高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第6节空间向量的运算及应用习题理.doc

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1、1 / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第七篇立体几何与精选高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第空间向量第 6 6 节空间向量的运算及应用习题理节空间向量的运算及应用习题理【选题明细表】知识点、方法题号夹角和距离5,8 空间向量的线性运算3,4,7 空间向量的坐标运算及数量积2,6,9,10,11 综合问题1,12,13,14,15,16基础对点练(时间:30 分钟)1.已知点 O,A,B,C 为空间不共面的四点,且向量 a=+,向量 b=+-,则与 a,b 不能构成空间基底的向量是( C )(A) (B)(C) (D)或解析:根据题意得=(a-b),所以,a

2、,b 共面.构成空间向量基底的向量不共面.所以选 C.2.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则 x 等于( B )(A)(0,3,-6) (B)(0,6,-20)(C)(0,6,-6) (D)(6,6,-6)解析:由 b=x-2a,得 x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).2 / 103. 如图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且分 MN 所成的比为 2,现用基向量,表示向量,设=x+y+z,则 x,y,z 的值分别是( D )(A)x=

3、,y=,z= (B)x=,y=,z=(C)x=,y=,z= (D)x=,y=,z=解析:设=a,=b,=c,因为 G 分 MN 所成的比为 2,所以=,所以=+=+(-)=a+(b+c-a)=a+b+c-a=a+b+c.4. 如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( A )(A)-a+b+c(B)a+b+c(C)-a-b+c(D)a-b+c解析:=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.3 / 105.(2016福州质检)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1上

4、且=,N 为 B1B 的中点,则|为( A )(A)a (B)a(C)a (D)a解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设 M(x,y,z).因为点 M 在 AC1 上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以 x=a,y=,z=.所以 M(,),所以|=a.故选 A.6.(2016西安质检)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则的值为( C )4 / 10(A)a2 (B)a2(C)a2 (D)a2解析:=(+)=(+)=(a2cos

5、 60+a2cos 60)=a2.选 C.7.已知 G 是ABC 的重心,O 是空间与 G 不重合的任一点,若+=,则 等于( B )(A)1(B)3(C)(D)2解析:若设 BC 边的中点为 M,则+=+2=+2=+2+2=3,所以 =3.8. 如图,在大小为 45的二面角 AEFD 中,四边形 ABFE,CDEF 都是边长为 1 的正方形,则 B,D 两点间的距离是( D )(A) (B)(C)1 (D)解析:因为=+,所以|2=|2+|2+|2+2+2+2=1+1+1-=3-,故|=.9.导学号 18702390 在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,

6、4,3)为顶点的ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为 . 解析:由题意知=0,|=|,5 / 10又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),所以解得 x=2.答案:210.已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则|的值是 .解析:设 P(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2 得点 P 坐标为(-,3),又 D(1,1,1),所以|=.答案:11.已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当取最小值时,点 Q 的坐标

7、是 . 解析:由题意,设=,即=(,2),则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),6 / 10所以=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6(-)2-,当 =时有最小值,此时 Q 点坐标为(,).答案:(,)能力提升练(时间:15 分钟)12.导学号 18702391A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M 为 BC 的中点,则AMD 是( C )(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定解析:因为 M 为 BC 的中点,所以=(+).所以=(+)=+=0.所以 AMAD,AMD 为直角三角形.13.

8、导学号 18702393 如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且AOB=AOC=,则 cos的值为 . 解析:设=a,=b,=c,由已知条件=,7 / 10且|b|=|c|,=a(c-b)=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,所以,所以 cos=0.答案:014.导学号 18702392 已知 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得b?(O 为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=5.(2)令=t(t

9、R),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=.所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=,因此存在点 E,使得b,此时 E 点的坐标为(-,-,).8 / 1015.导学号 18702394 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为CC1 的中点.求证:AB1平面 A1BD.证明: 如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为ABC 为正三角形,所以 AOBC.因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC平面 BCC1B1,所以

10、AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,以,为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).=(-1,2,),=(-2,1,0).设平面 A1BD 的法向量为n=(x,y,z),因为 n,n,故令 x=1,得 y=2,z=-,故 n=(1,2,-)为平面 A1BD 的一个法向量.而=(1,2,-),所以n.故 AB1平面 A1BD.16. (2016青岛模拟)如图,在多面体 ABC-A1B1C1 中,四边形A1ABB1 是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC

11、,二面角 A1-ABC 是直二面角.求证:(1)A1B1平面 AA1C;9 / 10(2)AB1平面 A1C1C.证明: 因为二面角 A1-AB-C 是直二面角,四边形 A1ABB1 为正方形,所以 AA1平面 BAC.又因为 AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即 CAAB,所以 AB,AC,AA1 两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设 AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面 AA1C 的一个法向量 n=(x,y,z),则即即取

12、 y=1,则 n=(0,1,0).所以=2n,即n.所以 A1B1平面 AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面 A1C1C 的一个法向量 m=(x1,y1,z1),则即令 x1=1,则 y1=-1,z1=1,10 / 10即 m=(1,-1,1).所以m=01+2(-1)+21=0,所以m,又 AB1平面 A1C1C,所以 AB1平面 A1C1C.好题天天练导学号 18702395 已知向量 p=+,其中 a,b 均为非零向量,则|p|的取值范围是 . 解题关键:正确理解向量的模以及正确运用绝对值不等式.解析:因为,分别表示与 a,b 同向的单位向量,又|-|+|+|,所以|p|的取值范围是0,2.答案:0,2