(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题学案理新人.pdf

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1、第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 定点问题 1参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k）；（2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)0 之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点 高考真题 思维方法（2017高考全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!y21 上，过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足错误!2错误!。(1）求点P的轨迹方程;(2）设点Q在直线x3 上，且错误!错误!1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。（1）略（2)证明:由题意知F

2、（1，0）设Q(3，t),P（m，n），则错误!（3，t),错误!(1m，n)，关键 1：用参数表示P，Q的坐标及向量错误!，错误!错误!错误!33mtn，错误!（m,n)，PQ(3m，tn).由错误!错误!1 得3mm2tnn21，又由（1)知m2n22,故 33mtn0。所以错误!错误!0，关键 2：在错误!错误!1 的前提下,证明错误!错误!0 即错误!错误!。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.关键 3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性,即得直线l过点F 2.由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出

3、定点，再证明该定点与变量无关 高考真题 思维方法 (2017高考全国卷)已知椭圆C：x2a2y2b21（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3(1，错误!)，P4(1，错误!）中恰有三点在椭圆C上.（1)求C的方程；（2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1）略（2）证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2。如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且t1 时,0，于是l:y错误!xm，即y1错误!(x2)，所以l过定点(2，1）.关键 3:将km12代入直线l的方程，变形得到直线所过定点(2，1）典型

4、例题 （2019郑州市第一次质量预测)设M点为圆C:x2y24 上的动点，点M在x轴上的投影为N。动点P满足 2错误!错误!错误!，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E的左顶点为D，若直线l：ykxm与曲线E交于A，B两点（A，B不是左、右顶点），且满足|错误!错误!|错误!错误!,求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标【解】(1)设点M（x0，y0），P（x，y),由题意可知N（x0，0），因为 2PN错误!错误!，所以 2（x0 x,y)错误!(0，y0）,即x0 x，y0错误!y，又点M在圆C：x2y24 上，所以x错误!y错误!4,将x0 x，y0错误!y代入得错误!错误!

5、1，即轨迹E的方程为错误!错误!1。（2)由(1)可知D（2，0）,设A（x1，y1)，B(x2,y2），联立得错误!,得（34k2)x28mkx4（m23)0，（8mk）24(34k2)（4m212）16(12k23m29）0，即 34k2m20,所以x1x2错误!，x1x2错误!.y1y2（kx1m)(kx2m）k2x1x2mk(x1x2）m2错误!，因为错误!错误!|错误!错误!，所以错误!错误!，即错误!错误!0,即（x12，y1)（x22,y2）x1x22（x1x2）4y1y20，所以错误!2错误!4错误!0，所以 7m216mk4k20，解得m12k,m2错误!k，且均满足 34k

6、2m20，当m12k时，l的方程为ykx2kk（x2)，直线恒过点(2，0)，与已知矛盾；当m2错误!k时,l的方程为ykx错误!kk错误!，直线恒过点错误!。综上,直线l过定点,定点坐标为错误!。错误!(1）求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点（2）由直线方程确定定点时，若得到了直线的点斜式方程yy0k(xx0),则直线必过定点（x0，y0)；若得到了直线的斜截式方程yk

7、xm，则直线必过定点(0，m）对点训练（2019蓉城名校第一次联考)已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，过点F作倾斜角为 45的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|16.(1）求抛物线C的方程；(2）设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PMPN，若P点的横坐标为 8，判断直线MN是否过定点?若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由 解：（1)由题意知，直线AB的方程为yx错误!。由错误!，得y23py错误!0.设A（x3,y3），B（x4,y4)，则y3y43p.所以ABy3y4p4p16,所以p4.所以抛物线C的方程为x28y.(2）法一：由（1)可得点P（8，8），设M错误!,

8、N错误!,则kPM错误!错误!，同理可得kPN错误!。因为PMPN，所以kPM kPN错误!错误!1，化简得x1x28（x1x2）1280.（*)易知直线MN的斜率一定存在,设直线MN:ykxb，由错误!，得x28kx8b0，所以x1x28k,x1x28b。代入(），得8b64k1280，则b8k16。直线MN的方程可化为ykx8k16，所以直线MN过定点(8，16)法二:由(1)可得点P(8，8)，设M错误!,N错误!，则kMN错误!错误!，同理可得kPM错误!，kPN错误!.因为PMPN,所以kPMkPN错误!错误!1，化简得x1x28(x1x2）128.直线MN的方程为y错误!错误!(x

9、x1），化简得y错误!x错误!.把代入得y错误!(x8）16，所以直线MN过定点（8,16)定值问题 1直接消参求定值:常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示；(2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数 高考真题 思维方法(2015高考全国卷）已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。(1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2）若l过点错误!，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?

