(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题学案理新人教.pdf

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1、第 3 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 最值问题 函数最值法:当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有(1）配方法；(2）基本不等式法；（3)判别式法；(4）单调性法；（5)三角换元法；（6）导数法等 高考真题 思维方法【基本不等式法】（2014高考课标全国卷）已知点A(0，2），椭圆E：错误!错误!1（ab0）的离心率为错误!,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为错误!，O为坐标原点.（1）求E的方程；(2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程。（1）略(2）当lx轴时不合题意，关键1：研

2、究直线l与x轴垂直的情况 故可设l：ykx2，P(x1，y1），Q(x2,y2)，将ykx2 代入错误!y21 得(14k2）x216kx120。当16（4k23）0,即k2错误!时，x1，2错误!，关键 2:设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求 错误!从而|PQ错误!x1x2|错误!.又点O到直线PQ的距离d错误!，所以OPQ的面积SOPQ错误!d|PQ|错误!。错误!设 4k23t，则t0，SOPQ错误!错误!。因为t错误!4，当且仅当t2，即k错误!时等号成立，且满足0，关键 4:换元，利用基本不等式求最值 所以,当OPQ的面积最大时，k错误!，l的方程为y错误!x2 或

3、y错误!x2。【利 用 函 数 的 单 调 性 求 最 值】(2019高考全国卷)已知点A（2，0)，B(2，0）,动点M（x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为错误!。记M的轨迹为曲线C.（1)求C的方程，并说明C是什么曲线;（1)略(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx（k0）。由错误!得x错误!.记u错误!，则P(u，uk），Q（u，uk），E(u，0）关键 1:巧换元，妙设点P、Q、E的坐标 于是直线QG的斜率为错误!，方程为y错误!(xu）.错误!由错误!得(2k2）x22uk2xk2u280。设G（xG，yG)，则u和xG是方程*的解，故xG错误!，由此得yG错误!.错

4、误!(2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G。证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.从而直线PG的斜率为错误!错误!.错误!所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得PQ2u1k2，|PG错误!，关键 5：利用弦长公式求出PQ、PG的表达式 所以PQG的面积S错误!|PQPG|错误!错误!。关键 6：将PQG的面积表示成关于k的函数 设tk错误!，则由k0 得t2,当且仅当k1 时取等号因为S错误!在2，）单调递减，所以当t2，即k1 时，S取得最大值，最大值为错误!。因此,PQG面积的最大值为169。典型例题 (2019安徽

5、宣城二模)已知椭圆C的方程为错误!错误!1,A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于1 的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D.(1）证明：直线BD的斜率为定值；（2）求ABD面积的最大值 【解】(1)证明：设D(x1,y1),B(x2,y2）,则A（x1，y1)，直线BD的斜率k错误!，由错误!两式相减得错误!错误!错误!，因为kAB错误!1,所以k错误!错误!,故直线BD的斜率为定值错误!。（2）连接OB，因为A，D关于原点对称，所以SABD2SOBD,由（1）可知BD的斜率k错误!，设BD的方程为y错误!xt,因为D在第三象限，所以错误!t1 且t0,O到BD的距

6、离d错误!错误!，由错误!整理得 3x24tx4t280，所以x1x2错误!，x1x2错误!，所以SABD2SOBD2错误!|BD|d 错误!错误!错误!|t错误!t错误!错误!错误!2错误!。所以当且仅当t错误!时，SABD取得最大值 2错误!.最值问题的 2 种基本解法 几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法 建立求解目标关于某个(或两个）变量的函数，通过求解函数的最值解决（普通方法、基本不等式方法、导数方法等)对点训练（2019广州市综合检测（一）)已知椭圆C的中心

7、在原点，焦点在坐标轴上，直线y32x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且错误!错误!错误!.(1）求椭圆C的方程；(2）若直线l过点(1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求F2PQ的内切圆面积的最大值 解:(1)设椭圆C的方程为错误!错误!1(ab0),因为点M在直线y错误!x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2（c，0)，所以点M错误!.因为错误!错误!错误!错误!错误!，所以c1.所以错误!解得错误!，所以椭圆C的方程为错误!错误!1。（2）由(1）知，F1(1，0)，过点F1（1,0）的直线与椭圆C交于P,Q

8、两点,则F2PQ的周长为 4a8，又SF2PQ错误!4ar(r为F2PQ的内切圆半径)，所以当F2PQ的面积最大时,其内切圆面积最大 设直线l的方程为xky1，P(x1，y1）,Q（x2，y2)联立错误!，消去x得（43k2）y26ky90,所以错误!，所以S错误!错误!|F1F2|y1y2|错误!。令k21t,则t1，所以S错误!错误!，令f（t)3t错误!，则f（t)3错误!，当t1，)时，f(t)0，f(t）3t错误!在1，)上单调递增，所以S错误!错误!3，当t1 时取等号，即当k0 时，F2PQ的面积取得最大值 3，结合S错误!错误!4ar，得r的最大值为错误!，所以F2PQ的内切圆

9、面积的最大值为错误!.范围问题 1几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决 高考真题 思维方法（2018高考浙江卷）如图,已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C:y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上。（1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2）若P是半椭圆x2y241（x(1）略(2)由（1)可知错误!所以PM|错误!（y错误!y错误!）x0错误!y错误!3x0，y1y2|2错误!.因此,PAB的面积SPAB错误!|PMy1y2|错误!(y错误!4x0）错误!.关键 1：利用根与系数的关系，

