2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1已知集合21,R,|Ax xxBx xa，若AB，则实数a的取值范围是（）A,1 B1,C,1 D1,【答案】C【分析】根据AB列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】依题意1,1A，|Bx xa，由于AB，所以1a，即a的取值范围是,1.故选：C 2已知角的终边经过点2,3，则sin（）A3 1313 B2 1313 C2 1313 D3 1313【答案】A【分析】由任意角的三角函数的定义即可得出答案.【详解】因为角的终边经过点2,3，所以 2233 13sin1323 .故选：A.3

2、下列运算正确的是（）Alg2 lg502 B11552log 10log 0.252 C4253 31log 3 log5 log 82 D3+2 2log212 【答案】C【分析】结合基本不等式、对数运算、对数函数的性质等知识求得正确答案.【详解】22lg2lg50lg100lg2 lg50122，A 选项错误.1511111555552log 10log 0.25log 100log 0.25log 25log 10，B 选项错误.第 2 页 共 18 页 32242544353 35321log 3 log5 log 8log 3 log 5 log 8log 3log 5log 832

3、 234211131log 8log233322，C 选项正确.23+2 22 12121log21log21 212 11log212，D 选项错误.故选：C 4在平面直角坐标系中，点tan2022,sin2022P位于第（）象限 A一 B二 C三 D四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出 P点坐标的符号就可判断出 P 点所在的象限.【详解】tan 2022tan 5 360222tan 2220，sin 2022sin 5 360222sin 2220，tan 2022,sin 2022P 在第四象限；故选：D.5设函数 f x的定义域为1,3，则函数 1ln 1fxg xx的定义域为（）

4、A2,1 B 2,00,1 C0,1 D,00,1【答案】B【分析】要使 g x有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为 0、分母不为 0 可得到答案.【详解】要使 1ln 1fxg xx有意义，只需1 131011xxx ，即2210 xxx，解得20 x 或01x，则函数 g x的定义域为 2,00,1.故选：B.6已知函数 yf x的图象如图所示，则此函数可能是（）第 3 页 共 18 页 A cos22xxxfx B cos22xxxf x C sin22xxxf x D sin22xxxf x【答案】A【分析】由图象可得 yf x为奇函数，故排除 C，D，再结合图象求得0 x 时，

5、函数的第一个零点为2x，根据322x时，函数的正负和题干图象即可得答案.【详解】解：由图象可得 yf x为奇函数，对于 C，sin22xxxf x，所以sin(-)sin()2222xxxxxxfxf x为偶函数，故排除；对于 D，sin22xxxf x，所以sin(-)sin()2222xxxxxxfxf x为偶函数，故排除；对于 A，因为 cos22xxxfx，所以cos(-)cos()2222xxxxxxfxf x ，为奇函数；对于 B，因为 cos22xxxf x，所以cos(-)cos()2222xxxxxxfxf x ，为奇函数；因为当0 x 时，22xx，即220 xx，当2x

6、时，coscos02x，所以当0 x 时，函数的第一个零点为2x，当322x时,cos0 x,所以()0f x，而此时函数()f x的图象位于x轴下方，故 A 选项的解析式符合.故选：A.7已知函数 2f xx x，当2,2x 时，83f axfx，则实数a的取值范围是（）A,128,B12,8 C,04,D0,4【答案】D 第 4 页 共 18 页【分析】由解析式确定函数的奇偶性与单调性，并对函数式变形，然后利用性质化简不等式，转化为求函数的最值，从而得参数范围【详解】首先22()()fxxxx x()f x，()f x为偶函数，0 x 时，3()f xx是增函数，22(2)(2)288()

7、fxxxx xf x，因此不等式83f axfx先化为()(62)f axfx，()f x是偶函数，则有()(62)f axfx，又0 x 时，3()f xx是增函数，因此62axx，2,2x，620 x，因此有62axx，2662xaxx，366xax，所以366xax对 2,2x 恒成立，360 x（2x 时取等号），64x（2x 时等号成立），所以04a 故选：D 8已知ln1a a，若1,ln5,e log 2aaxayaz，其中e为自然对数的底数，则（）Ayxz Byzx Czyx Dxyz【答案】B【分析】先判断出a的取值范围，然后结合差比较法、放缩法判断出,x y z的大小关系.

