高考数学大一轮复习升级增分训练定点定值证明问题文.doc

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1、1升级增分训练升级增分训练 定点、定值、证明问题定点、定值、证明问题1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为 2x2 a2y2 b232(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值解：(1)由题意知，e ，2，c a32b2c2又a2b2c2，所以a2，c，b1，3所以椭圆C的方程为y21x2 4(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到2 55直线AB的距离为2 55当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由Er

2、ror!得(14k2)x28kmx4m240则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x28km 14k2，4m24 14k2则y1y2(kx1m)(kx2m)，m24k2 14k2由OAOB，得kOAkOB1，即1，y1 x1y2 x2所以x1x2y1y20，5m244k2 14k2即m2 (1k2)，满足04 5所以原点O到直线AB的距离为|m|1k22 55综上，原点O到直线AB的距离为定值2 552(2017湖南省东部六校联考)设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x2 a2y2 b2322F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的

3、周长是 423(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，连接AC交DE于点P，求证：PDPEABBCADOC解：(1)由e，知 ，所以ca，32c a3232因为PF1F2的周长是 42，3所以 2a2c42，3所以a2，c，3所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21x2 4(2)证明：由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，ABBC所以(x02，y0)，(2，y1)，ADOC由可得(x02)y12y0，ADOC即y12y0 x02所以直线

4、AC的方程为：y 2y0 x02x2 4整理得y(x2)y0 2x02又点P在直线DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，y0 2即点P的坐标为，(x0，y0 2)所以P为DE的中点，所以PDPE3椭圆C：1(ab0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为x2 a2y2 b21 210(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB3为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，10所以，解得c12c2110又e ，解得a2，c a1 2所以b2a2c2

5、3所以所求椭圆C的方程为1x2 4y2 3(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去y，得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化简，得 34k2m20所以x1x2，x1x28mk 34k24m23 34k2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k2 34k2因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，则kADkBD1，所以1，y1 x12y2 x22所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以403m24k2 34k24m23 34k216mk 34k2化为 7m216mk4k20，解得

6、m12k，m2，满足 34k2m202k 7当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点2k 7(x2 7)(2 7，0)综上可知，直线l过定点(2 7，0)4(2016南昌一模)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的x2 a2y2 b2连线构成等边三角形，直线xy210 与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴24长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4求k1k2的值；求|OB|2|O

7、C|2的值解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，则c2a2b2(c0)由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy210 的距离2da(*)|c2 21|2椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，bc，a2c，把a2c代入(*)式得c1，b，a2，33故所求椭圆的方程为1x2 4y2 3(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k2y2y1 x2x1y2y1 x2x1y2 2y2 1 x2 2x2 1 3 44x2 23 44x2 1 x2 2x2 13 4由及题意知，k3k4k1k2 ，故y1y2x1x23 43 4x xy y (4x) (4x)，9 16 2 1 2 22 1 2 23 42 13 42 2即x x164(xx)x x，2 1 2 22 12 22 1 2 2xx42 12 2又 2，(x2 1 4y2 13) (x2 2 4y2 23)x2 1x2 2 4y2 1y2 2 3故yy32 12 25|OB|2|OC|2xyxy72 12 12 22 2