详定积分与微积分.pptx

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1、1定积分的概念定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念定积分的定义和相关概念如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上连上连续，用分点续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间将区间a，b等分成等分成n个个小区间，在每个小区间小区间，在每个小区间xi1，xi上任上任取一点取一点i(i1,2，基础知识梳基础知识梳理理，n)，作和式，作和式 ，第1页/共47页当当n时，上述和式无限接近时，上述和式无限接近 ，这个，这个 叫做函数叫做函数f(x)在区间在区间a，b上上的定的定基础知识梳基础知识梳理理某个常数某个常数常数常数积分，记作积分，记作 ，即，即baf(x)dx 第2页/共47页基础知识梳

2、基础知识梳理理a与与ba，b函数函数f(x)x第3页/共47页基础知识梳基础知识梳理理第4页/共47页基础知识梳基础知识梳理理第5页/共47页基础知识梳基础知识梳理理第6页/共47页(3)定积分的基本性质定积分的基本性质kf(x)dx f1(x)f2(x)dx .f(x)dx 基础知识梳基础知识梳理理第7页/共47页基础知识梳基础知识梳理理你能从定积分的几何意义解释你能从定积分的几何意义解释性质性质吗？吗？【思考思考提示提示】如图所示，设在区如图所示，设在区间间a，b上恒有上恒有f(x)0，c是区间是区间(a，b)内的内的一点，那么从几何图形上看，直线一点，那么从几何图形上看，直线xc把把大的

3、曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形是两个小曲边梯形的面积的面积S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定积，用定积分表示就是性质分表示就是性质.第8页/共47页基础知识梳基础知识梳理理F(b)F(a)第9页/共47页答案答案：A三基能力强三基能力强化化第10页/共47页三基能力强三基能力强化化答案答案：B第11页/共47页三基能力强三基能力强化化答案答案：D第12页/共47页三基能力强三基能力强化化第13页/共47页答案答案：1三基能力强三基能力强化化第14页/共47页求函数求函数f(x)的定积分，关键

4、是的定积分，关键是求出函数求出函数f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)，即满足即满足F(x)f(x)正确运用求导正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的运算与求原函数运算互为逆运算的关系关系课堂互动讲课堂互动讲练练考点一考点一求已知函数的定积分求已知函数的定积分第15页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练例例例例1 1第16页/共47页【思路点拨思路点拨】(1)(2)先利用定先利用定积分的性质将被积函数化简再求积分的性质将被积函数化简再求(3)先化简，再求定积分先化简，再求定积分课堂互动讲课堂互动讲练练第17页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第18页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第1

5、9页/共47页【规律总结规律总结】计算简单定积分的步骤计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到分别用求导公式找到F(x)，使得，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求出各莱布尼兹公式求出各个定积分的值；个定积分的值；(5)计算所求定积分的值计算所求定积分的值课堂互动讲课堂互动讲练练第20页/共47页1分段函数的定积分分

6、段函数的定积分(1)分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定上的定积分可分成几段定积分的和的形式积分可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细分段的情况分，无需分得过细课堂互动讲课堂互动讲练练考点二考点二求分段函数的定积分求分段函数的定积分第21页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第22页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练例例例例2 2第23页/共47页【思路点拨思路点拨】(1)f(x)在在0,5上上的定积分，可按照的定积分，可按照f(x)的分段标准，的分段标准，

7、分成分成0,1，(1,4，(4,5三段的定积三段的定积分的和；分的和；课堂互动讲课堂互动讲练练第24页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第25页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第26页/共47页【名师点评名师点评】分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积上的定积分可分成几段定积分的和的形式分的和的形式.分段的标准只需依据分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可已知函数的分段标准即可课堂互动讲课堂互动讲练练第27页/共47页利用定积分求平面图形面积的利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函位置，确定积分区间

8、以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分再利用微积分基本定理求出积分值值课堂互动讲课堂互动讲练练考点三考点三定积分的几何意义定积分的几何意义第28页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练例例例例3 3利用定积分的性质和定义表示利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积下列曲线围成的平面区域的面积(2)yx2，xy2.【思路点拨思路点拨】先将区域面积表先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿牛顿莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算第29页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第30页/共47页(2

9、)曲线所围成的平面区域如图曲线所围成的平面区域如图(2)所示：所示：SA1A2.课堂互动讲课堂互动讲练练第31页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第32页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第33页/共47页利用定积分解决变速运动问题利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得再利用微积分基本定理计算即得所求所求课堂互动讲课堂互动讲练练考点四考点四定积分在物理中的应

10、用定积分在物理中的应用第34页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练例例例例4 4第35页/共47页【思路点拨思路点拨】从图上可以看出从图上可以看出物体在物体在0t1时做加速运动，时做加速运动，1t3时做匀速运动，时做匀速运动，3t6时也做加速运时也做加速运动，但加速度不同，也就是说动，但加速度不同，也就是说0t6时，时，v(t)为一个分段函数，故应分三为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积段求积分才能求出曲边梯形的面积课堂互动讲课堂互动讲练练第36页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第37页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第38页/共47页(本题满分本题满分10分分)物体物体A

11、以初速度为以初速度为2(速度速度v的单位：的单位：m/s)、加速度为、加速度为a(t)6t(t的单位：的单位：s)在一直线上运动在此直在一直线上运动在此直线上与物体线上与物体A出发的同时，物体出发的同时，物体B在物体在物体A的正前方的正前方5 m处以处以v10t1(t的单位：的单位：s，v的单位：的单位：m/s)的速度运动的速度运动(1)求物体求物体A的速度；的速度；(2)两物体何时相遇？相遇地与物体两物体何时相遇？相遇地与物体A的出发地的距离是多少？的出发地的距离是多少？课堂互动讲课堂互动讲练练高考检阅高考检阅第39页/共47页解解：(1)设物体设物体A在时刻在时刻t的速度为的速度为v(t)

12、，依题意有依题意有v(0)2，2分分课堂互动讲课堂互动讲练练第40页/共47页课堂互动讲课堂互动讲练练第41页/共47页规律方法总规律方法总结结第42页/共47页规律方法总规律方法总结结第43页/共47页2求定积分的常用技巧求定积分的常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再对被积函数，要先化简，再求积分求积分(2)求被积函数为分段函数的定求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分积分，依据定积分“对区间的可加性对区间的可加性”，分段积分再求和，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分函数，要先去掉绝对值号才能积分规律方法总规律方法总结结第44页/共47页随堂即时巩随堂即时巩固固点击进入点击进入第45页/共47页课时活页训课时活页训练练点击进入点击进入第46页/共47页