8、【详解】依题意，ln1a a，则1a，1lnaa，画出1ln,0yx yxx的图象如下图所示，由图可知，两个函数有1个交点，构造函数 1lnf xxx，则 f x在0,上递增，11110,2ln2lne022ff ，所以存在 1,2,0af a，即a的取值范围是1,2.lnln1,eaaa aaa，所以1eaaxaaaa，而21lneln5lne2e，第 5 页 共 18 页 所以eln5eln50,xyaaaxy .由于ee log 2elog 2eloglog 2aaaaaxzaaa elog elog 20aa，所以xz，由于1e2.52222224 232255，所以e1ln5ln5l

9、og 5log 2elog 2lnaaayaza 所以yzx.故选：B 【点睛】比较代数式的大小的方法有：利用函数的单调性比较大小，这种方法要求掌握基本初等函数的性质；利用差比较法比较大小或利用商比较法比较大小，这种方法先作差后，判断得到的式子的符号，从而确定大小关系.二、多选题 9中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译代数学中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合 M=1，1，2，4，N=1，2，4，16，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断

10、，其中能构成从 M 到 N的函数的是（）A2yx B2yx C2xy D2logyx 第 6 页 共 18 页【答案】BC【分析】根据选项中的解析式依次判断即可.【详解】对选项 A，当4x 时，8yN，故 A 错误；对选项 B，任意xM都有2yxN，故 B 正确.对选项 C，任意xM都有2xyN，故 C 正确.对选项 D，当1x 时，0yN，故 D 错误；故选：BC 10设0a，0b，且ab，则“2ab”的一个必要条件可以是（）A332ab B222ab C1ab D112ab【答案】AB【分析】题中为必要条件，则2ab能推出选项，逐一判断【详解】对于 A，若2ab，则 22233223324

11、abababaabbababababab成立；对于 B，若2ab，则22222abab，成立；对于 C，22abab，无法判断出1ab；对于 D，2112abab，且114abab，因为2ab，所以不能得出11ab与 2 的大小关系.故选：AB 11已知x的值使下列各式分母均不为零，则其中值总相等的式子有（）Asin1 cosxx B1 cossin1 cossinxxxx Ccossin1sincos1xxxx D1 cossin1 cossinxxxx【答案】ACD【分析】利用特殊值排除错误选项，结合同角三角函数的基本关系式证明相等的式子.【详解】令3x，第 7 页 共 18 页 A 选项

12、，3sin32311 cos132，B 选项，131 cossin133364 332 3332633333331cossin332，C 选项，33cossin133312 333232313131sincos1332，D 选项，331cossin33312 3332321331311 cossin332，所以 B 选项排除.由题意可得1 cos0 x，则cos1x；若sin0,x 则cos1x ，则1 cossin0 xx与题意不符，故sin0,x 由22sin1 cos1 cos1 cosxxxx，得sin1cos1cossinxxxx，令sin1cos1 cossinxxkxx，依题意可

13、知1k ，则1 sincossin11cossinsinsinsinsincos1sincos11 coscos11 1 cos1 coskxxxxxkxxxxxxxkxxkxx，1 sin1 cossinsinsinsin1 cossin1 cos1 cos1 1 cos1 coskxxxkxxxxxxkxkxx，所以 ACD 选项的值总相等.故选：ACD 12下列关于函数图象的对称性描述正确的有（）A若222fxfx，则函数 f x的图象关于直线=1x对称 B若2223fxfx，则函数 f x的图象关于点31,2对称 C函数22yfx与2yfx的图象关于直线1x 对称 D函数322yfx

14、与2yfx的图象关于点1 3,2 2对称【答案】ABD【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.第 8 页 共 18 页【详解】A 选项，由222fxfx，以x替换2x得2f xfx，以1x替换x得1 21f xfx，即11fxfx ，所以函数 f x的图象关于直线=1x对称，A 选项正确.B 选项，由2223fxfx，以x替换2x得23f xfx，以1x替换x得1 213f xfx，即113fxfx ，所以函数 f x的图象关于点31,2对称，B 选项正确.C 选项，对于函数22yfx，以2x替换x得2 2222yfxfx，所以函数22yfx与22yfx的图象关于直线1x 对称，C

15、 选项错误.D 选项，对于函数322yfx，以1 x替换x，以3y替换y得：332 12yfx，即332,2yfxyfx，所以函数322yfx 与2yfx的图象关于点1 3,2 2对称，D 选项正确.故选：ABD 三、填空题 13已知扇形的圆心角为6,面积为3,则扇形的半径是_【答案】2【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解.【详解】设扇形的圆心角为,半径为r,扇形的面积公式为：2221142232 6Srrrr.故答案为：2【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力.14已知函数 f x满足以下三个条件 21f，在定义域0,上是减函数，f x yf xfy，请写出一个同时符合

