第04讲 反比例函数(学生版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲 反比例函数知识图谱错题回顾顾题回顾反比例函数知识精讲一知识精讲1反比例函数的概念：形如函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是x的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数2反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线反比例函数与()的图象关于轴对称，也关于轴对称反比例函数的性质：反比例函数(为常数，)的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内

2、，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于这两条直线轴对称3反比例函数的几何意义反比例函数(为常数，)中比例系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为 4用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证二方法点拨1反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程的解为交点的横坐标；不等式的解为2反比例函数与一次函数已知反比例函数

3、与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即3反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况4反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论5反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面

4、积问题，我们要注意值的几何意义和正负的讨论三点剖析一考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数的代数综合，反比例函数的几何综合，反比例函数与实际应用问题二重难点：反比例函数的图像和性质，反比例函数的代数综合，反比例函数的几何综合题模精讲题模一：反比例函数的图形和性质例1.1.1已知双曲线y=经过点（2，1），则k的值等于（）A1B1C2D4例1.1.2若点A（5，y1），B（3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）Ay1y3y2By1y2y3Cy3y2y1Dy2y1y3例1.1.3如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲

5、线y2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC；当0x3时，y1y2；如图，当x=3时，EF=；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4例1.1.4如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数（）的图象上若点B的坐标为，则的值为（ ）ABC或D或例1.1.5如图，在反比例函数y=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动若tanCAB=2，则k的值为（）A2

6、B4C6D8题模二：反比例函数的代数综合例1.2.1如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象相交于点（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当时，不等式的解集例1.2.2如图，已知与B是反比例函数的图象上的两个点，点是直线与轴的交点，则点的坐标是_ABCOxy例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为（1）求一次函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足，直接写出点P的坐标11OyxA例1.2.4如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2=相交于B（-1，5）、C（，d）两点

7、点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点（1）求k、b的值；（2）设-1m，过点P作x轴的平行线与函数y2=的图像相交于点D试问PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围题模三：反比例函数的几何综合例1.3.1如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）A1B2

8、C3D4例1.3.2如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CEx轴，垂足为点E，tanABO=，OB=4，OE=2（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DFy轴，垂足为点F，连接OD、BF如果SBAF=4SDFO，求点D的坐标例1.3.3已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一、三象限（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（-2，0）求出函数解析式；设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为_

9、；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为_个例1.3.4如图1，OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=（x0）的图象经过点A（1，4）（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DPx轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP求AOP的面积；在OABC的边上是否存在点M，使得POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由例1.3.5如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=-x

10、+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究AOF与EOC的数量关系，并证明题模四：反比例函数与实际应用问题例1.4.1环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不

11、超过最高允许的1.0mg/L？为什么？例1.4.2家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（k）随温度t（）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示通电后，发热材料的温度在由室温10上升到30的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1，电阻增加k（1）求当10t30时，R和t之间的关系式；（2）求温度在30时电阻R的值；并求出t30时，R和t之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k？随堂练习随练1.1已知反比例函数y=（k0）的图象经过（3，1），则当1y3时，自变

12、量x的取值范围是_随练1.2已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且=+，则这个反比例函数的表达式为_随练1.3二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx-ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）AA选项BB选项CC选项DD选项随练1.4函数y=x+的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是_（填序号）函数图象是轴对称图形；函数图象是中心对称图形；当x0时，函数有最小值；点（1，4）在函数图象上；当x1或x3时，y4随练1.5如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边

13、作等腰RtABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_随练1.6如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积为3，则k的值为_随练1.7已知：如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式（2）若点P是直线上一点，且，请直接写出点P的坐标随练1.8如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，）、B（3，0），与反比例函数y=的图象在第一象限交于C、D两点（

14、1）求该一次函数的解析式（2）若ACAD=，求k的值随练1.9如图，A、B两点在函数y=（x0）的图象上（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数随练1.10如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CEx轴交直线l于点E（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）求证：随练1.11已知点A是反比例函数y=（x0）图象上的一点，点A是点A关于y轴的对称点，当AO

15、A为直角三角形时，点A的坐标是_随练1.12如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线分别交于点、，且点的坐标为。（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；（2）求出点的坐标；（3）利用图象直接写出：当在什么范围内取值时，；（4）在坐标轴上找一点M，使得以M、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，请写出M的坐标随练1.13在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线（）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（交于点C，x轴上一点位于直线AC右侧，AD的中点为E（1）当时，求ACD的面积（用含，的代数式表示）；（2）若点E恰好在双曲线（）上，求m的值；（3

