不等式的性质与基本不等式及应用.ppt

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1、新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习总复习总复习第六单元不等式及不等式选讲知识体系考纲解读1.不等关系不等关系.了了解解现现实实世世界界和和日日常常生生活活中中的的不不等等关关系系，了解不等式（组）的实际背景了解不等式（组）的实际背景.2.一元二次不等式一元二次不等式.(1)会会从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出一一元元二二次次不不等等式式模型模型.(2)通通过过函函数数图图象象了了解解一一元元二二次次不不等等式式与与相相应的二次函数、一元二次方程的联系应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会会解解一一元元二二次次不不等等式式，对对给给定定的的一一元元二二次

2、不等式，会设计求解的程序框图次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题二元一次不等式组与简单线性规划问题.(1)会会从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出二二元元一一次次不不等等式组式组.(2)了了解解二二元元一一次次不不等等式式的的几几何何意意义义，能能用平面区域表示二元一次不等式组用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会会从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出一一些些简简单单的的二二元线性规划问题，并能加以解决元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：基本不等式：(a、b0).(1)了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程.(2)会会用用基基本本不不等等

3、式式解解决决简简单单的的最最大大（小小）值问题值问题.5.理理解解绝绝对对值值的的几几何何意意义义，并并能能用用含含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)a+b|a|+|b|;(2)|a-b|a-c|+|c-b|.(3)会会利利用用绝绝对对值值的的几几何何意意义义求求解解以以下下类型的不等式：类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.6.了了解解下下列列柯柯西西不不等等式式的的几几种种不不同同形形式式，理解它们的几何意义，并会证明理解它们的几何意义，并会证明.(1)柯西不等式向量形式柯西不等式向量形式:|.(2)(a2+

4、b2)(c2+d2)(ac+bd)2.(3 +(通常称作三角不等式通常称作三角不等式).7.会会用用参参数数配配方方法法讨讨论论柯柯西西不不等等式式的的一一般般情况：情况：.8.会用向量递归方法讨论排序不等式会用向量递归方法讨论排序不等式.9.了了解解数数学学归归纳纳法法的的原原理理及及其其使使用用范范围围，会用数学归纳法证明一些简单问题会用数学归纳法证明一些简单问题.10.会用数学归纳法证明贝努利不等式：会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1+x)n1+nx(x-1,x0，n为为大大于于1的的正正整整数数),了了解解当当n为为大大于于1的的实实数数时时，贝贝努努利利不不等式也成立等式也成立.1

5、1.会会用用上上述述不不等等式式证证明明一一些些简简单单问问题题，能能够够利利用用均均值值不不等等式式、柯柯西西不不等等式式求求一一些些特特定函数的极值定函数的极值.12.了了解解证证明明不不等等式式的的基基本本方方法法：比比较较法法、综合法、分析法、反证法、放缩法综合法、分析法、反证法、放缩法.第第41讲讲不等式的性质与基本不等不等式的性质与基本不等式及应用式及应用1.了了解解现现实实世世界界与与日日常常生生活活中中的的不不等关系，了解不等式等关系，了解不等式(组组)的实际背景的实际背景.2.掌掌握握并并能能运运用用不不等等式式的的性性质质，掌掌握比较两个实数大小的一般步骤握比较两个实数大小

6、的一般步骤.3.掌掌握握基基本本不不等等式式，会会用用基基本本不不等等式解决简单的最大（小）值问题式解决简单的最大（小）值问题.1.(2009湖南卷湖南卷)若若x0,则则x+的最小值为的最小值为 .22.设设(0,),0,那那么么2-的的取取值值范围是范围是()DA.（0,）B.(-,)C.(0,)D.(-,)由题设得由题设得02,0 ,所以所以-0，所以，所以-2-0,bc-ad0,-0(其其中中a、b、c、d均均为为实实数数),用用其其中中两两个个不不等等式式作作为为条条件件,余余下下的的一一个个不不等等式式作作为为结结论论组组成成一个命题一个命题,可组成的正确命题的个数是可组成的正确命题

7、的个数是()DA.0 B.1 C.2 D.3 由由ab0,bc-ad0可得出可得出 -0,bc-ad0两边同除以两边同除以ab,得得 -0.同样由同样由 -0,ab0,可得可得bc-ad0.bc-ad0 bc-ad0 -0 0 由由ab0.故选故选D.4.设设a,b是是不不相相等等的的正正数数，则则下下列列关关系系中中，不恒成立的是（不恒成立的是（）CA.|a-b|a|+|b|B.a2+a+1aC.|a-b|+2D.-C选选项项|a-b|+2，当当a-b1，b1，若若 ax=by=3，a+b=2 ,则则 +的最大值为（的最大值为（）CA.2 B.C.1 D.由由ax+by=3，得，得x=log

