(新课标)2020版高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案文新人教.pdf

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1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 做真题 1(2019高考全国卷)已知错误!，2sin 2cos 21，则 sin（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选 B。由 2sin 2cos 21,得 4sin cos 12 sin21，即 2sin cos 1sin2.因为错误!，所以 cos 错误!，所以 2sin 错误!1sin2,解得 sin 错误!，故选 B.2(2019高考全国卷）ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c。已知asin Absin B4csin C,cos A错误!，则错误!（)A6 B5 C4 D3 解析：选 A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以

2、由余弦定理得，cos A错误!3c22bc错误!，得错误!6.故选 A。3(一题多解）（2018高考全国卷）已知 tan错误!错误!,则 tan _ 解析：法一:因为 tan错误!错误!,所以错误!错误!，即错误!错误!，解得 tan 错误!。法二：因为 tan错误!错误!，所以 tan tan错误!错误!错误!错误!。答案:错误!4（2019高考全国卷)ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知asin错误!bsin A。(1)求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围 解:（1)由题设及正弦定理得 sin Asin错误!sin Bsin A.因为 sin A0

3、，所以 sin错误!sin B。由ABC180，可得 sin错误!cos错误!，故 cos错误!2sin错误!cos错误!.因为 cos错误!0,故 sin错误!错误!，因此B60。(2）由题设及(1)知ABC的面积SABC错误!a。由正弦定理得a错误!错误!错误!错误!。由于ABC为锐角三角形，故 0A90，0C90。由（1）知AC120，所以 30C90，故错误!a2，从而错误!SABC错误!。因此，ABC面积的取值范围是错误!。明考情 1高考对此部分的考查一般以“二小或“一大”的命题形式出现 2若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般 3若以解答

4、题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第 17、18 题位置上，难度中等 三角恒等变换及求值(综合型)知识整合 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin()sin cos cos sin。(2)cos()cos cos sin sin。(3）tan（）错误!.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.（2）cos 2cos2sin22cos2112sin2。(3)tan 2错误!。典型例题 （1）若错误!错误!sin 2，则 sin 2（）A.13 B。错误!C错误!D错误!（2)若，错误!，sin 错误!，cos错误!错误!，则（）A。错误

5、!B.错误!C。错误!D.错误!【解析】(1）因为错误!错误!sin 2，所以错误!错误!sin 2，即 2（cos sin)错误!sin 2，两边平方得：4（1sin 2)3sin22，即 3sin224sin 240。解得:sin 22(舍去)或 sin 223。(2)由 sin 错误!，及错误!,得 cos 错误!，由 cos错误!sin 错误!，及）02,得 cos 错误!，所以 sin（)sin cos cos sin 错误!错误!错误!错误!错误!，又因为(错误!，错误!),所以错误!.【答案】（1）C（2)B 错误!三角函数恒等变换的“四大策略”（1）常值代换：特别是“1”的代换

6、，1sin2cos2tan 45等 (2）项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2（sin2cos2)cos2，(）等（3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次（4）弦、切互化：一般是切化弦 对点训练 1.错误!cos 154sin215cos 15(）A.错误!B。错误!C1 D。错误!解析：选 D。3cos 154sin215cos 15 错误!cos 152sin 152sin 15cos 15 错误!cos 152sin 15sin 30 错误!cos 15sin 152cos（1530)错误!。2已知 tan错误!错误!，则 cos2错误!(）A.错误!B。错误!C.

7、错误!D。错误!解析：选 B。tan错误!错误!错误!,解得 tan 错误!，故 cos2错误!错误!错误!错误!sin cos，其中 sin cos 错误!错误!错误!,故错误!sin cos 错误!.3（一题多解)（2019福州市质量检测)已知 sin错误!错误!，且错误!，则 cos错误!()A0 B。错误!C1 D。错误!解析：选 C.法一：由 sin6错误!,且错误!得,错误!，所以 cos错误!cos 01,故选 C。法二：由 sin错误!错误!，且错误!得，cos错误!错误!，所以 cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!sin错误!sin错误!1，故选 C。正弦定理与余

8、弦定理的应用（综合型)知识整合 正弦定理及其变形 在ABC中，错误!错误!错误!2R（R为ABC的外接圆半径）变形：a2Rsin A，sin A错误!,abcsin Asin Bsin C等 余弦定理及其变形 在ABC中，a2b2c22bccos A;变形:b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.三角形面积公式 SABC错误!absin C错误!bcsin A错误!acsin B。典型例题 (2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C。(1）求A；(2)若错误!ab2c，求 sin C.【解】

9、(1）由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得 cos A错误!错误!。因为 0A180，所以A60。（2)由（1）知B120C，由题设及正弦定理得错误!sin Asin(120C)2sin C，即错误!错误!cos C错误!sin C2sin C，可得 cos(C60）错误!.由于 0C120，所以 sin（C60)错误!，故 sin Csin（C6060)sin（C60)cos 60cos（C60)sin 60 错误!.错误!正、余弦定理的适用条件(1）“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已

