2019高考数学三轮冲刺 专题 离散型随机变量及其分布练习（含解析）.doc

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1、1离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 若，且，则 (,)() = 6() = 3 = ()A. B. 3 C. D. 21 21 3（正确答案）A解：随机变量，且，(,) = 6 = 3，且，解得， = 6(1 ) = 3 = 12 =1 2故选：A根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于 n 和 p 的方程组，整体计算求解方程组得答案本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立 设 X 为该群体的

2、 10 位成.员中使用移动支付的人数，则 = 2.4( = 4) 1 2因为，可得，解得或舍去 = 2.410(1 ) = 2.4 = 0.6 = 0.4()故选：B利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差 () = ()A. 2 B. 1 C. D. 2 33 4（正确答案）C解：每一次红球被摸到

3、的概率 =1213=2 3由题意可得：，1，2， = 03.(3,23)则() = 3 2 3 (1 2 3) =2 3故选：C2每一次红球被摸到的概率由题意可得：，1，2，即可得出 =1213=2 3. = 03.(3,23).本小题主要考查二项分布列的性质及其数学期望等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球 每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取.到红球为止 若抽取的次数为 ，则表示“放回 5 个红球”事件的是 .()A. B. C. D. = 4 = 5 = 6 5（正确答案）C解：由题意知，袋中装有 10

4、个红球、5 个黑球，取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，所以“放回 5 个红球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取红球，即， = 6故选 C根据题意和无放回抽样的性质求出表示“放回 5 个红球”事件 的值本题考查了离散型随机变量的取值，以及无放回抽样的性质，是基础题5. 已知随机变量，若，则，分别是 + = 10(10,0.6)()()()A. 6 和 B. 4 和 C. 4 和 D. 6 和2.45.62.45.6（正确答案）C解：由题意，知随机变量 X 服从二项分布，(10,0.6) = 10 = 0.6则均值，方差，() = = 6() = = 2.4又， + = 10， = + 10， (

5、) = () + 10 = 6 + 10 = 4() = () = 2.4故选：C先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解(10,0.6)() = 6() = 2.4 + = 10 = + 10即可解题关键是若两个随机变量 Y，X 满足一次关系式b 为常数 ，当已知、时，则有 = + (,)()()，() = () + () = 2()6. 已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 = ()A. 3 B. C. D. 47 218 5（正确答案）B解：由题意知 的可能取值为 2，3，4，( = 2) =2 51 4=1 10，( = 3)

6、=2 53 41 3+3 52 41 3+3 52 41 3=3 10，( = 4) = 1 1 103 10=6 10 = 2 1 10+ 3 3 10+ 4 6 10=7 23故选：B由题意知 的可能取值为 2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用7. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头” 现有甲、乙.两人玩这个游戏，共玩 3 局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势 设甲赢乙的局数为 ，则随机变量.的数学期望是 ()A. B. C. D

7、. 11 34 92 3（正确答案）D解：由题意可得随机变量 的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为，平的概率为 ，输的概率为 ，3 3 3=1 31 31 3故，( = 0) = 03(1 1 3)3=8 27( = 1) = 13(1 1 3)2(1 3) =4 9，( = 2) = 23(1 1 3)(1 3)2=2 9( = 3) = 33(1 3)3=1 27故，故 E (3,13) = 3 1 3= 1故选 D的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为 ，进而可得，由二项分布的期望的求解可1 3(3,13)得答案本题考查离散型随机变量的期望的求解，得出是解决问题

8、的关键，属中档题(3,13)8. 设，随机变量 的分布列是0 1012P1 21 2 2则当 p 在内增大时， (0,1)()A. 减小 B. 增大()()C. 先减小后增大 D. 先增大后减小()()（正确答案）D解：设，随机变量 的分布列是0 1；() = 0 1 2+ 1 1 2+ 2 2= +1 2方差是() = (0 1 2)21 2+ (1 1 2)21 2+ (2 1 2)2 2= 2+ +1 44，= ( 1 2)2+1 2时，单调递增； (0,12)()时，单调递减； (12,1)()先增大后减小 ()故选：D求出随机变量 的分布列与方差，再讨论的单调情况()本题考查了离散型

