高考数学一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质学案理.doc

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1、- 1 - / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-8-5 5 直线平面垂直的判定与性质学案理直线平面垂直的判定与性质学案理考纲展示 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题考点 1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 内的_直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：答案：(1)任意一条(2)两条相交直线 a，

2、b abO la lb 平行 a b(1)教材习题改编下列命题中不正确的是( )A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 - 2 - / 20D如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么l答案：A(2)教材习题改编 如图，在三棱锥 VABC 中，VABVACABC90，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为_答案：4典题 1 (1)2017上海六校联考已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m 的是( )B 且

3、mA 且 m Dmn 且 Cmn 且 n 答案 C解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C 正确(2)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点求证：CDAE；PD平面 ABE.证明 在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.- 3 - / 20由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由知，AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AE

4、PD.PA底面 ABCD，PAAB.又 ABAD，且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又 ABAEA，PD平面 ABE.点石成金 直线和平面垂直判定的四种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(ab，ab)，如典题 1 的第(1)题中选项 C；(3)利用面面平行的性质(a，a)；(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.2017湖北武汉调研如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC平面 BDE.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若 PA1，A

5、D2，求三棱锥 EBCD 的体积(1)证明：PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD.PC平面 BDE，BD平面 BDE，- 4 - / 20PCBD.又 PAPCP，BD平面 PAC.(2)解：如图所示，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.PC平面 BDE，PCOE.由(1)知，BD平面 PAC，BDAC.由题设条件知，四边形 ABCD 为正方形由 AD2，得 ACBD2，OC.在 RtPAC 中，PC3.易知 RtPACRtOEC，即，OE，CE.VEBCDSCEOBDOECEBD2.考点 2 平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理与性质定理答案：垂线 l l

6、 交线 l a la定理的应用：注意由平面到空间的思维的变化(1)已知直线 a，b，c，若 ab，bc，则 a 与 c 的位置关系为_答案：平行、相交或异面- 5 - / 20解析：在同一个平面内，由题设条件可得 ac，在空间中，则直线 a 与 c 的位置关系不确定，即平行、相交、异面都有可能(2)已知直线 a 和平面 ，若 ，a，则 a 与 的位置关系为_答案：a 或 a解析：易得 a 或 a.垂直关系的证明及应用：直接法(1)如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥

7、ABCD 中，平面 ADC_平面 ABC.答案：解析：在四边形 ABCD 中，由已知可得 BDCD，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，所以 CD平面 ABD，所以 CDAB.又 ADAB，ADCDD，所以 AB平面 ADC，所以平面 ABC平面 ADC.(2)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD3，AA12，则四棱锥 ABB1D1D 的体积为_答案：6解析：连接 AC，交 BD 于点 O，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 ABAD3，所以 BD3，且 ACBD.- 6 - / 20又因为 BB1底面 ABCD，所以 BB1AC.又 D

8、BBB1B，所以 AC平面 BB1D1D，所以 AO 为四棱锥 ABB1D1D 的高，且 AOBD.因为矩形 BB1D1D 的面积SBDBB1326，所以四棱锥 ABB1D1D 的体积VSAO66.典题 2 如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC 的中点求证：(1)CE平面 PAD；(2)平面 EFG平面 EMN.证明 (1)证法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，EHAB.又 ABCD，CDAB，所以 EHCD，EHCD，因此四边形 DCEH 是平行四边

9、形所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，所以 CE平面 PAD.证法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AFAB.又 CDAB，所以 AFCD.又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形- 7 - / 20因此 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA

10、.又 ABPA，所以 ABEF.同理可证 ABFG.又 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD.又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.题点发散 1 在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC.证明：因为 ABPA，ABAC，且 PAACA，- 8 - / 20所以 AB平面 PAC.又 MNCD，CDAB，所以 MNAB，所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN，所以平面 EMN平面 PAC.题点发散 2 在本例条件下，证明：平面 E

11、FG平面 PAC.证明：因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC.又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理，FG平面 PAC.又 EFFGF，所以平面 EFG平面 PAC.点石成金 1.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面 ABCD，PAAD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点求证：(1)PA底面

12、ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明：(1)平面 PAD平面 ABCDAD，- 9 - / 20又平面 PAD平面 ABCD，且 PAAD，PA平面 PAD，PA底面 ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，ABDE，且 ABDE.四边形 ABED 为平行四边形BEAD.又 BE平面 PAD，AD平面 PAD，BE平面 PAD.(3)ABAD，且四边形 ABED 为平行四边形，BECD，ADCD.由(1)知，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，则 PACD，又 PAADA，CD平面 PAD.又 PD平面 PAD，从而 CDPD，又 E，

13、F 分别为 CD，CP 的中点，EFPD，故 CDEF.EF平面 BEF，BE平面 BEF，且 EFBEE，CD平面 BEF.又 CD平面 PCD.平面 BEF平面 PCD.考点 3 平行与垂直的综合问题考情聚焦 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点主要有以下几个命题角度：角度一- 10 - / 20证明多面体中的平行与垂直关系典题 3 如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：AEEC；(2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F.求证：EFAB.证明 (1)E 是半圆上异于 A，B 的点，AEE

14、B.又平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，CBAB，CB平面 ABE.又AE平面 ABE，CBAE.CBBEB，AE平面 CBE.又EC平面 CBE，AEEC.(2)CDAB，AB平面 ABE，CD平面 ABE.又平面 CDE平面 ABEEF，CDEF.又CDAB，EFAB.角度二探索性问题中的平行与垂直关系典题 4 如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF平面 DEF，ABBC. (1)设平面 ACE平面 DEFa，求证：DFa；(2)若 EFCF2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面DFG平面 CDE？若存在，请确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由(