16、）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为时，若BDF的面积为1，且CF/AD，求的值，并直接写出线段CF的长随练1.14如图，已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，-3），B（3，m）两点，连接OA、OB（1）求两个函数的解析式；（2）求ABO的面积（3）是否存在点P,使以A、B、O、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。ABOxy随练1.15阅读理解：对于任意正实数a、b，只有当时，等号成立 结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若，只有当_时，有

17、最小值_（2）探索应用：已知，点P为双曲线上的任意一点，过点P作PC垂直x轴于点C，PD垂直y轴于D求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状随练1.16在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数的图象上，其中轴于点C，轴于点D，且（1）若，则AO的长为_，的面积为_；（2）如图1，若点B的横坐标为，且，当时，求的值；（3）如图2，轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中将的面积记为，的面积记为，若，求S与的函数关系式以及S的最大值yAxBCODyxBCODMNAE图1图2随练1.17在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义

18、：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”例如：三点坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”（1）已知点，若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值（2）已知点，其中，若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围随练1.18保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动某化工厂2009年1月的利润为200万元设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行

19、治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？随练1.19如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y，从加热开始计算的时间为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15，加热5分钟使材料温度达到60时停止加热停止

20、加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？自我总结 课后作业作业1如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x0）的图象上，则点E的坐标是（，）作业2如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y= （x0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x0）的图象上，C1O

21、1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A BCD作业3已知与是反比例函数图象上的两个点则的值=_作业4反比例函数y=（a0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MCx轴于点C，交y=的图象于点A；MDy轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：SODB=SOCA；四边形OAMB的面积不变；当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3作业5如图所示，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2AB2=18，则k的值为（）A12B9C8D6作业6如

22、图，已知一次函数y=k1x+b（k10）的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=（k20）的图象在第一象限的交点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，若OA=OB=OD=2（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式作业7如图，点A（2，n），B（1，2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；（3）若C是x轴上一动点，设t=CBCA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标作业8利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线

23、和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线_和直线，其交点的横坐标就是该方程的解（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）3636xyO作业9如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限内交于点，两点，且，则的值为多少？作业10经过点的直线l：与反比例函数：的图象交于点，与y轴交于点D（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；（2）反比例函数G2：，若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若，且AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；反比例函数G2的图象与直线l有

24、两个公共点M，N（点M在点N的左侧），若，直接写出t的取值范围作业11如图，反比例函数y=（x0）的图象交RtOAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上若OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为_作业12如图，在RtABC中，ABC=90，点B在x轴上，且B（1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m0）经过A点，双曲线y=经过C点，则RtABC的面积为作业13如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=（x0）的图象经过点B（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、NABC设线段MC、NA分别与函数y=（x0）

25、的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式作业14仅用尺规不可能“三等分角”但借助函数可以“三等分角”下面介绍数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角置于直角坐标系汇总，边OB在x轴上，边OA与函数的图象交于点P，以点P为圆心，以为半径作弧交函数的图象于点R分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到，则要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设、，求直线OM的解析式（用含a、b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q说明Q点在直线OM上，并据此证明O yxH B Q PR M AS 作业15如图，在平面直角

26、坐标系中，OAOB，ABx轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上（1）求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得SAOP=SAOB，求点P的坐标；（3）若将BOA绕点B按逆时针方向旋转60得到BDE直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由作业16如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图

27、象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由作业17定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”（1）若矩形的两边分别是、，当这两边分别增加、后，得到的新矩形的面积为，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为、点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点

28、则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 （3）在（2）的条件下， 已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请求出点P的坐标作业18制作一种产品，需先将材料加热达到60后，再进行操作设该材料温度为y（），从加热开始计算的时间为x（分钟）据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）已知该材料在操作加工前的温度为15，加热5分钟后温度达到60（1）分

29、别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15时，须停止操作，那么操作时间是多少？作业19据媒体报道，近期“甲型H7N9禽流感”可能进入发病高峰期，某校根据学校卫生工作条例，为预防“甲型H7N9禽流感”，对教室进行“薰药消毒”已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示，第一段是线段OA，第二段是一个反比例函数的图象（即图中A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2

30、毫克时，对人体无毒害作用，那么从药物释放开始，经过多长时间，才能确保教室内的空气对人体无毒害作用？1061525ABO作业20近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？