9、随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题9. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为b，已(, (0,1)知他投篮一次得分的数学期望为 2，则的最小值为 2 +1 3()A. B. C. D. 432 328 316 3（正确答案）C解：由题意可得：，即，b，3 + 2 + 0 = 23 + 2 = 2. (0,1)，当且仅当时取等号2 +1 3=1 2(3 + 2)(2 +1 3) =1 2(20 3+4 + ) 1 2(20 3+ 24 ) =16 3 = 2 =1 2 故选：C由题意可得：，即，b，再利用“乘 1 法

10、”与基本不等式的性3 + 2 + 0 = 23 + 2 = 2. (0,1)质即可得出本题考查了数学期望计算公式、“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10. 口袋中有 5 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 0，1，2，3，4，从中任取 3 个球，以 表示取出球的最小号码，则 = ()A. B. C. D. 0.450.50.550.6（正确答案）B解：由题意可得，1，2 = 0则，( = 0) =112 435=6 10=3 5( = 1) =112 335=3 10( = 2) =135=1 10可得分布列为：0 1 2P3 53 101 10 ()

11、= 0 + 1 3 10+ 2 1 10=1 2故选：B5由题意可得，1， 可得，即可得出 = 02.( = 0) =112 435( = 1) =112 335( = 2) =135.本题考查了随机变量分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 设离散型随机变量 X 的分布列为X123P123则的充要条件是 = 2()A. B. C. D. 1= 22= 31= 31= 2= 3（正确答案）C解：由离散型随机变量 X 的分布列知：当时，解得， = 21+ 2+ 3= 1 1+ 22+ 33= 2?1= 3当时，1= 31+ 2+ 3= 21+ 2= 1 = 1+

12、22+ 33= 41+ 22= 2的充要条件是 = 21= 3故选：C当时，由离散型随机变量 X 的分布列的性质列出方程组得，当时， = 21= 31= 3能求出从而得到的充要条件是1+ 2+ 3= 21+ 2= 1 = 2. = 21= 3本题考查离散型随机变量的数学期望为 2 的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用12. 随机变量 X 的分布列如表所示，若，则 () =1 3(3 2) = ()X 1 01P1 6abA. 9 B. 7 C. 5 D. 3 （正确答案）C解：， () =1 3由随机变量 X 的分布列得：，解得，1 6+ + = 1

13、1 6+ =1 3? =1 3 =1 2 () = ( 1 1 3)21 6+ (0 1 3)21 3+ (1 1 3)21 2=5 9 (3 2) = 9() = 9 5 9= 5故选：C6由，利用随机变量 X 的分布列列出方程组，求出，由此能求出，再由() =1 3 =1 3 =1 2()，能求出结果(3 2) = 9()本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二0.0

14、2等品件数，则 _ =（正确答案）1.96解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中， = 0.02 = 100则 = = (1 ) = 100 0.02 0.98 = 1.96故答案为：1.96判断概率满足的类型，然后求解方差即可本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14. 随机变量 的取值为 0，1，2，若，则 _ ( = 0) =1 5() = 1() =（正确答案）2 5解析：设，则由已知得，( = 1) = ( = 2) = + =4 50 1 5+ 1 + 2 = 1解得， =3 5 =1 5所以() = (0 1)21

15、 5+ (1 1)23 5+ (2 1)21 5=2 5故答案为： 2 5结合方差的计算公式可知，应先求出，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公( = 1)( = 2)式不难求得本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式15. 射击比赛每人射 2 次，约定全部不中得 0 分，只中一弹得 10 分，中两弹得 15 分，某人每次射击的命中率均为 ，则他得分的数学期望是_分4 5.（正确答案）12.8解：射击的命中的得分为 X，X 的取值可能为 0，10，15，( = 0) = (1 4 5)(1 4 5) = 0.04，( = 10) = 124 5 (1 4 5) = 0.32，(

16、 = 15) =4 54 5= 0.64() = 0 0.04 + 10 0.32 + 15 0.64 = 12.87故答案为：12.8射击的命中得分为 X，X 的取值可能为 0，10，15，然后分别求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，同时考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题16. 随机变量 的分布列为： 来源:Z + xx + k.Com0123Px0.20.30.4随机变量 的方差 _ ()（正确答案）1解：由随机变量 的分布列的性质得：，解得， + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1 = 0.1， = 0 0.1 + 1

17、0.2 + 2 0.3 + 3 0.4 = 2 = (0 2)2 0.1 + (1 2)2 0.2 + (2 2)2 0.3 + (3 2)2 0.4 = 1故答案为：1由随机变量 的分布列的性质得求出，从而得，由此能求出 = 0.1 = 2本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分）17. 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额.外购买这种零件作为备件，每个 200 元 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 现需决策在.购买机器时应同时购买几个易损