10、知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 对点训练 1（2019济南市模拟考试）在ABC中，AC错误!，BC错误!,cos A错误!，则ABC的面积为()A。错误!B5 C10 D。错误!解析:选 A。由AC错误!，BC错误!，BC2AB2AC22ACABcos A，得AB24AB50，解得AB5，而 sin A1cos2A错误!，故SABC错误!5错误!错误!错误!.选A。2（2019贵阳市第一学期监测)已知锐角ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，若a1，2acos Cc2b,则角A_ 解析：由题意，2acos Cc2b,利用正弦定理，得 2sin Acos Cs

11、in C2sin B，(1)，将 sin Bsin（AC）sin Acos Ccos Asin C代入（1)式得 sin C2cos Asin C,又 sin C0，故 cos A错误!，所以A错误!。答案:3 3(2019洛阳市统考）如图，四边形ABCD中，AC 3BC,AB4,ABC3.(1）求ACB;（2)若ADC错误!，四边形ABCD的周长为 10，求四边形ABCD的面积 解：(1)设BCa,则AC 3a，由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC，得 3a242a224a错误!，所以a22a80，所以a2 或a4(舍去），所以AB2AC2BC2，所以ACB2.(2）因为四边形

12、ABCD的周长为 10,AB4,BC2，所以ADCD4。又AC2AD2DC22ADDCcosADC，即 12AD2DC2ADDC(ADDC)2ADDC，所以ADDC4.所以SADC错误!ADDCsin错误!错误!.所以S四边形ABCDSABCSADC2错误!错误!3错误!.与解三角形有关的交汇问题(交汇型)典型例题 已知函数f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x（xR）（1）求f（x）的最小正周期;(2)在ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c,若f（BAC)2,c5，cos B错误!，求中线AD的长【解】（1)f(x)cos 2x错误!sin 2x2sin错误!,所以最

13、小正周期T错误!，所以函数f（x)的最小正周期为.(2)由(1）知f（x)2sin错误!。因为f(BAC)2，所以 sin错误!1，所以 2BAC错误!错误!，所以BAC错误!，又 cos B错误!，所以 sin B错误!，所以 sin Csin（BACB）错误!错误!错误!错误!错误!。在ABC中，由正弦定理错误!错误!,得错误!错误!，所以a7,所以BD错误!.在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos B52错误!错误!2572错误!错误!。所以AD错误!。错误!（1）该题是解三角形与三角函数的综合型问题,三角函数在该题中的作用就是利用函数值给出三角形的内角BAC，此时的

14、条件类型就是两角一边，利用正、余弦定理求解即可（2)中线的求解，也可以利用向量法,显然错误!错误!(错误!错误!）,然后利用向量数量积运算即可求得结果(3）求解三角函数与解三角形的综合问题，关键是准确找出题中的条件,并在三角形中准确标出数据，如本题，根据已知将问题转化为三角形中相关数据的求解,然后根据条件的类型和所求建立相应的数学模型,最后利用正弦定理或余弦定理解决相应的问题即可 对点训练 1在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，若a,b,c成等比数列，且a2c2acbc，则错误!()A。错误!B.错误!C。错误!D。错误!解析：选 B。由a,b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2

15、b2bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc错误!错误!，故A错误!.对于b2ac,由正弦定理得，sin2Bsin Asin C错误!sin C，由正弦定理得，错误!错误!错误!错误!。故选 B。2在ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b,c，且 cos 错误!错误!，错误!错误!3，则ABC的面积为_ 解析：由错误!错误!3，得bccos A3,又 cos A2cos2错误!12错误!错误!1错误!,所以 sin A错误!，bc错误!3,所以bc5。由 sin A错误!及SABC错误!bcsin A，得SABC2。答案:2 一、选择题 1（2019重庆市学业质量调研）已知错误!s

16、in cos（2），则 tan 2(）A错误!B.错误!C错误!D.错误!解析：选 B。由错误!sin cos(2），得错误!sin cos,所以 tan 错误!,则 tan 2错误!错误!错误!，故选 B。2(2018高考全国卷)在ABC中,cosC2错误!,BC1，AC5，则AB（）A4错误!B。错误!C.错误!D2错误!解析：选 A。因为 cos 错误!错误!,所以 cos C2cos2错误!12错误!错误!1错误!.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C5212251错误!32,所以AB4错误!.故选 A。3(2019成都市第二次诊断性检测)若，都是锐角，

17、且 sin 错误!,sin（)错误!，则 sin(）A。错误!B。错误!C.错误!D.错误!解析：选 B.因为 sin 错误!，为锐角，所以 cos 错误!.因为,均为锐角，所以 0错误!，0错误!，所以错误!0,所以错误!错误!,又因为 sin(）错误!0，所以 0错误!,所以 cos（)错误!，所以 sin sin（）sin cos(）cos sin（）错误!错误!错误!错误!错误!错误!。4已知错误!，且 sin cos 错误!，则错误!()A.错误!B.错误!C。错误!D。错误!解析：选 D。由 sin cos 144，得 sin错误!错误!.因为错误!，所以 0错误!错误!，所以 c