15、1)证明 在三棱台 ABCDEF 中，ACDF，AC平面 ACE，DF- 11 - / 20平面 ACE，DF平面 ACE.又DF平面 DEF，平面 ACE平面 DEFa，DFa.(2)解 线段 BE 上存在点 G，且 BGBE，使得平面 DFG平面CDE.证明如下：取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD，CFEF，GFCE.在三棱台 ABCDEF 中，ABBCDEEF.由 CF平面 DEFCFDE.又 CFEFF，DE平面 CBEF，DEGF.Error!GF平面 CDE.又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE.此时，如平面图所示，O 为 CE 的中点

16、，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF.由HGBFGE 可知，即 BGBE.角度三折叠问题中的平行与垂直关系典题 5 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E，F 分- 12 - / 20别在线段 BC，AD 上，EFAB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起，记折起后的矩形为 MNEF，且平面 MNEF平面 ECDF.(1)求证：NC平面 MFD；(2)若 EC3，求证：NDFC；(3)求四面体 NEFD 体积的最大值(1)证明 平行四边形 MNEF 和 EFDC 都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形 MNCD 是平行四边形NCMD.NC

17、平面 MFD，MD平面 MFD，NC平面 MFD.(2)证明 连接 ED，交 FC 于点 O.平面 MNEF平面 ECDF，且 NEEF，平面 MNEF平面 ECDFEF，NE平面 MNEF，NE平面 ECDF.FC平面 ECDF，FCNE.ECCD，四边形 ECDF 为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面 NED，FC平面 NED.ND平面 NED，NDFC.(3)解 设 NEx，则 FDEC4x，其中 0x4.- 13 - / 20由(2)得 NE平面 FEC，四面体 NEFD 的体积为VNEFDSEFDNEx(4x)VNFED22，当且仅当 x4x，即 x2 时，四面体 NFE

18、D 的体积最大，最大值为 2.点石成金 平行与垂直的综合应用问题处理的两个策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系.方法技巧 1.三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” ；

19、利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直” ；利用面面垂直的性质- 14 - / 20(3)判定面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.2线面垂直、面面垂直的常见性质(1)垂直于同一条直线的两个平面平行(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直3三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直易错防范 在用线面垂直的判定定理

20、证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交真题演练集训 12016浙江卷已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则( )BmnAml DmnCnl 答案：C解析：因为 l，所以 l，又 n，所以 nl.故选C.22015浙江卷如图，已知ABC，D 是 AB 的中点，沿直线CD 将ACD 翻折成ACD，所成二面角 ACDB 的平面角为 ，则( )- 15 - / 20AADB BADBCACB DACB答案：B解析： AC 和 BC 都不与 CD 垂直， ACB，故 C，D 错误当 CACB 时，容易

21、证明ADB.不妨取一个特殊的三角形，如 RtABC，令斜边AB4，AC2，BC2，如图所示，则 CDADBD2，BDH120，设沿直线 CD 将ACD 折成ACD，使平面 ACD平面 BCD，则90.取 CD 中点 H，连接 AH，BH，则 AHCD， AH平面 BCD，且 AH，DH1.在BDH 中，由余弦定理可得 BH.在 RtAHB 中，由勾股定理可得 AB.在ADB 中， AD2BD2AB220，可知cosADB0， ADB 为钝角，故排除 A.故选 B.32016新课标全国卷， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么 .如果 m，n，那么 mn.如果

22、 ，m，那么 m.如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角- 16 - / 20相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案：解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为 ，ABCD所在的平面为 ，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立；命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确；由平面与平面平行的定义知，命题正确；由平行的传递性及线面角的定义知，命题正确42016江苏卷如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为

23、 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1 ，A1B1平面ABB1A1

24、，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 ABB1A1.- 17 - / 20因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.52016新课标全国卷如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值(1)证明：由已知可得 AFDF

25、，AFFE，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解：过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDC CD，故 ABCD，CDEF.由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CBEF 的平

26、面角，CEF60.- 18 - / 20从而可得 C( 2,0，)连接 AC，则(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)AC设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则Error!即Error!所以可取 n(3,0，)设 m 是平面 ABCD 的法向量，则Error!同理可取 m(0， ，4)则 cosn，m.故二面角 EBCA 的余弦值为.课外拓展阅读 立体几何证明问题中的转化思想典例 如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱AB，CD，C1D1 的中点求证：(1)AN平面 A1MK；(2)平面 A1B1C平面 A1MK.审题视角 (1)要证线

27、面平行，需证线线平行；(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直证明 (1)如图所示，连接 NK.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K 分别为 CD，C1D1 的中点，DND1K，DND1K，四边形 DD1KN 为平行四边形- 19 - / 20KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形 AA1KN 为平行四边形，ANA1K.A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK，AN平面 A1MK.(2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1

28、中，ABC1D1，ABC1D1.M，K 分别为 AB，C1D1 的中点，BMC1K，BMC1K.四边形 BC1KM 为平行四边形，MKBC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面 A1B1C.又MK平面 A1MK，平面 A1B1C平面 A1MK.方法点睛- 20 - / 201线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理2线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例，证明垂直时常用的等腰三角形的中线等3证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范