数理方程与特殊函数杨春28学习教案.pptx

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1、会计学1数理方程与特殊数理方程与特殊(tsh)函数杨春函数杨春28第一页，共41页。2本次课主要(zhyo)内容勒让德多项式及其应用(yngyng)(一)、勒让德多项式的母函数(hnsh)(二)、勒让德多项式的递推公式(三)、勒让德多项式正交性与展开定理(四)、勒让德多项式的应用 第1页/共41页第二页，共41页。3(一)、回顾(hug)1、n阶勒让德方程(fngchng):n为实数或复数(fsh).本课程只考虑实数情形。2、n阶勒让德方程的通解(1)、当n为一般实数时，通解可表达为：第2页/共41页第三页，共41页。4其中(qzhng)：(2)当n是整数(zhngsh)时，方程的通解为：Qn

2、(x)称为(chn wi)第二类勒让得函数，在-1,1上无界。3、勒让德多项式的罗得利克公式 第3页/共41页第四页，共41页。54、勒让德多项式的积分(jfn)表达式(一)、勒让德多项式的母函数(hnsh)可以(ky)证明：第4页/共41页第五页，共41页。6关于勒让德多项式母函数等式(dngsh)的说明1、由拉普拉斯方程(fngchng)的基本解引出一个复变函数在上图中,置于北极(bij)处的正点电荷在M处产生电势为：1drxyzM第5页/共41页第六页，共41页。7据此引出(yn ch)复变函数如下：其中(qzhng)：x1 显然(xinrn)：G(x,z)在单位园z1内解析。于是考虑其

3、在z=0处的幂级数展开，得到：其中：第6页/共41页第七页，共41页。8C是单位园内包围z=0的任意(rny)一条闭曲线。2、可以(ky)证明：C n(x)是n阶勒让德多项式。证明(zhngmng)：作代换：则：第7页/共41页第八页，共41页。9为勒让德多项式的母函数(hnsh)称例1、证明(zhngmng)：证明(zhngmng)：在母函数中取x=1时有：第8页/共41页第九页，共41页。10所以(suy)：取x=-1时有：所以(suy)：例2、证明(zhngmng)：第9页/共41页第十页，共41页。11证明(zhngmng)：在母函数中取x=0得：由于(yuy)：所以(suy)第10页

4、/共41页第十一页，共41页。12例3、证明(zhngmng)：证明：在母函数(hnsh)中用-x代x，同时用-z代z得：所以(suy)得：注：对于n阶勒让得多项式Pn(x)，n为奇数时是奇函数，n为偶数时为偶函数。(二)、勒让德多项式的递推公式(重点)第11页/共41页第十二页，共41页。13三个公式(gngsh)中，n=1,2,3.先证明公式(gngsh)1：由母函数两端(lin dun)对z求导数得：第12页/共41页第十三页，共41页。14进一步得：对上式整理(zhngl)得：第13页/共41页第十四页，共41页。15于是(ysh)得：第14页/共41页第十五页，共41页。16于是(y

5、sh)得：所以(suy)，当n1时有：公式2的证明：将母函数(hnsh)两端z求导得：第15页/共41页第十六页，共41页。17进一步得：将母函数(hnsh)两端对x求导得：进一步得：比较(bjio)(1)与(2)得：第16页/共41页第十七页，共41页。18公式3的证明(zhngmng)：由公式1两端对x求导得：又由公式(gngsh)2 得：将(1)-(2)得：例4、证明(zhngmng)：第17页/共41页第十八页，共41页。19证明(zhngmng)：由递推公式2得：由(1)+(2)得：得：又由递推公式(gngsh)3第18页/共41页第十九页，共41页。20(三)、勒让德多项式正交性与

6、展开(zhn ki)定理1、勒让德多项式正交性(重点(zhngdin)(1)、勒让德多项式正交性定理(dngl)：勒让德多项式序列：在-1,1上正交。即：第19页/共41页第二十页，共41页。21证明(zhngmng)：由于Pm(x)与P n(x)分别为勒让得方程的解，所以有：进一步得：第20页/共41页第二十一页，共41页。22上面(shng min)两个式子相减得：两边(lingbin)积分得：第21页/共41页第二十二页，共41页。23于是(ysh)得：即得：(2)、归一性定理(dngl)定理(dngl)：勒让得多项式满足：证明：当n=0，1时，易证明结论成立；第22页/共41页第二十三

7、页，共41页。24设n=m时结论(jiln)成立，下面证明：由递推公式(gngsh)：取n=m得：进一步有：第23页/共41页第二十四页，共41页。25两边(lingbin)积分得：又在递推公式(gngsh)中令n=m+1得：代入得：由归纳法知定理(dngl)成立。第24页/共41页第二十五页，共41页。26称 为n阶勒让得多项式的模。由于(yuy)：所以，上面定理(dngl)称为归一性定理(dngl)。2、函数(hnsh)的勒让德多项式展开勒让德多项式展开定理：若且：f(x)在-1,1上分段连续，则：第25页/共41页第二十六页，共41页。27在-1,1上可以展开(zhn ki)为绝对且一致

8、收敛的级数：其中(qzhng)：例6、将f(x)=|x|按勒让德多项式展开(zhn ki).解：第26页/共41页第二十七页，共41页。28解：由于(yuy)P2n+1(x)为奇函数，所以C2n+1=0.下面(xi mian)计算C2n,当n=0时：当n1时：第27页/共41页第二十八页，共41页。29对于(duy)第28页/共41页第二十九页，共41页。30对于(duy)所以(suy)：第29页/共41页第三十页，共41页。31所以(suy)：第30页/共41页第三十一页，共41页。32于是(ysh)得展开式为：例7 计算(j sun)解：由于(yuy)第31页/共41页第三十二页，共41页

9、。33所以(suy)：第32页/共41页第三十三页，共41页。34例8、将f(x)=x2+x3按勒让德多项式展开(zhn ki).解：显然，展开式具有(jyu)形式：所以(suy)：第33页/共41页第三十四页，共41页。35例9、求球域内的电位分布：在半径(bnjng)为1的球域内求调和函数u，使它在球面上满足：(四)、勒让德多项式的应用(yngyng)分析：根据边界条件的形式(xngsh)可以断定：u只与r,有关，即解具有轴对称性。解：定解问题为：第34页/共41页第三十五页，共41页。36分离(fnl)变量令：令：得：方程(fngchng)(2)是n阶勒让得方程(fngchng)。第35

10、页/共41页第三十六页，共41页。37令：由问题的物理(wl)意义，u(r，)必须在0，上有界，因此，n必须为整数。得：又另一个常微分方程(fngchng)(欧拉方程(fngchng)的通解为：要使u有界，必须(bx)Dn=0第36页/共41页第三十七页，共41页。38所以(suy)，一般解为：由边界条件得：即：第37页/共41页第三十八页，共41页。39得：所以(suy)，定解为：第38页/共41页第三十九页，共41页。40作业(zuy)P213习题(xt)8.2第1，2，3题P219习题(xt)8.3第2，4,5题第39页/共41页第四十页，共41页。41Thank You!第40页/共41页第四十一页，共41页。