8、a3，y=logb3,+=log3(ab)log3()2=1，故选，故选C.1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系实数的大小顺序与运算性质之间的关系ab ;ab ,ab,bc ;ab,bba+cb+c,故故a+bc (移移项项法则法则).推推论论:ab,cd (同同向向不不等等式式相相加加).a-b0a-b0a-b=0baacac-ba+cb+d(4)ab,c0 ;ab,cb0,cd0 .推论推论:ab0 .推论推论:ab0 .3.基本不等式基本不等式定理定理1:如果如果a、bR,那么那么a2+b2 (当当且仅当且仅当a=b时取时取“”号号).说明：说明：(1)指出定理适用范围：指出定理适用范

9、围：a、bR;(2)强调取强调取“”号的条件号的条件a=b.acbc12131411acbdanbnnn152ab定定理理2:如如果果a,b是是正正数数,那那么么 (当当且且仅当仅当a=b时取时取“”号号).说说 明明：(1)这这 个个 定定 理理 适适 用用 的的 范范 围围：a,bR+;(2)我们称我们称 为为a,b的算术平均数，称的算术平均数，称 为为a,b的的几几何何平平均均数数，即即两两个个正正数数的的算算术术平均数不小于他们的几何平均数平均数不小于他们的几何平均数.结论：若结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则则:如如果果P是是 值值，那那么么当当x=y时时，S的的值值最最

10、;如如果果S是是 值值,那那么么当当x=y时时,P的的值值最最 .求求最值的必要条件：一正、二定、三相等最值的必要条件：一正、二定、三相等.1617定定19小小18定定20大大题型一题型一 不等式性质的应用不等式性质的应用例例1 设设f(x)=ax2+bx,且且1f(-1)2，2f(1)4，求，求f(-2)的取值范围的取值范围.因为因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而而1a-b2,2a+b4.又又a+b与与a-b中中的的a,b不不是是独独立立的的，而而是是相相互互制制约约的的，因因此此，若若将将f(-2)用用a-b与与a+b表表示示，则问题得解则问题得解.(方法一方法一)设设f(-2)

11、=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数为待定系数)，则则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,m+n=4 m=3 m-n=2，n=1,所以所以f(-2)=3f(-1)+f(1).因为因为1f(-1)2,2f(1)，所以所以53f(-1)+f(1)0，故，故5f(-2)10.于是于是得得(方法二方法二)a-b=f(-1)a=f(1)+f(-1)a+b=f(1),b=f(1)-f(-1),所以所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).以下同方法一以下同方法一.由由得得 严严格格依依据据不不等等式式的的基基本本性性质质和和运运算算法法则则

12、，是是正正确确解解答答此此类类题题目目的的保保证证，若若先先将将参参数数a,b的的范范围围求求出出，而而后后再再求求f(-2)的的范范围围，这这样样操操作作是是错错误误的的，因因为为解解题题过过程程没没有有忠忠实实题题目目所所给给条条件件，即即变变形形不不等等价价，由由所所求求的的参参数数a,b的的范范围围并并不不能能得得到到已已知知条条件件所所给给的的f(-1)及及f(1)的的范范围围，这这样样，已已经经改改变变了了题题目目的的条条件件，当当然然，所所求求的的结结果果就就不不是是实实际际的的结结果果.因因此此，在在解解题题的的过过程程中中，务务必必尽尽可可能能保保持持变变形形的的等等价价性性

13、，以以免免发生错误发生错误.题型二题型二 利用作差法、作商法比较大小利用作差法、作商法比较大小例例2 (1)设设a0,b0且且ab,试试比比较较aabb与与abba的大小的大小.(2)已已知知函函数数f(x)=x2+ax+b，p+q=1,且且p、q都都是是正正数数，试试比比较较pf(x)+qf(y)与与f(px+qy)的大小的大小.(1)根根据据同同底底数数幂幂的的运运算算法法则则，可可考虑用比商法考虑用比商法.=aa-bbb-a=()a-b.当当ab0时，时，1,a-b0,则则()a-b1,于是于是aabbabba；当当ba0时，时，0 1,a-b1,于是于是aabbabba.综综上上所所述

14、述，对对于于不不相相等等的的正正数数a、b,都都有有aabbabba.(2)作差作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2=p(1-p)(x-y)2,所以，所以，当当x=y时，时，p(1-p)(x-y)2=0,得得pf(x)+qf(y)=f(px+qy);当当xy时，时，(x-y)20,所以所以pf(x)+qf(y)f(px+qy).综上所述，当综上所述，当x=y时，时，pf(x)+qf(y)=f(px+qy).当当xy时，时，pf(x)+qf

15、(y)f(px+qy).比较大小，常用作差（商）比较法比较大小，常用作差（商）比较法.题型三题型三 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值例例3 设设x0,y0，x2+=1，求，求x 的最大值的最大值.(方法一方法一)因为因为x0，y0，x2+=1,所以所以x =.当且仅当当且仅当x=,y=（即（即x2=）时）时,x 取得最大值取得最大值 .x=cos y=sin(0 ),则则x =cos =.当当2cos2=1+2sin2,即即=时时,x=,y=时时，x 取取得得最最大值大值 .(方法二方法二)令令 已已知知x、yR+且且2x+8y-xy=0，求求x+y的最小值的最小值.(方法一方法一)由

