高考数学一轮复习第七章立体几何7-7-2利用向量求空间角和距离课时提升作业理.doc

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1、- 1 - / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第七章立体几何精选高考数学一轮复习第七章立体几何 7-7-27-7-2 利用向利用向量求空间角和距离课时提升作业理量求空间角和距离课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.建立空间直角坐标系如图.则 A(1,0,0),E(0,2,1),B(1

2、,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos=.所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为.2.(2016仙桃模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC=90,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( )A.B.C.D.【解析】选 C.以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F

3、.所以=(0,0,-2),=,=.- 2 - / 13设平面 DFE 的法向量为 n=(x,y,z),则由得取 z=1,则 n=(2,0,1),设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 ,则 sin=,所以直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为.3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF.当 A1,E,F,C1 共面时,平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,易知当

4、 E(6,3,0),F(3,6,0)时,A1,E,F,C1 共面,设平面 A1DE 的法向量为 n1=(a,b,c),依题意得可取 n1=(-1,2,1),同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2=(2,-1,1),故平面A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为=.4.(2016莆田模拟)二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为 ( )A.150B.45C.60D.120【解析】选 C.由条件知=0,=0,因为=+.- 3 - / 13所以|2=|2+|2+|2

5、+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2.所以 cos=-,则=120,即=60.所以二面角的大小为 60.5.(2016泉州模拟)设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A1BD的距离是 ( )A.B.C.D.【解析】选 D.建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则令 x=1,则 n=(1,-1,-1),所以点 D1 到平面 A1BD 的距离是d=.二、填空题二、填空题

6、( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.如图,在直三棱柱中,ACB=90,AC=BC=1,侧棱 AA1=,M 为 A1B1 的中点,则 AM与平面 AA1C1C 所成角的正切值为 .【解析】以 C1 为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则平面 AA1C1C 的法向量为 n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线 AM 与平面- 4 - / 13AA1C1C 所成角 的正弦值为 sin=|cos|=,所以 tan=.答案:7.已知点 E,F 分别在正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱 BB1,CC1 上,

7、且B1E=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为 .【解析】如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,设 DA=1,由已知条件得 A(1,0,0),E,F,=,=,设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),面 AEF 与面 ABC 所成的二面角为 ,由图知 为锐角,由得令 y=1,z=-3,x=-1,则 n=(-1,1,-3),平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,-1),cos=|cos|=,tan=.答案:8.(2016长沙模拟)如图,P-ABCD 是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,其中AB=2,PA=,则 B1 到平面 PAD 的距离

8、为 .【解题提示】以 A1B1 为 x 轴,A1D1 为 y 轴,A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系,求出平面 PAD 的法向量,由的坐标,利用距离公式,即可得到结论.- 5 - / 13【解析】以 A1B1 为 x 轴,A1D1 为 y 轴,A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系,则=(0,2,0),=(1,1,2),设平面 PAD 的法向量是 m=(x,y,z),所以由可得取 z=1 得 m=(-2,0,1),因为=(-2,0,2),所以 B1 到平面 PAD 的距离d=.答案:三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.(2015浙江高考)如

9、图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点.(1)证明:A1D平面 A1BC.(2)求二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如图,以 BC 的中点 O 为坐标原点,以 OB,OA,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则 BC=AC=2,A1O=.易知 A1(0,0,),B(,0,0),C(-,0,0),- 6 - / 13A(0,0),D(0,-,),B1(,-,),=(0,-,0),=(-,-,),=(-,0,0),=(-2,0,0)

10、,=(0,0,),因为=0,所以 A1DOA1,又因为=0,所以 A1DBC,又因为 OA1BC=O,所以 A1D平面 A1BC.(2)设平面 A1BD 的法向量为 m=(x,y,z),由得取 z=1,得 m=(,0,1),设平面 B1BD 的法向量为 n=(a,b,c),由得取 c=1,得 n=(0,1),所以 cos=,又因为该二面角为钝角,所以二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值为-.方法二:(1)取 BC 的中点 E,连接 A1E,AE,DE,由题意得 A1E平面 ABC,所以A1EAE,因为 AB=AC,所以 AEBC,A1EBC=E,故 AE平面 A1BC,由 D,E 分别是

11、 B1C1,BC 的中点,得 DEB1B 且 DE=B1B,所以 DEA1A,DE=A1A,所以四边形 A1AED 是平行四边形,故 A1DAE,- 7 - / 13又因为 AE平面 A1BC,所以 A1D平面 A1BC.(2)作 A1FBD,且 A1FBD=F,连接 B1F.由 AE=BE=,A1EA=A1EB=90,得 A1B=A1A=4,由 A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由 A1FBD,得 B1FBD,因此A1FB1 为二面角 A1-BD-B1 的平面角,由 A1D=,A1B=4,DA1B=90,得 BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得 cosA1FB1=-.1