16、上述三个条件的函数 f x的解析式_.【答案】12()logf xx（答案不唯一）【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可.第 9 页 共 18 页【详解】由()()()f x yf xf y可考虑对数函数()logaf xx，又因为()f x在定义域(0,)上是减函数，所以()logaf xx的底数(0,1)a，又因为(2)1f，所以12a，所以12()logf xx.故答案为：12()logf xx（答案不唯一）.15已知函数2log421xxyaa 的值域为R.则实数a的取值范围是_.【答案】1a 或2(21)a 【分析】根据题意可得()421xxg xaa 能取到所有的

17、正数，采用换元法令2,0 xtt，则可得2()1,0h ttata t 能取到所有的正数，讨论 a的取值，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】若使得函数2log421xxyaa 的值域为 R，令()421xxg xaa，则()421xxg xaa 能取到所有的正数，令2,0 xtt，令2()1,0h ttata t，则2()1,0h ttata t 能取到所有的正数，当02a，即0a 时，()h t在0t 时递增，故需满足(0)0h，即10,1aa，当02a，即a0时，需满足()02ah，即2()()1022aaaa，解得2(21)a 综合以上可得实数 a 的取值范围是1a 或2(21)a

18、，故答案为：1a 或2(21)a 16关于x的不等式22(21)111xxx 的解集为_.【答案】1,)【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解.【详解】因为不等式22(21)111xxx 可化为：不等式22(21)111xxx ，两边同时平方可得：2222(21)1(1)2(1)11xxxxx ，整理可得：第 10 页 共 18 页 2(1)(1)1x xxx，也即2101xxx，解得：1x，所以原不等式的解集为1,)，故答案为：1,).四、解答题 17已知集合2211,2201xAxBxxmxmx.(1)当1m 时，求AB；(2)已知ABB，求实数m的取值范围.

19、【答案】(1)21x (2)2,4 【分析】（1）计算21Ax ，112Bxx，再计算并集得到答案.（2）ABB，故BA，考虑B 和B 两种情况，计算得到答案.【详解】（1）当1m 时，2121012Bxxxxx，212102111xxAxxxxx ，故21ABx （2）ABB，故BA，2220120Bxxmxmx xxm，对应方程的根为1和2m，当B 时，12m，2m ；当B 时，12m且22m，解得24m.综上所述：24m 18已知函数 sin cos f xxx，且04x.(1)若 14f x，求coscos2xx的值；第 11 页 共 18 页(2)若函数 g x满足 tangxf x

20、，求14g的值.【答案】(1)22(2)417 【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解；(2)利用同角三角函数的基本关系求解.【详解】（1）sin cos sin(cos)sincosf xxxxxxx ，因为 14f x，所以1sincos4xx，coscoscossin2xxxx，因为2221cossincossin2sincos2xxxxxx，又因为04x，所以cossinxx，所以2cossin2xx，所以2coscoscossin22xxxx.（2）令01tan4x，则00sin1cos4xx，又因为2200sincos1xx，由002200sin1cos4sinco

21、s1xxxx，解得0017sin174 17cos17xx或0017sin174 17cos17xx ，因为004x，所以0017sin174 17cos17xx，所以004sincos17xx，所以000014(tan)()sincos417ggxf xxx.19设0.66log3,log 3mn.(1)试用,m n表示lg18；(2)求证：2mnmnmn.【答案】(1)mmnmn(2)证明过程见解析.第 12 页 共 18 页【分析】（1）根据题目中的整数底数 6 进行化归，并利用换底公式即可得解;（2）证明0mn 后利用换底公式和适当放缩即可求解.【详解】（1）6666666log 18

22、log(6 3)1log 31lg18log 10log 10log 10log 10n，而0.6log3m，所以66log 3log 0.6m，即6log 0.6nm，所以66log10nm，即61 log 10nm，故6log 101nm，故611lg18log 101nnmmnnmnm.（2）0.66log3log 30mn,33330.661111log 0.6log 6log(0.66)log 3.6log3log 3mnmnmn,而3331log 3log 3.6log 92，所以12mnmn，又因为0mn，所以2mnmnmn.故原式得证.20汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动

23、刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为 4 段，分别为准备时间0t人的反应时间1t系统反应时间2t制动时间3t，相应的距离分别为0d，1d，2d，3d，如下图所示.当车速为v（米/秒），且0,33.3v时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，1,2k）.第 13 页 共 18 页 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 10.8t 秒 20.2t 秒 3t 距离 010d 米 1d 2d 2320vdk米

24、(1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式 d v；并求当2k，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 50 米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？【答案】(1)21020vd vvk；2 秒(2)20 千米/小时 【分析】（1）利用 0123d vdddd求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间.（2）化简不等式 50d v，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得v的取值范围.【详解】（1）由题意得 0123d vdddd，所以 2

25、2100.80.2102020vvd vvvvkk；当2k 时，21040vd vv，10101121 124040vvt vvv （秒）.即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为 2 秒.第 14 页 共 18 页（2）根据题意要求对于任意 1,2k，50d v 恒成立，即对于任意 1,2k，2105020vvk，即2140120kvv恒成立，由 1,2k，得111,2040 20k.所以2140120kvv，即2401120vv，即2208000vv，解得4020v.所以020v.故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 50 米，则汽车的行驶速度应限制在 20 千米/小时.