16、由2x+8y-xy=0得得y(x-8)=2x.又因为又因为x0,y0,所以所以x-80,所以所以y=,所以所以x+y=x+=x+=x+2+=x-8+10 2 +10=18,当当x-8=,即即x=12时，等号成立，故时，等号成立，故x+y的最小值是的最小值是18.(方法二方法二)因为因为x,yR+,由由2x+8y-xy=0得得 +=1.所以所以x+y=(x+y)(+)=10+10+2 =18.由由 =及及 +=1可得可得x=12,y=6,故当故当x=12,y=6时，时，x+y的最小值为的最小值为18.1.结结论论中中涉涉及及x,y两两个个变变量量，而而条条件件是是关关于于x,y的的一一个个等等量

17、量关关系系式式，通通过过挖挖掘掘条条件件可可采采用用转转化化思思想想将将“x+y”转转化化为为一一元函数的最值问题元函数的最值问题.2.“x+y”可可视视为为“(x+y)1”,而而 +=1,因因此此，可可采采用用整整体体思思想想将将 +=1整整体体代入求解代入求解.在在不不等等式式的的性性质质中中，要要特特别别注注意意下下面面三点：三点：1.不不等等式式的的传传递递性性：若若ab,bc,则则ac,这这是是放放缩缩法法的的依依据据.在在运运用用传传递递性性时时，要要注注意意不不等等式式的的方方向向，否否则则易易产产生生这这样样的的错错误误：为为证证明明ac,选选择择中中间间量量b,在在证证出出a

18、b,cb后后，就误认为能得到就误认为能得到ac.2.同同向向不不等等式式可可相相加加但但不不能能相相减减,即即由由ab,cd,可可以以得得出出a+cb+d,但但不不能能得得出出a-cb-d.3.不不等等式式两两边边同同时时乘乘以以一一个个数数或或式式时时，只只有有保保证证该该数数或或式式为为正正，才才能能得得到到同同向向的的不不等等式式，若若不不能能保保证证所所乘乘之之数数或或式式为为正正，则则不不等等式式两两边边同同时时乘乘以以该该数数或或式式后后不不能能确确定定不不等等式式的的方方向向；不不等等式式两两边边同同偶偶次次乘乘方方时时，也也要要特特别注意不等式的两边必须是正别注意不等式的两边必

19、须是正.在在基基本本不不等等式式的的应应用用中中，要要特特别别注注意意下下面结论：若面结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则：则：(1)如果如果P是定值是定值,那么当那么当x=y时时,S的值最小的值最小.(2)如如果果S是是定定值值，那那么么当当x=y时时，P的的值值最最大大.求求最最值值的的必必要要条条件件：一一正正、二二定定、三三相相等等.常常见见构构造造条条件件的的变变换换：加加项项变变换换，系系数数变变换换，平平方方变变换换，拆拆项项变变换换，常常量量代代换换，三角代换等三角代换等.(3)当当使使用用均均值值定定理理,等等号号不不能能成成立立，应应考考虑虑函函数数的的单单调调性性

20、（例例如如“对对号号”函函数数，导数法）导数法）.学例1 (2008广东卷广东卷)设设a、bR,若若a-|b|0,则下列不等式中正确的是（则下列不等式中正确的是（）DA.b-a0 B.a3+b30C.a2-b20 D.b+a0 (2009湖湖北北卷卷)围围建建一一个个面面积积为为360 m2的的矩矩形形场场地地，要要求求矩矩形形场场地地的的一一面面利利用用旧旧墙墙(利利用用的的旧旧墙墙需需维维修修)，其其它它三三面面围围墙墙要要新新建建.在在旧旧墙墙对对面面的的新新墙墙上上要要留留一一个个宽宽度度为为2m的的进进出出口口，如如图图所所示示.已已知知旧旧墙墙的的维维修修费费用用为为45元元/m，

21、新新墙墙的的造造价价为为180元元/m.设设利利用用的的旧旧墙墙长长度度为为x(单单位位：m)，修修建建此此矩矩形形场场地地围围墙墙的的总费用为总费用为y(单位：元单位：元).(1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)试试确确定定x，使使修修建建此此矩矩形形场场地地围围墙墙的的总费用最小，并求出最小总费用总费用最小，并求出最小总费用.学例2 (1)如图，设矩形的另一边长为如图，设矩形的另一边长为a m.则则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360,由已知由已知xa=360，得，得a=,所以所以y=225x+-360(x0).(2)因为因为x0，所以所以225x+2 =10800.所以所以y=225x+-36010440.当且仅当当且仅当225x=时，等号成立时，等号成立.即当即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是小总费用是10440元元.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来