高考数学一轮复习第七章立体几何7-7-1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理.doc

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1、- 1 - / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第七章立体几何精选高考数学一轮复习第七章立体几何 7-7-17-7-1 利用空利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016泉州模拟)设平面 的一个法向量为 n1=(1,2,-2),平面 的一个法向量为 n2=(-2,-4,k),若 ,则 k= ( )A.2B.4C.-2D.-4【解析】选 B.由 知 n1n2,则 n2=n1.即(-2,-4,

2、k)=(1,2,-2),即解得 k=4.【加固训练】若平面 , 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是 ( )A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选 A.因为 ,所以 n1n2,即 n1n2=0,经验证可知,选项 A 正确.2.(2016西安模拟)若平面 , 的法向量分别是 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则- 2 - / 13( )A.B.C., 相交但不垂直D.以上答案均不正确【解析】选 C.因为 n1n2

3、=2(-3)+(-3)1+5(-4)0.所以 n1 与 n2 不垂直,且不共线.所以 与 相交但不垂直.3.若=+,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 ( )A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内【解析】选 D.由=+ 知,向量,共面,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内.4.(2016珠海模拟)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且A1E=A1D,AF=AC,则 ( )A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF 与 BD1 相交D.EF 与 BD1 异面【解题提示】建立空间直角坐

4、标系,用向量法求解.【解析】选 B.以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,- 3 - / 13则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而 EFBD1,EFA1D,EFAC.故选 B.5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M 在 EF 上,且

5、 AM平面 BDE,则 M点的坐标为 ( )A.(1,1,1) B.C. D.【解析】选 C.由已知得 A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设 M(x,x,1).则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c).则即解得令 b=1,则 n=(1,1,).又 AM平面 BDE,所以 n=0.即 2(x-)+=0,得 x=,所以 M.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确

6、定的平面上,则a= .- 4 - / 13【解析】由共面向量定理知=x+y,即(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4),即解得 a=16.答案:167.(2016襄阳模拟)已知平面 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 的一个法向量 n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面 与 的位置关系是 .【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面 的一个法向量为 m=(x,y,z),则得得令 z=1,得 m=(1,1,1).又 n=(-1,-1,-1),所以 m=-n,即 mn,所以 .答案:平行【方法技巧】平面的法向量

7、的求法(1)设出平面的一个法向量 n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为 0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.(2)注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果B1E平面 ABF,则 CE 与 DF 的和为 .【解析】以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),所以

8、=(x-1,0,1),又 F(0,0,1-y),- 5 - / 13B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于 ABB1E,故若 B1E平面 ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.(2016石家庄模拟)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,ABC 为等腰直角三角形,BAC=90,且 AB=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.(1)求证:DE平面 ABC.(2)求证:B1F平面 AEF.【证明】以 A 为原点,AB,AC,AA1 所在直线分别为 x

9、轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).(1)=(-2,4,0),平面 ABC 的法向量为=(0,0,4),因为=0,DE平面 ABC,所以 DE平面 ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,所以,B1FEF,=(-2)2+22+(-4)0=0,所以,所以 B1FAF.因为 AFEF=F,所以 B1F平面 AEF.- 6 - / 13【加固训练】如图,在多面体 ABC-A1

10、B1C1 中,四边形 A1ABB1 是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角 A1-AB-C 是直二面角.求证:(1)A1B1平面 AA1C.(2)AB1平面 A1C1C.【证明】因为二面角 A1-AB-C 是直二面角,四边形 A1ABB1 为正方形,所以 AA1平面 BAC.又因为 AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即 CAAB,所以 AB,AC,AA1 两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0)

11、,设平面 AA1C 的一个法向量 n=(x,y,z),则即即取 y=1,则 n=(0,1,0).所以=2n,即n.所以 A1B1平面 AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面 A1C1C 的一个法向量 m=(x1,y1,z1),则- 7 - / 13即令 x1=1,则 y1=-1,z1=1,即 m=(1,-1,1).所以m=01+2(-1)+21=0,所以m.又 AB1平面 A1C1C,所以 AB1平面 A1C1C.10.(2016福州模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC平面 AA1C1C,