10、若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(1）证明:设直线l：ykxb(k0，b0），A(x1,y1），B（x2，y2)，M（xM，yM）关键 1：设出直线方程及直线与椭圆交点坐标 将ykxb代入 9x2y2m2，得（k29)x22kbxb2m20，关键 2:把直线方程与椭圆方程联立消元得一元二次方程 故xM错误!错误!，yMkxMb错误!。关键 3:利用根与系数的关系及中点在直线l上求M的坐标 于是直线OM的斜率kOM错误!错误!，即kOMk9.关键 4：求直线OM的斜率并计算两直线斜率乘积 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.（2）略 2。从特殊到一般求定值:常用处理技巧：（1）在运

11、算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢；(2）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 高考真题 思维方法（2016高考北京卷）已知椭圆C：错误!错误!1(ab0)的离心率为错误!，A(a，0)，B（0，b），O(0,0)，OAB的面积为 1。(1）求椭圆C的方程;(2）设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：AN|BM|为定值。（1）略(2）证明：由（1)知，A(2,0)，B(0，1）.设P（x0，y0)，则x错误!4y错误!4.当x00 时，直线PA的方程为y错误!（x2)。令x0,得yM错误!，从而

12、BM|1yM|1错误!.关键 1：设出P点坐标，对横坐标分类讨论，用P点坐标表示BM 直线PB的方程为y错误!x1。令y0，得xN错误!，从而AN2xN|2错误!.错误!所以|AN|BM|2错误!|1错误!|错误!错误!|4。关键 3：计算|AN|BM|并化简得出定值 当x00 时，y01，|BM2，AN2，所以|ANBM4。关键 4：讨论特殊情况,并计算|AN|BM|综上,AN|BM为定值。典型例题 (2019福建五校第二次联考)已知椭圆C:x2a2错误!1（ab0)的离心率为错误!，上顶点M到直线错误!xy40 的距离为 3。（1)求椭圆C的方程;（2)设直线l过点（4，2），且与椭圆C相

13、交于A,B两点,l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值【解】（1）由题意可得，错误!，解得错误!，所以椭圆C的方程为错误!错误!1。(2)证明：易知直线l的斜率恒小于 0，设直线l的方程为y2k（x4）,k0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点错误!，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率;若不能,说明理由.（1)略(2)四边形OAPB能为平行四边形。因为直线l过点错误!，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k0，

14、k3。由（1)得直线OM的方程为y错误!x.设点P的横坐标为xP.由错误!得x错误!错误!，即xP错误!.关键 1:写出OM的方程，与椭圆方程联立求出P点横坐标 将点错误!的坐标代入直线l的方程得b错误!，因此xM错误!.错误!四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP2xM，于是错误!2错误!，错误!解得k14错误!，k24错误!。因为k0，k3，所以当l的斜率为 4错误!或 4错误!时，四边形OAPB为平行四边形。典型例题 已知动圆C与圆x2y22x0 外切，与圆x2y22x240 内切（1）试求动圆圆心C的轨迹方程;(2）过定点P（0，2）且斜率为k（k0)的

15、直线l与(1）中轨迹交于不同的两点M，N，试判断在x轴上是否存在点A（m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在，求出实数m的范围;若不存在，请说明理由【解】(1)由x2y22x0 得(x1）2y21，由x2y22x240 得(x1)2y225，设动圆C的半径为R,两圆的圆心分别为F1（1，0)，F2(1，0）,则CF1|R1，|CF25R，所以CF1CF2|6，根据椭圆的定义可知，点C的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆,所以c1,a3，所以b2a2c2918，所以动圆圆心C的轨迹方程为错误!错误!1.(2)存在设直线l的方程为ykx2,设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN

16、的中点为E（x0,y0）假设存在点A(m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形,则AEMN，由错误!得（89k2）x236kx360,x1x2错误!，所以x0错误!，y0kx02错误!，因为AEMN，所以kAE错误!，即错误!错误!，所以m错误!错误!，当k0 时，9k错误!2错误!12错误!，所以错误!m0;当k0 时,9k错误!12错误!，所以 00)，其左、右焦点分别为F1(2，0），F2(2，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点,且AF1|，|F1F2，|AF2构成等差数列（1)求椭圆C的方程；(2）记GF1

17、D的面积为S1，OED（O为坐标原点)的面积为S2。试问：是否存在直线AB,使得S1S2？请说明理由 解：(1）因为|AF1|，|F1F2，|AF2|构成等差数列，所以 2aAF1AF22F1F28，所以a4.又c2，所以b212，所以椭圆C的方程为错误!错误!1。（2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直设AB的方程为yk（x2)（k0），将其代入x216错误!1，整理得（4k23）x216k2x16k2480,设A（x1，y1),B（x2,y2)，D(xD，0)，所以x1x216k234k2，所以点G的横坐标为错误!错误!，所以G错误!。因为DGAB，所以错误!k

18、1，解得xD错误!,即D错误!，因为 RtGDF1和 RtODE相似，所以若S1S2，则GDOD,所以错误!错误!，整理得 8k290.因为方程 8k290 无解，所以不存在直线AB，使得S1S2。1(2019安徽省考试试题）已知椭圆C：x2a2错误!1（ab0）的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2y2错误!相切于点M错误!。（1）求椭圆C的方程;（2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且错误!错误!0，求证:直线l过定点 解：(1）由已知得直线OM（O为坐标原点)的斜率kOM2，则直线PQ的斜率kPQ错误!错误!，所以直线PQ的方程为y错误!错误!错误!，即x2y2。可求得P