18、零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数求 X 的分布列；(1)若要求，确定 n 的最小值；(2)( ) 0.5以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？(3) = 19 = 20（正确答案）解： 由已知得X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，()，( = 16) = (20 100)2=1 25，( = 17) =

19、20 10040 100 2 =4 258，( = 18) =(40 100)2+ 2 (20 100)2=6 25，( = 19) = 2 40 10020 100+ 2 (20 100)2=6 25，( = 20) = (20 100)2+ 2 40 10020 100=5 25，( = 21) = 2 (20 100)2=2 25，( = 22) = (20 100)2=1 25的分布列为： X 16 17 18 19 20 21 22P1 254 256 256 255 252 251 25 由 知：()()( 18) = ( = 16) + ( = 17) + ( = 18)=1 2

20、5+4 25+6 25=11 25( 19) = ( = 16) + ( = 17) + ( = 18) + ( = 19)=1 25+4 25+6 25+6 25=17 25中，n 的最小值为 19 ( ) 0.5 由 得：()()( 19) = ( = 16) + ( = 17) + ( = 18) + ( = 19)=1 25+4 25+6 25+6 25=17 25买 19 个所需费用期望：1= 200 19 17 25+ (200 19 + 500) 5 25+ (200 19 + 500 2) 2 25+ (200 19 + 500 3) 1 25=4040，买 20 个所需费用期

21、望：，2= 200 20 22 25+ (200 20 + 500) 2 25+ (200 20 + 2 500) 1 25= 4080， 1 2买 19 个更合适 由已知得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布()列 由 X 的分布列求出，由此能确定满足中 n 的最小值()( 18) =11 25( 19) =17 25.( ) 0.5 由 X 的分布列得求出买 19 个所需费用期望和买 20 个所需费用期望，由此能求()( 19) =17 25.12出买 19 个更合适9本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，

22、是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 单位：.(有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间，需求量为 300 瓶；如).20,25)果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温.数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35) 来源:学&科&

23、网Z&X&X&K35,40) 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率求六月份这种酸奶一天的需求量单位：瓶 的分布列；(1)()设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元 ，当六月份这种酸奶一天的进货量单位：瓶 为多少(2)()()时，Y 的数学期望达到最大值？（正确答案）解：由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，(1)，( = 200) =2 + 16 90= 0.2，( = 300) =36 90= 0.4，( = 500) =25 + 7 + 4 90= 0.4的分布列为： X 200 300 500P0.2 0.4 0.4 由题意知这种酸

24、奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，(2)只需考虑，200 500当时，300 500若最高气温不低于 25，则； = 6 4 = 2若最高气温位于区间，则；20,25) = 6 300 + 2( 300) 4 = 1200 2若最高气温低于 20，则， = 6 200 + 2( 200) 4 = 800 2， = 2 0.4 + (1200 2) 0.4 + (800 2) 0.2 = 640 0.4当时，200 300若最高气温不低于 20，则， = 6 4 = 2若最高气温低于 20，则， = 6 200 + 2( 200) 4 = 800 2 = 2 (0.4 + 0

25、.4) + (800 2) 0.2 = 160 + 1.2时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元 = 300本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列(1)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑，(2)200 500根据和分类讨论经，能得到当时，EY 最大值为 520 元300 500200 300

26、= 3001019. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 现安排甲组研发新产品 A，乙2 33 5.组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立 求至少有一种新产品研发成功的概率；() 若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万()元，求该企业可获利润的分布列和数学期望（正确答案）解： 设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件，则事()件 B 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 2 33 5则，() = (1 2 3) (1 3 5)

27、=1 32 5=2 15再根据对立事件的概率之间的公式可得，() = 1 () =13 15故至少有一种新产品研发成功的概率为13 15 由题可得设企业可获得利润为 X，则 X 的取值有 0，120，100，220，()由独立试验的概率计算公式可得，( = 0) = (1 2 3) (1 3 5) =2 15，( = 120) =2 3 (1 3 5) =4 15，( = 100) = (1 2 3) 3 5=1 5，( = 220) =2 33 5=2 5所以 X 的分布列如下： X0120 100 220() 2 154 151 52 5则数学期望() = 0 2 15+ 120 4 15+ 100 1 5+ 220 2 5= 140 利用对立事件的概率公式，计算即可，() 求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可()本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型