特征值求法学习.pptx

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1、那么的任何一个非零倍数也是A的这说明属于同一个特征值的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能属于一个特征值。所以的特征向量。属于向量，如果是矩阵A的属于特征值的 特征这是因为第1页/共21页可以写成齐次线性方程组方程组有解即上式是以为未知量的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，是的n次多项式，记为称为方阵A的特征多项式。第2页/共21页显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。设n阶方阵的特征值为则有（1）（2）第3页/共21页如果是方阵A的一个特征值，求得非零解则

2、就是A的对应于特征值的特征向量。由以上分析知：求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和方程组的解。程组由线性方第4页/共21页例7求矩阵的特征值与特征向量。解A的特征多项式为故A的特征值为当时,由即方程组解得基础解系为第5页/共21页就是A的一个属于特征值的特征向量，A的属于特征值的所有特征向量为当由即方程组解得基础解系A的属于特征值的所有特征向量为就是A的一个属于特征值的特征向量，第6页/共21页例8求矩阵的特征值与特征向量。解A的特征多项式为A的特征值为当时，即方程组由第7页/共21页求得基础解系就是A的一个属于特征值的特征向量，A的对应于特征值的所有特征向量为（k为不等于0的任意常数

3、）.第8页/共21页当时，解得基础解系就是A的一个属于特征值的特征向量，A的对应于特征值的所有特征向量为可得方程组由第9页/共21页例9 求矩阵的特征值与特征向量。解A的特征多项式为A的特征值为第10页/共21页当时，即方程组解得基础解系就是A的一个属于特征值的特征向量，A的属于特征值的所有特征向量为由第11页/共21页当时，解得基础解系就是A的属于特征值的特征向量，的所有特征向量为可得方程组由A的对应于第12页/共21页 在例9中，1是A的2重特征根，A对应于特征值1的线性无关的特征向量有两个，即的基础解系，由两个解向量组成，在例8中，1也是A的2重根，但A对于特征值1的线性无关的特征向量却

4、只有一个，即的基础解系只有一个解向量组成。对于一阶矩阵A，如果是A的k重特征根，个数不大于k，所含向量的个数不大于k.可以证明，的线性无关特征向量的则A对应于的基础解系也就是说，第13页/共21页例10A的特征值只有0和1。设方阵A是幂等矩阵（即 ），试证证设是A的特征值，是A的对应于的特征向量，则于是所以，即所以第14页/共21页由例10的证明可以看出，则是的特征值。是方阵A的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中是方阵A的特征值，若按此类推，不难证明 若第15页/共21页例11已知三阶矩阵A的特征值分别为1，-1，2，矩阵试求矩阵B的特征值。解因故于是矩阵B的特征值分别为第16页/共21页

5、定理3属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证用数学归纳法证明。由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必然线性无关。现在设属于m个不同特征值的特征向量线性无关，征向量也线性无关。下面证明的特属于m+1个不同特征值第17页/共21页假设有等式即(1)式两端左乘A可得：将（2）和（3）两式相减得(1)（1）式两端左乘可得：（2）（3）第18页/共21页由归纳假设线性无关，所以但所以这时（1）式变为又因所以只有这就证明了线性无关。由此可知，定理的结论是成立的。第19页/共21页例12求矩阵的特征值。解A的特征多项式为其有复特征根方阵在复数域内总有特征根，这个例子说明:但不一定有实特征根。第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页