19、(0，1），Q（2，0），故a2，b1，故椭圆C的方程为错误!y21。（2)证明：当直线l的斜率不存在时,显然不满足条件 当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxn(n1），由错误!，消去y整理得（4k21)x28knx4（n21)0，（8kn)244（4k21）(n21)16（4k21n2)0，得 4k21n2。设A（x1,y1），B(x2，y2)，则x1x28kn4k21，x1x2错误!。由错误!错误!0,得（x1,y11）(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n,所以(k21）x1x2k（n1)(x1x2）（n1)20，由得n1（舍)，或n错误!，满足.此时l的方程为ykx错误!

20、，故直线l过定点错误!。2（2019南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C:错误!错误!1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为错误!，P是C上的一个动点，且F1PF2面积的最大值为 4错误!.（1）求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x2 于M，N两点,过点F1作以MN为直径的圆的切线,证明：切线长为定值，并求该定值 解:（1)设P（x0，y0)，椭圆的半焦距为c。因为SF1PF2错误!|F1F2|y0|错误!2cbbc,所以bc4错误!。又e错误!错误!，a2b2c2，所以a4,b2错误!，c2,所以C的方程为错误!错误!1。（2)由（1）可知A（

21、4，0）,B(4,0）,F1（2,0)由题可知，x02，且x04。设直线PA,PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为yk1（x4），令x2 得y6k1，故M（2，6k1)直线PB的方程为yk2(x4)，令x2 得y2k2，故N（2，2k2)记以MN为直径的圆为圆D,则D（2，3k1k2)如图，过点F1作圆D的一条切线,切点为T，连接F1D,DT，则F1T|2|F1D2|DT|2,所以|F1T|216（3k1k2）2(3k1k2)21612k1k2，又k1错误!，k2错误!,所以k1k2错误!错误!错误!，由错误!错误!1，得y错误!错误!(x错误!16），所以k1k2错误!，则F1T|

22、21612k1k21612错误!25,所以F1T|5.故切线长为定值5.3（2019广州市调研测试）已知动圆C过定点F(1，0）,且与定直线x1 相切（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）过点M（2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N（异于点M)，使得QNMPNM？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由 解:(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离,与到定直线x1 的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0）为焦点,x1 为准线的抛物线，其中p2。所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y24x.法二:设动圆圆心C（x

23、，y）,依题意得错误!x1|，化简得y24x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程(2）假设存在点N（x0，0）满足题设条件 由QNMPNM 可知,直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPNkQN0。易知直线PQ的斜率必存在且不为 0，设直线PQ：xmy2,由y24xxmy2，得y24my80。由(4m）2480，得m错误!或m错误!.设P(x1，y1)，Q（x2，y2），则y1y24m,y1y28.由得kPNkQN错误!错误!错误!0，所以y1(x2x0）y2(x1x0)0，即y1x2y2x1x0(y1y2）0.消去x1，x2，得错误!y1y错误!错误!y2y错误!x0（y1y2）0，即错误!y1y2

24、(y1y2)x0(y1y2)0。因为y1y20，所以x014y1y22,所以存在点N（2，0)，使得QNMPNM.4（2019福州市质量检测）已知抛物线C1:x22py(p0）和圆C2:（x1)2y22，倾斜角为 45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1）求p的值；(2）动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设错误!错误!错误!,求证:点N在定直线上，并求该定直线的方程 解:(1）依题意，设直线l1的方程为yx错误!，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1，0)到直线l1:yx错误!的距离d错误!错误!，即错误!错误!，解得p6 或p2（舍去）

25、所以p6.（2）法一:依题意设M（m，3），由（1）知抛物线C1的方程为x212y，所以y错误!，所以y错误!，设A(x1,y1），则以A为切点的切线l2的斜率为k错误!，所以切线l2的方程为y错误!x1(xx1）y1。令x0，则y错误!x错误!y1错误!12y1y1y1，即B点的坐标为（0，y1)，所以错误!(x1m,y13),错误!(m，y13),所以错误!错误!错误!(x12m,6）,所以错误!错误!错误!(x1m,3)，设N点坐标为（x，y），则y3，所以点N在定直线y3 上 法二：设M（m,3）,由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设l2的斜率为k，A错误!，则以A为切点的切线l

26、2的方程为yk(xx1)错误!x错误!，联立得，x212k（xx1)错误!x错误!，因为144k248kx14x2，10,所以k错误!，所以切线l2的方程为y错误!x1(xx1)错误!x错误!，令x0，得B点坐标为(0，错误!x错误!)，所以错误!错误!,错误!错误!,所以错误!错误!错误!（x12m，6)，所以错误!错误!错误!（x1m,3），所以点N在定直线y3 上 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往

27、后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.