10、用P点坐标表示PAB的面积 因为x错误!错误!1（1x00，得kb0,因为|CD错误!|x1x2a错误!，点O到直线CD的距离d错误!，所以S1错误!a错误!错误!错误!ab。又S2错误!(y1y2）|x1x2|错误!错误!a错误!，所以S1S2错误!，因为 0kb错误!，所以 0错误!错误!。证明问题 代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等证明时,常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明 高考真题 思维方法(2018高考全国卷)设椭圆C:x22y21 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).(1）

11、当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;（2)设O为坐标原点,证明：OMAOMB.(1)略（2）证明:当l与x轴重合时，OMAOMB0.关键 1:分类讨论（l与x轴重合),证明OMAOMB 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB。关键2：分类讨论（l与x轴垂直)，证明OMAOMB 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk（x1）(k0)，A（x1，y1），B（x2，y2），关键 3:设出直线方程及直线与椭圆交点的坐标 则x1 2,x20，即2tb0)的离心率为错误!，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy错误!0 相切（1)求椭圆C的方程；（2）如

12、图，过定点P(2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证:PFMPFB.解:(1）依题意可设圆O的方程为x2y2b2，因为圆O与直线xy 20 相切，所以b错误!1，所以a2c21，又错误!错误!,所以a错误!，所以椭圆C的方程为x22y21.（2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为yk（x2）由错误!得(12k2）x28k2x8k220，因为l与椭圆有两个交点，所以0,即 2k210)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2的周长为 42 3，且面积的最大值为3。（1)求椭圆C的方程；（2）设B是椭圆上一动点，线段AB的

13、中点为P，OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2，且k1k2错误!，求OP|的取值范围 解：（1）由椭圆的定义及AF1F2的周长为 42 3，可得 2(ac）42错误!，所以ac2错误!.当A在上(或下)顶点时,AF1F2的面积取得最大值，即bc错误!,由及a2c2b2，得a2，b1，c错误!，所以椭圆C的方程为错误!y21。（2）当直线AB的斜率不存在时，k1k2,因为k1k2错误!,所以k1错误!，不妨取k1错误!，则直线OA的方程为y错误!x,不妨取点A错误!，则B错误!，P（错误!，0）,所以|OP|错误!。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm,A（x1，y1)

14、，B(x2，y2）,由错误!可得（14k2)x28kmx4m240，64k2m24（4k21)(4m24）16(4k21m2）0，所以x1x2错误!，x1x2错误!.因为k1k2错误!，所以 4y1y2x1x20，所以 4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km（x1x2)4m24m24错误!4m20,化简得 2m214k2（满足式)，所以m2错误!.设P(x0,y0），则x0错误!错误!错误!，y0kx0m错误!.所以|OP|2x错误!y错误!错误!错误!2错误!错误!,所以OP|错误!.综上,OP的取值范围为错误!.3(2019长春模拟）已知椭圆D：错误!错误!1（ab0

15、)的离心率为e错误!，点(错误!，1）在椭圆D上（1）求椭圆D的方程；（2）过椭圆D内一点P（0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点,设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2,若对任意k，存在实数，使得k1k2k,求实数的取值范围 解：（1）椭圆D的离心率e错误!错误!，所以a错误!b，又点(错误!，1）在椭圆D上，所以错误!错误!1,得a2，b错误!，所以椭圆D的方程为错误!错误!1。(2)由题意得，直线l的方程为ykxt。由错误!，消元可得(2k21）x24ktx2t240。设M（x1，y1)，N（x2，y2),则x1x2错误!，x1x2错误!，k1k2错误!错

16、误!错误!错误!2k错误!2kt错误!错误!错误!。由k1k2k，得错误!k,因为此等式对任意的k都成立,所以错误!，即t22错误!.因为点P(0，t)在椭圆内，所以 0t22，即 02错误!2，解得2.所以实数的取值范围是2，）4（2019重庆七校联考)椭圆C：错误!错误!1(ab0）的离心率为错误!，其左焦点到点P(2，1)的距离为错误!。不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分(1）求椭圆C的方程;(2)求ABP的面积取最大值时，直线l的方程 解：（1）依题意知,eca12，左焦点(c，0）到点P(2，1)的距离d0错误!错误!,得a24，c21，所以b23

17、,故椭圆C的方程为错误!错误!1。（2）易得直线OP的方程为y错误!x，设A（x1，y1),B(x2,y2)，AB的中点R(x0，y0）（y00）,其中y0错误!x0.因为A，B在椭圆C上，所以错误!错误!1,错误!错误!1，两式相减得错误!错误!错误!错误!0，即错误!错误!0，故kAB错误!错误!错误!错误!.由题意可设直线l的方程为y错误!xm(m0），代入错误!错误!1 中,消去y并整理得 3x23mxm230，由（3m）243（m23)3(12m2）0，得2错误!m2错误!且m0.由根与系数的关系,得x1x2m，x1x2错误!，所以AB|错误!x1x2 错误!错误!错误!错误!.又点

18、P(2，1)到直线l的距离d错误!错误!，所以ABP的面积SABP错误!|ABd错误!错误!,其中2错误!m2错误!且m0.令f（m）(4m）2(12m2）（2错误!m2错误!且m0)，则f（m）4（m4)(m22m6）4（m4）(m1 7）(m1错误!）,令f（m)0，得m1 7（4 和 1错误!不满足2错误!m2错误!且m0，舍去)，当m(2错误!，1错误!)时，f(m）0，当m（1错误!，2错误!)且m0 时，f(m）0,所以当m1 7时，SABP取得最大值,此时直线l的方程为 3x2y2 720。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对

19、，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.