12、AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面 ABC.(2)证明在线段 BC1 上存在点 D,使得 ADA1B,并求的值.【解析】(1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC.所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AB,AA1AC.由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设 D(x,y,z)是线段 BC1 上的一点,且=,0,1.所以(x,y-3,z)=(

13、4,-3,4).解得 x=4,y=3-3,z=4,- 8 - / 13所以=(4,3-3,4).由=0,即 9-25=0,解得 =.因为0,1,所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 ADA1B,此时,=.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且 BP平面 ABC,则实数x,y,z 分别为 ( )A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,-15【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出.【解析】选 B.因为,所以=3+5-2z=0,解得 z=4.所以=(3,1,4).因为 BP平面

14、 ABC,所以,.所以化为解得所以 x=,y=-,z=4.2.(5 分)(2016太原模拟)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( )A.斜交B.平行- 9 - / 13C.垂直D.不能确定【解析】选 B.分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.因为 A1M=AN=a,所以 M,N,所以=.又 C1(0,0,0),D1(0, a,0),所以=(0, a,0),所以=0,所以.因为是平面 BB1C1C 的一个法向量,且 MN

15、平面 BB1C1C,所以 MN平面 BB1C1C.3.(5 分)空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,N 分别是BD,AE 的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面 CDE;MNCE;MN,CE 异面.则所有的正确命题为 .【解题提示】选,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且 ab=cb=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),=(c-a)b=(cb-ab)=0,故 ADMN,故正确;=c-a=2,故 MNCE,故 MN平面 CDE,故正确;正确时一定不正确.答案:- 10 -

16、/ 134.(12 分)(2016汕头模拟)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,B=C=90,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30的角.求证:(1)CM平面 PAD.(2)平面 PAB平面 PAD.【证明】以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.因为 PC平面 ABCD,所以PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,所以PBC=30,因为 PC=2,所以 BC=2,PB=4,所以 D(0,1,0),B(2,0,0)

17、,A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,所以即令 y=2,得 n=(-,2,1).因为 n=-+20+1=0,- 11 - / 13所以 n.又 CM平面 PAD,所以 CM平面 PAD.(2)如图,取 AP 的中点 E,连接 BE,则 E(,2,1),=(-,2,1).因为 PB=AB,所以 BEPA.又因为=(-,2,1)(2,3,0)=0,所以.所以 BEDA.又 PADA=A,所以 BE平面 PAD.又因为 BE平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.5.(13 分)(2016

18、郑州模拟)如图(1)所示,在 RtABC 中,C=90,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DEBC,DE=2,将ADE 沿 DE 折起到A1DE的位置,使 A1CCD,如图(2)所示.(1)求证:A1C平面 BCDE.(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小.(3)线段 BC 上是否存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.【解析】(1)因为 ACBC,DEBC,所以 DEAC,所以DEA1D,DECD,A1DDC=D,所以 DE平面 A1DC,所以 DEA1C.又因为 A1CCD,DECD=D,- 12 -

19、/ 13所以 A1C平面 BCDE.(2)如图所示,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Cxyz,则 A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0).设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0.又因为=(3,0,-2),=(-1,2,0),所以令 y=1,则 x=2,z=,所以 n=(2,1,).设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 .因为=(0,1,),所以 sin=|cos|= =.所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为.(3)线段 BC 上不存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.理由如下:假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p0,3.设平面 A1DP 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则又因为=(0,2,-2),=(p,-2,0),所以令 x1=2,则 y1=p,z1=.所以 m=.当且仅当 mn=0 时,平面 A1DP平面 A1BE.由 mn=0,得 4+p+p=0,解得 p=-2,与 p0,3矛盾.- 13 - / 13所以线段 BC 上不存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.