26、21已知函数 22log2,Rfxxmxm.(1)记集合 01,0Axf xx，若,Aa b，求证：21ba；(2)设函数 ,32,3f xxg xx，若存在实数0 x，使 00gxg x，求实数m取值范围.【答案】(1)证明详见解析(2)5,6 【分析】（1）解不等式 01f x，根据其解集为,a b，求得ba，进而证得不等式成立.（2）将问题转化为 2f x 在区间3,有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得m的取值范围.【详解】（1）依题意集合 01,0,Axf xxa b，由220log21xmx得2122xmx，222122xmxxmx，即22210220 xmxxmx，由于0 x，

27、22221mmmmm，所以不等式2210 xmx 解得21xmm，不等式 2220 xmx解得202xmm，第 15 页 共 18 页 所以不等式组22210220 xmxxmx 的解为2212mmxmm，所以221,2ammbmm，所以2222222221212121mmmmbammmm 2211212121212121mm.（2）依题意，函数 ,32,3f xxg xx，且存在实数0 x，使 00gxg x，所以 2f x 在区间3,有解，即22log22xmx在区间3,有解，即222log22log 4xmx，2224,240 xmxxmx，2442xmxxx，函数4yxx在3,上递增，

28、所以45523,336mm，所以m的取值范围是5,6.【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式 01f x，大胆往下计算，即可求得,a b.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为 2f x，研究方程有解来进行求解.22若函数 f x与 g x对任意1xD,总存在唯一的2xD,使 12f xg xm成立,则称 f x是 g x在区间D上的“m阶伴随函数”;当 f xg x时,则称 f x为区间D上的“m阶自伴函数”.(1)若函数13xfx为区间,(0)a b ba上的“1 阶自伴函数”,求22abab的最大值;(2)若 44f xx是 222g x

29、xaxa在区间0,2上的“2 阶伴随函数”,求实数a的取值范围.【答案】(1)25(2)2,233,22 【分析】(1)根据函数新定义,将“1 阶自伴函数”转化为值域之间的关系,列出不等式即可找到,a b之间的关系,再将22abab中分母一次项中的b乘以2ab,再分子分母同除以ab,用基本不等式即可,注意取第 16 页 共 18 页 等条件;(2)先将“2 阶伴随函数”转化为值域之间的关系,求出 2f x值域为2,4,即 g x在0,2的值域的包含2,4,且 g x值域所对应的自变量唯一,结合二次函数图象的性质,分类讨论即可.【详解】（1）解:由题知13xfx为区间,0a b ba上的“1 阶

30、自伴函数”,则任意1,xa b,总存在唯一的2,xa b,使 121f xf x,130 xf x,则只需使 121fxfx成立即可,f x单调递增,1111211,3,33,3abbaf xf x,因为任意1,xa b,总存在唯一的2,xa b,使 121fxfx成立,即11113,33,3abba,则11113333baab,即1111baab,即22abab,故2ab,则222242abababab 224abaab b 2224abaabb 241abba 2421a bba 25,当且仅当4abba,即423ba时取等,第 17 页 共 18 页 故22abab的最大值为25;（2）

31、由题 44f xx是 222g xxaxa在区间0,2上的“2 阶伴随函数”,即任意10,2x,总存在唯一的20,2x,使 122f x g x成立,即 212g xf x成立,即 2f x在0,2的值域是 g x在0,2的值域的子集,且 g x值域所对应的自变量唯一,424,42xf xxf x,22,3f x,2222g xxaxxaa,g x对称轴为xa,0a 时,g x在0,2上单调递增,只需 0223gg,即22223aa,解得:20a,2a 时,g x在0,2上单调递减,只需 0322gg,即22322aa,解得:222a,01a时,g x在0,a上单调递减,2a单调递增,只需 0223gg,即22223aa,第 18 页 共 18 页 解得:023a,12a时,g x在0,a上单调递减,2a单调递增,只需 0322gg,即22322aa,解得:32a,1a 时不满足唯一,故舍,综上:2,233,22a.