数理方程5学习.pptx

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1、1、Bessel函数的渐近特性因此当时5.3、傅立叶-贝塞尔级数 第1页/共48页第2页/共48页第3页/共48页2、贝塞尔函数的零点性质：（3）（1）有可列无穷多单重零点，且关于原点对称分布；（2）的零点与 的零点相间分布；且前者绝对值的零点更接近于零。3、贝塞尔函数图第4页/共48页4、贝塞尔函数和本征值在柱坐标系下，拉普拉斯方程经过分离变量法得到而由的自然周期性条件得到本征值和本征函数分别为 应用Bessel函数求解数理方程时，最终都要把已知函数按Bessel函数系展开为级数。第5页/共48页那么剩下的第二个方程变成也即变成两个常微分方程式中 为待定的本征值，是由齐次边界条件确定 下面按

2、照给出的解为 第6页/共48页的解为第7页/共48页由于圆柱轴上的自然边界条件，也即当 为有限的，因此的解应该写成 对圆柱内部问题，若圆柱侧面有齐次的边界条件，则底面为齐次边界条件，则，也即问题的本征值是由齐次边界条件决定的。；若圆柱上下现在讨论圆柱侧面有齐次边界条件情况，也即条件决定了本征值，对应的 就是本征函数。情况。柱侧的齐次边界第8页/共48页(1)第一类齐次边界条件，其中为圆柱半径，因此因此本征值为式中为的第 个零点。(2)第二类其次边界条件 ，也即因此本征值为式中为的第个零点。对应的本征函数为：对应的本征函数为：第9页/共48页5、贝塞尔函数的正交关系n阶Bessel函数序列在区间

3、 上带权 正交，即取其解的两个值分别代入原方程得证明：第10页/共48页两式相减，并对 从0到 积分，得上面两式分别乘第11页/共48页正交（向量正交、函数正交）无穷维向量求和内积第12页/共48页6、傅立叶-贝塞尔级数广义傅立叶级数 对级数展开称为广义傅立叶级数由于广义傅立叶级数是绝对且一致收敛的，可以逐项积分。用乘以展开式两端且逐项积分由于基函数的正交性，上式变成系数 称为广义傅立叶系数，称为该级数展开的基。第13页/共48页因此式中称为基函数的模。本征函数族是完备的，即可作为广义傅立叶级数展开的基函数。在区间上函数的傅立叶-贝塞尔级数为第14页/共48页7、贝塞尔函数的模贝塞尔函数的模为

4、设，则上式变成利用贝塞尔方程第15页/共48页则模写成第16页/共48页因此，对第一类边界条件，贝塞尔函数模的平方为若把递推关系代入上式，那么对第二类边界条件，则贝塞尔函数模的平方为第17页/共48页例题解析：1、求解2、求解注：（1）上述两积分都是应用Bessel函数的递推公式及分部积分 方法计算的，这是计算Bessel函数积分的基本方法，所 以要灵活，熟练 运用Bessel函数的递推公式。第18页/共48页（2）例2中出现了积分 不能靠递推公式计算，但注意 为整个数轴上收敛的普通幂级数（收敛半径为无穷），可逐项积分。(3)在计算积分中，当k,s为整数，且则：若为奇数，经过递推公式可直接得出

5、结果；不能再用递推公式，必须通过 幂级数逐项积分求得最终结果。为偶数，经过递推公式，将导出积分若第19页/共48页3、半径为R的均匀弹性圆膜，边缘固定，初始位移为 初始速度为零，试解膜的振动，其中 为圆膜上一点到圆心的距离，又：4、设 是 的第m个正零点，（m=1,2,），将函数展开为 的Fourier-Bessel级数。第20页/共48页4、圆柱形空腔内电磁振荡的定解问题为：，试证电磁振荡的固有频率为：解：分离变量法得：第21页/共48页第22页/共48页格林函数法格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场，知道了点源的场

6、就可以用迭加的方法计算出任意源所产生 的场。点源产生的场可以用泊松方程求解第23页/共48页第24页/共48页1.1、格林公式设和在区域内及其边界上具有连续一阶导数，而在 中具有连续二阶导数。令 ，那么这就是格林第一公式 第25页/共48页把格林第一公式中和对调一下也可表示为这就是格林第二公式然后相减得到 第26页/共48页泊松方程及边界条件的定解问题为式中为在区域边界上给定的函数。1.2、泊松方程的基本积分公式该边界条件是包括三类边界条件：(1)、为第一类边界条件，泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题称为第一边值问题或狄里希利问题；第27页/共48页为第三类边界条件，泊松方程与第三类边界条

7、件构成的定解问题称为第三边值问题。(2)、为第二类边界条件，泊松方程与第二类边界条件构成的定解问题称为第二边值问题或诺伊曼问题；(3)、首先研究点源的场，用 函数描述单位点源的密度分布函数，该点源产生的场 表示位于 点的单位强度的点源在点 产产生的场，也即满足方程：第28页/共48页把该式和原泊松方程代入格林第二公式得到第29页/共48页格林函数具有对称性，所以上式又可写为：也即该式称为泊松方程的基本积分公式 第30页/共48页(1)对第一边值问题，在边界 上的值为已知函数。令满足则该方程的解称为泊松方程第一类边值问题的格林函数此时泊松方程的基本积分公式为第31页/共48页该定解问题的解不存在

8、。比如，把格林函数看作温度分布，泊松方程表明边界S包围的区域有点源，而在边界上格林函数的导数为零表明边界是绝热的，也就是点源不断放出热量，而热量又不能从边界散发出去，V内的温度就会升高，其分布就不可能稳定的。(2)对第二边值问题，格林函数满足第32页/共48页2、用电像法求格林函数 基本思想：用另一个设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，因此原空间的场是由点电荷和像电荷的叠加得到。镜像电荷永远不会出现在所求场的区域内。(1)对三维无限大空间的泊松方程第一边值问题的格林函数为设点源位于坐标原点，因区域是无界的，点源产生的场应与方向无关第33页/共48页采用球坐标系时，此格林函数满足：解得令无穷远

9、处将方程在包含的区域作体积分得第34页/共48页再利用格林第二公式令 u=1第35页/共48页该方程的解为：例、求泊松方程 的积分解若电荷位于任何点 ，则根据泊松方程的基本积分公式：第36页/共48页该方程的解为(2)对二维无限大空间的泊松方程第一边值问题的格林函数为(3)对三维半无限大空间的泊松方程第一边值问题的格林函数对应的泊松方程的解为：第37页/共48页由镜像法得该方程的解为该方程的解为(4)对球外泊松方程第一边值问题的格林函数满足第38页/共48页单位点电荷在球外时的情况第39页/共48页该方程的解为(5)对二维圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足第40页/共48页例1、求解三维半限大空间的狄利克雷问题先求格林函数第一边值问题的解的积分公式为：第41页/共48页代入上式即可得半空间第一边值问题的解：第42页/共48页例2、求解时谐场问题：非齐次亥姆霍兹方程的辅助方程为：时，此格林函数满足：第43页/共48页根据自然边界条件得A=0,在代入定解条件，经体积分得：利用高斯散度定理得前项积分为：第44页/共48页后项积分为：所以求得系数B为：第45页/共48页所求格林函数为：非齐次亥姆霍兹方程的积分解为：第46页/共48页Thanks for your attention!第47页/共48页感谢您的观看。第48页/共48页