12、0.(2016唐山模拟)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AB=2AD=2,BD=,PD底面 ABCD.(1)证明:平面 PBC平面 PBD.(2)若二面角 P-BC-D 为,求 AP 与平面 PBC 所成角 的正弦值.【解析】(1)因为 CD2=BC2+BD2,所以 BCBD.又因为 PD底面 ABCD,所以 PDBC.又因为 PDBD=D,所以 BC平面 PBD.而 BC平面 PBC,所以平面 PBC平面 PBD.(2)由(1)所证,BC平面 PBD,所以PBD 即为二面角 P-BC-D 的平面角,即PBD=.因为 BD=,所以 PD=1.分别以 DA,DB

13、,DP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,- 8 - / 13则 A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0),P(0,0,1).所以=(-1,0,1),=(-1,0,0),=(0,-,1).设平面 PBC 的法向量为 n=(a,b,c),则即可解得平面 PBC 的一个法向量为 n=(0,1,),所以 AP 与平面 PBC 所成角 的正弦值为sin=.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,且 BC平面PAB,PAAB,M 为 PB 的中点,PA=AD=2.若 AB=1,则二面角 B-AC-M 的

14、余弦值为 .【解析】因为 BC平面 PAB,ADBC,所以 AD平面 PAB,PAAD,又 PAAB,且 ADAB=A,所以 PA平面 ABCD.以点 A 为坐标原点,分别以 AD,AB,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.则 A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M.- 9 - / 13所以=(2,1,0),=,求得平面 AMC 的一个法向量为 n=(1,-2,1),又平面 ABC 的一个法向量为=(0,0,2),所以 cos= =.所以二面角 B-AC-M 的余弦值为.答案:2.(5 分)(2016衡阳模拟)正

15、四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点 S 在底面上的射影,P为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角的大小为 .【解析】如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=.所以=60,所以直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90-60=30.答案:303.(5 分)(2016孝感模拟)如图,BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面

16、MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=2.则点 A 到平面 MBC 的距离为 .【解析】取 CD 中点 O,连接 OB,OM,- 10 - / 13则 OBCD,OMCD.又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD.取 O 为原点,直线 OC,BO,OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).则=(1,0),=(0,),设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量,由 n,得 x+y=0;由 n,得 y+z=0.取 n=(,-1,1),=(0,0,2),则 d

17、=.答案:4.(12 分)(2015天津高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点.(1)求证:MN平面 ABCD.(2)求二面角 D1-AC-B1 的正弦值.(3)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为,求线段A1E 的长.【解析】如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),- 11 - / 13B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为

18、 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M,N(1,-2,1),所以=.依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面 ABCD,所以 MN平面 ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),=(0,1,2).设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ACD1 的法向量,则即不妨设 z1=1,可得 n1=(0,1,1).设 n2=(x2,y2,z2)为平面 ACB1 的法向量,则得不妨设 z2=1,可得 n2=(0,-2,1).因此有 cos=-,于是 sin=.所以,二面角 D1-AC-B1 的正弦值为.(3)设直线 NE 与

19、平面 ABCD 所成角为 ,依题意,可设=,其中,则 E,从而=.- 12 - / 13又 n=为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得 sin=|cos|=,整理得 2+4-3=0,又因为 ,解得 =-2.所以,线段 A1E 的长为-2.5.(13 分)如图 1,在平面四边形 ACPE 中,D 为 AC 的中点,AD=DC=PD=2,AE=1,且AEAC,PDAC,沿 PD 折起使ADC=90,得到立体图形如图 2,又 B 为平面 ADC内一点,并且 ABCD 为正方形,设 F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点.(1)求三棱锥 P-GHF 的体积.(2)在线段 PC 上是否存在一点

20、 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60?若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为 F,G 分别为 PB,BE 的中点,所以 FGPE.又 FG平面 PEAD,PE平面 PEAD,所以 FG平面 PEAD,同理 FH平面 PEAD,FGFH=F,所以平面 GHF平面 PEAD.又 HFBCAD,GFPE,所以 HF 与 GF 的夹角等于 AD 与 PE 的夹角(设为 ),易求 sin=.因为平面 GHF平面 PEAD,所以点 P 到平面 GHF 的距离即点 H 到平面 PEAD 的距离.- 13 - / 13过 H 作 PD 的垂线,垂足为 N,则 HN=

21、1 为点 P 到平面 GHF 的距离.所以 VP-GFH=11=.(2)因为 PDAD,PDCD,ADCD=D,所以 PD平面 ABCD.又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 ADCD.如图,建立空间直角坐标系,因为 AD=PD=2EA=2,所以 D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,1,1).假设在线段 PC 上存在一点 M 使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60.依题意可设=,其中 01.由=(0,2,-2),则=(0,2,-2).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2-1,1-2).因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60,=(2,0,-2),所以|cos|=,即=,解得 =,所以=,|=.所以在线段 PC 上存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60,此时 PM=.