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1、1升级增分训练升级增分训练 定点、定值、证明问题定点、定值、证明问题1已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为 2x2 a2y2 b232(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OAOB求证:原点O到直线AB的距离为定值 ,并求出该定值解:(1)由题意知,e ,2,c a32b2c2又a2b2c2,所以a2,c,b1,3所以椭圆C的方程为y21x2 4(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x,此时,原点O到2 55直线AB的距离为2 55当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2)由Er
2、ror!得(14k2)x28kmx4m240则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0,x1x2,x1x28km 14k2,4m24 14k2则y1y2(kx1m)(kx2m),m24k2 14k2由OAOB,得kOAkOB1,即1,y1 x1y2 x2所以x1x2y1y20,5m244k2 14k2即m2 (1k2),满足04 5所以原点O到直线AB的距离为|m|1k22 55综上,原点O到直线AB的距离为定值2 552(2017湖南省东部六校联考)设椭圆C1:1(ab0)的离心率为,x2 a2y2 b2322F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的
3、周长是 423(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A,B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若C点满足,连接AC交DE于点P,求证:PDPEABBCADOC解:(1)由e,知 ,所以ca,32c a3232因为PF1F2的周长是 42,3所以 2a2c42,3所以a2,c,3所以b2a2c21,所以椭圆C1的方程为y21x2 4(2)证明:由(1)得A(2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0),因为,所以可设C(2,y1),ABBC所以(x02,y0),(2,y1),ADOC由可得(x02)y12y0,ADOC即y12y0 x02所以直线
4、AC的方程为:y 2y0 x02x2 4整理得y(x2)y0 2x02又点P在直线DE上,将xx0代入直线AC的方程可得y,y0 2即点P的坐标为,(x0,y0 2)所以P为DE的中点,所以PDPE3椭圆C:1(ab0)的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为x2 a2y2 b21 210(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB3为直径的圆过椭圆C的右顶点求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标解:(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为,10所以,解得c12c2110又e ,解得a2,c a1 2所以b2a2c2
5、3所以所求椭圆C的方程为1x2 4y2 3(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由Error!消去y,得(34k2)x28mkx4(m23)0,64m2k216(34k2)(m23)0,化简,得 34k2m20所以x1x2,x1x28mk 34k24m23 34k2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k2 34k2因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0),则kADkBD1,所以1,y1 x12y2 x22所以y1y2x1x22(x1x2)40,所以403m24k2 34k24m23 34k216mk 34k2化为 7m216mk4k20,解得
6、m12k,m2,满足 34k2m202k 7当m2k时,l:yk(x2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m时,l:yk,直线过定点2k 7(x2 7)(2 7,0)综上可知,直线l过定点(2 7,0)4(2016南昌一模)已知椭圆C:1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的x2 a2y2 b2连线构成等边三角形,直线xy210 与以椭圆C的右焦点为圆心,椭圆的长半轴24长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程;(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B与点D关于原点O对称设直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2k3k4求k1k2的值;求|OB|2|O
7、C|2的值解:(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0),则c2a2b2(c0)由题意可得,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2,圆心到直线xy210 的距离2da(*)|c2 21|2椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,bc,a2c,把a2c代入(*)式得c1,b,a2,33故所求椭圆的方程为1x2 4y2 3(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,y1),于是k1k2y2y1 x2x1y2y1 x2x1y2 2y2 1 x2 2x2 1 3 44x2 23 44x2 1 x2 2x2 13 4由及题意知,k3k4k1k2 ,故y1y2x1x23 43 4x xy y (4x) (4x),9 16 2 1 2 22 1 2 23 42 13 42 2即x x164(xx)x x,2 1 2 22 12 22 1 2 2xx42 12 2又 2,(x2 1 4y2 13) (x2 2 4y2 23)x2 1x2 2 4y2 1y2 2 3故yy32 12 25|OB|2|OC|2xyxy72 12 12 22 2