电磁场与电磁波课件：第四章时变电磁场精.ppt

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1、电磁场与电磁波课件：第四章时变电磁场1第1页，本讲稿共48页4.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。揭示电磁场的波动性。麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。间的相互作用关系。麦克斯韦方程组 波动方程。问题的提出问题的提出电磁波动方程2第2页，本讲稿共48页同理可得同理可得 推证推证 问题问题 若为有源空间

2、，结果如何？若为有源空间，结果如何？若为导电媒质，结果如何？若为导电媒质，结果如何？3第3页，本讲稿共48页4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容 位函数的性质 位函数的定义 位函数的规范条件 位函数的微分方程4第4页，本讲稿共48页引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义5第5页，本讲稿共48页 位函数的不确定性位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。也就是说，对一给定的

3、电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。原因：未规定 的散度。为任意可微函数6第6页，本讲稿共48页除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。7第7页，本讲稿共48页 位函数的微分方程位函数的微分方程8第8页，本讲稿共48页同样9第9页，本讲稿共48页

4、说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点具有什么特点?问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁

5、场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。10第10页，本讲稿共48页4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容 坡印廷定理 电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量11第11页，本讲稿共48页 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度：磁场能量密度：电磁能量密度：空间区域V中的电磁能量：特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动

6、。时间改变，从而引起电磁能量流动。电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系12第12页，本讲稿共48页 其中其中：单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式：坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：13第13页，本讲稿共48页在线性和各向同性的媒质中，

7、当参数都不随时间变化时，则有在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由 推证推证14第14页，本讲稿共48页即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：在在任任意意闭闭曲曲面面S 所所包包围围的的体体积积V上上，对对上上式式两两端端积积分分，并并应应用用散散度度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所

8、增加的电磁场能量与损耗的能量之和。15第15页，本讲稿共48页 定义：(W/m2)物理意义物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）16第16页，本讲稿共48页 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为填充均匀的理想介质

9、。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电，导体中流过的电流为流为I。（。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。进入每单位长度内导体的功率。同轴线17第17页，本讲稿共48页 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电

10、场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量18第18页，本讲稿共48页电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）19第19页，本讲稿共48页 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方

11、为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）20第20页，本讲稿共48页式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也有径向分量，如图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由

12、电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）21第21页，本讲稿共48页4.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域为边界的有界区域V 内，内，如果给定如果给定t0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，

13、给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一

14、问题。克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题22第22页，本讲稿共48页 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。23第23页，本讲稿共48页4.5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率 时谐场的位函数 亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量24第24页，本讲稿共48页 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源

15、以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐

16、场的叠加。同频率的时谐场的叠加。4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示25第25页，本讲稿共48页 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。题的分析得以简化。设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量标量函数，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成其中时间因子时间因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的A0为振幅、为与坐标有关的相位因子。实数表示法或瞬时表示法复数表示法复振幅 时谐电磁场的时谐电磁场的复数表示复数表示26第26页，本讲稿共48

17、页 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示。关的部分就可表示。27第27页，本讲稿共48页 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢

18、量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：解：（1）由于）由于（1）所以所以28第28页，本讲稿共48页（2）因为）因为 故故 所以所以 29第29页，本讲稿共48页 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量30第30页，本讲稿共48页以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得 将 、与 交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0，得，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程令令t/2，得，得即即31第31页，本讲稿共48页从形式上讲，只要把微分算子 用 代替

19、，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 略去略去“.”和下标和下标m32第32页，本讲稿共48页 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中式中 解解：（1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。33第33页，本讲稿共48页（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值34第34页，本讲稿共48页实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗：

20、导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。当电导率有限时，存在欧姆损耗。电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗。受到极化时，存在电极化损耗。磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数其中其中 c=-j/、称为导电媒质的等效介电常数。、称为导电媒质的等效介电常数。对于介电常数为对于介

21、电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有35第35页，本讲稿共48页 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。对对于于同同时时存存在在电电极极化化损损耗耗和和欧欧姆姆损损耗耗的的电电介介质质，复复介介电电常常数数为为 对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。36第36页，本讲稿共48页 损耗角正切损耗角正

22、切 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性电介质导电媒质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体 一般导电媒质一般导电媒质 良导体良导体 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示介介质质的的损损耗耗特特性性，其其定定义义为为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导导电电媒媒质质的的导导电电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电电媒质具有不同的导电性能。媒质具有不同的导电性能。37第37页，本讲稿共48页导电媒质导电媒质理想介质理想介质4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在时谐时情

23、况下，将 、，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量38第38页，本讲稿共48页4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐情情况况下下，矢矢量量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以以表示成复数形式。表示成复数形式。洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量39第39页，本讲稿共48页4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形式，不能将复数形式的场量直接代入。形

24、式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法40第40页，本讲稿共48页则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入先取实部，再代入 41第41页，本讲稿共48页使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复

25、数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘”如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子42第42页，本讲稿共48页 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场

26、能量密度 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有43第43页，本讲稿共48页则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出44第44页，本讲稿共48页 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。在 中，和 都是实数形式且是 时间的函数，所以 也是时间的函数，反

27、映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而 中的 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说 关于 和 的几点说明45第45页，本讲稿共48页 解：（1）由得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为 例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量 ；（2）瞬时坡印廷矢量 ；（3）平均坡印廷矢量 。46第46页，本讲稿共48页 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为47第47页，本讲稿共48页1、已知在无损耗媒质中，矢量磁位为：求标量电位，电场强度和磁场强度补充作业：2、已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1)w 和和 wav；(2)S 和和 Sav。48第48页，本讲稿共48页