面积法负面积法负面积法第65页/共73页2确定重心的悬挂法与称重法（1）悬挂法C（2）称重法lPxCF1PCHF2zchr第66页/共73页习题 均质板由y=sinx与x轴的一段(从0到)所围成，求板的重心。解由对称性 积分法积分法积分法第67页/共73页oxyC1C2C33030301010 x1=-15,y1=45,s1=300 x2=5,y2=30,s2=400 x3=15,y3=5,s3=300解:建立图示坐标系例题39 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.求：其重心坐标 分割法分割法分割法第68页/共73页求：其重心坐标.由而由对称性，有小半圆（半径为 ）面积为 ,小圆（半径为）面积为 ，为负值。解：用负面积法，设大半圆面积为 ，为三部分组成，例题310 已知等厚均质偏心块的得 负面积法负面积法负面积法rRbxyO第69页/共73页ABEDabxyx求：若将图示均质梯形板在E点挂起，且使AD保持水平，BE等于多少。习题习题解：建立如图的坐标系要使AD保持水平，梯形板的重心应在y上，即xC0把梯形分为三角形与矩形两部分设BEx由解出得第70页/共73页40mm50mmxyo20mm10mm解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0习题求：图示截面重心。第71页/共73页第72页/共73页感谢您的观看！第73页/共73页