18、os错误!错误!.故错误!错误!错误!错误!2cos错误!错误!.5已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b，c，若错误!错误!2a,则ABC是（)A等边三角形 B锐角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 解析：选 C。因为错误!错误!2a，所以由正弦定理可得，错误!错误!2sin A2错误!2,所以 sin A1,当错误!错误!时，“成立,所以A错误!,bc,所以ABC是等腰直角三角形 6已知ABC的三个内角A，B,C的对边分别为a，b，c,且错误!错误!2c2，sin A(1cos C）sin Bsin C，b6，AB边上的点M满足错误!2错误!，过点M的直线与射线CA,CB分别交于

19、P，Q两点，则MP2MQ2的最小值是（）A36 B37 C38 D39 解析:选 A。由正弦定理,知错误!错误!2c2，即 22sin2C，所以 sin C1，C错误!，所以 sin A(1cos C）sin Bsin C，即 sin Asin B，所以AB错误!。以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则M（2，4)，设MPC，错误!，则MP2MQ2错误!错误!（sin2cos2）错误!204tan2错误!36，当且仅当 tan 错误!时等号成立，即MP2MQ2的最小值为 36.二、填空题 7若 sin错误!错误!，则 cos错误!_ 解析：cos错误!cos错误!2sin2错误!12错

20、误!1错误!.答案：错误!8（一题多解)（2019高考全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若b6，a2c,B错误!，则ABC的面积为_ 解析：法一：因为a2c，b6，B错误!，所以由余弦定理b2a2c22accos B,得 62(2c)2c222cccos 错误!，得c2错误!，所以a4错误!，所以ABC的面积S错误!acsin B124错误!2错误!sin 错误!6错误!。法二：因为a2c，b6，B错误!，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 错误!，得c2错误!，所以a4错误!，所以a2b2c2，所以A错误!,所以ABC的面积S

21、错误!2错误!66错误!.答案:6错误!9.已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东 45和北偏东 30方向，若向东走 30 米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C,D分别在北偏西 15和北偏西 60方向，则帐篷C，D之间的距离为_米 解析：由题意可得DAB60，CAB45，CBA75，DBA30，在ABD中,DAB60，DBA30，AB30,所以ADB90,sinDABsin 60错误!，解得BD15 3.在ABC中,CAB45,CBA75，所以ACB60,错误!错误!,解得BC10错误!。在BCD中，CBDCBADBA45，则由余弦定理得 cosCBDcos 45错误!，即错误!

22、错误!，得CD5错误!。答案：5错误!三、解答题 10（2019合肥市第二次质量检测）在ABC中，角A,B，C的对边分别是a，b，c。已知bsin错误!csin B0。（1)求角C的值;(2）若a4，c2错误!，求ABC的面积 解：(1)因为bsin错误!csin B0,所以 sin B错误!sin Csin B0，因为B（0，)，所以 sin B0，所以错误!sin C错误!cos C0,所以 sin错误!0。因为C(0,），所以C错误!.（2）因为c2a2b22abcos C，a4，c2错误!,所以b24b120，因为b0，所以b2，所以ABC的面积S错误!absin C错误!42错误!2

23、错误!.11(2019郑州市第一次质量预测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足 sin Bb24S。(1)求 sin Asin C；（2）若 4cos Acos C3,b错误!，求ABC的周长 解:(1）由三角形的面积公式可得S错误!bcsin A，又 sin Bb24S，所以 2bcsin Asin Bb2，即 2csin Asin Bb，由正弦定理可得 2sin Csin Asin Bsin B，因为 sin B0，所以 sin Asin C错误!.（2）因为 4cos Acos C3，所以 cos Acos C错误!，所以 cos Acos Csi

24、n Asin C错误!错误!错误!，即 cos（AC)错误!，所以 cos B错误!，因为 0B,所以 sin B错误!，因为错误!错误!错误!错误!4。所以 sin Asin C错误!错误!，所以ac8。因为b2a2c22accos B(ac）22ac2accos B，所以（ac)2151227，所以ac3错误!，所以abc3错误!错误!。12（2019福州市质量检测）在 RtABC中，C90，点D，E分别在边AB,BC上，CD5，CE3,且EDC的面积为 3错误!.(1)求边DE的长；(2）若AD3，求 sin A的值 解：(1）如图，在ECD中，SECD错误!CECDsinDCE错误!3

25、5sinDCE36，所以 sinDCE错误!，因为 0DCE90,所以 cosDCE错误!错误!，所以DE2CE2CD22CECDcosDCE925235错误!28，所以DE27。（2)因为ACB90，所以 sinACDsin(90DCE）cosDCE错误!，在ADC中，错误!错误!，即错误!错误!，所以 sin A错误!。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This ar

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