2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末模拟数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末模拟数学试题 一、单选题 1命题“320,),320 xxx”的否定是（）A320,),320 xxx B32,0,320 xxx C32,0,320 xxx D320,),320 xxx 【答案】A【分析】根据全称命题的否定理解判断.【详解】命题“320,),320 xxx”的否定是“320,),320 xxx”.故选：A.2已知集合2log1Axx，31xBy y，则AB（）A1,2 B1,2 C1,22 D1,22【答案】B【分析】解对数不等式求出集合 A，再求出指数函数的值域即可求出集合 B，进而根据交

2、集的概念即可求出结果.【详解】因为2log1x，即02x，所以02Axx，而由于30 x，则1y，即1By y 所以1,2AB.故选：B.3下列说法正确的是（）A若ab，则22acbc B若23,12ab 则31ab C若ab，cd，则acbd D若00abm，则mmab【答案】D【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.【详解】A：当0c时，显然22acbc不成立，因此本选项说法不正确；B：1221bb ，而23a，所以有42ab，因此本选项说法不正确；C：当2,3,4,5abcd 时，显然满足ab，cd，但是acbd不成立，因此本选项说法第 2 页 共 16 页 不正确；D：由11

3、00abababababba，而0m，所以mmba，即mmab，因此本选项说法正确，故选：D 4已知角终边上一点1,2P，则sincos2sinsin 22（）A2 B-2 C0 D23【答案】B【分析】通过坐标点得出角的正切值，化简式子，即可求出结果.【详解】解：由题意，角终边上一点1,2P，tan2 sincos2cos222cossin1tansinsin 22，故选：B.5函数 21sin1exf xx的图象大致形状是（）A B C D【答案】A【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除 CD，然后根据0,x时的函数值可排除B.【详解】因为 2e11sinsin1 ee1xxxf

4、 xxx，定义域为 R，第 3 页 共 16 页 又 e1e1sinsine1e1xxxxfxxxf x，所以 f x是偶函数，图象关于y轴对称，故排除 CD，又当0,x时，e10,sin0e1xxx，0f x，故排除 B.故选：A.6若正数x、y满足22xyxy，若不等式2xym的恒成立，则m的最大值等于（）A4 B92 C4 2 D8【答案】A【分析】由已知得出1112xy，将代数式2xy与112xy相乘，展开后利用基本不等式可求得2xy的最小值，即可得出实数m的最大值.【详解】已知正数x、y满足22xyxy，可得211122xyxyxy，所以1122222224222xyxyxyxyxy

5、yxyx，当且仅当2xy时，即2,1xy时，等号成立，所以2xy的最小值为4，4m.因此，实数m的最大值为4.故选：A.7已知函数 sin3cos(0)f xxx 在 0,1内恰有 3 个最值点和 4 个零点，则实数的取值范围是（）A10 23,36 B10 23,36 C17 13,63 D17 23,66【答案】B【分析】数形结合，由第 4 个正零点小于等于 1，第 4 个正最值点大于 1 可解.【详解】sin3cos2sin 3f xxxx，因为 0,1x，所以,333x，又因为函数 sin 3cos 0f xxx在 0,1内恰有3个最值点和 4 个零点，由图像得：7332，解得：102

6、336，第 4 页 共 16 页 所以实数的取值范围是10 23,36.故选：B 8已知定义在 R 上的函数()yf x对于任意的 x都满足(2)()f xf x，当11x时，3()f xx，若函数()()log|ag xf xx至少有 6 个零点，则 a的取值范围是（）A1(0,(5,)5 B1(0,)55,C1 1(,)(5,7)7 5 D1 1(,)7 55,7【答案】A【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的a进行分类讨论即可.【详解】由(2)()f xf x知 f x是周期为 2 的周期函数，函数 logag xf xx至少有6个零点等价于函数y f x与 lo

7、gag xx的图象至少有6个交点，当1a 时,画出函数 yf x与 logag xx的图象如下图所示,根据图象可得 5log 51ag,即5a.当01a时,画出函数 yf x与 logag xx的图象如下图所示,第 5 页 共 16 页 根据图象可得 5log 51ag ,即0a 15.综上所述,a的取值范围是10,5,5.故选：A 二、多选题 9下列说法中，正确的是（）A集合 1,2A和1,2B 表示同一个集合 B函数 232f xxx的单调增区间为1,1 C若2log 3a，2log 7b，则用a，b表示423log561bab D已知 f x是定义在,00,上的奇函数，当0 x 时，21

8、1f xxx，则当0 x 时，211f xxx 【答案】BC【分析】对于 A，根据集合的定义即可判断；对于 B，利用复合函数的单调性即可判断；对于 C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于 D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于 A，集合 1,2A中元素为数，集合1,2B 为点，可知表示的不是同一个集合，所以 A 选项错误；对于 B，根据2320 xx解得函数 232f xxx的定义域为1,3，令232txx则yt，232txx为二次函数，开口向下，对称轴为1x，所以函数232txx在区间1,1上单调递增，在区间1,3上单调递减，函数yt为增函数，根据复合函数的单

9、调性可知函数 232f xxx的单调增区间为1,1，所以 B 选项正确；对于 C，因为2log 3a，2log 7b，根据对数的换底公式可得第 6 页 共 16 页 3222222422222222log7 8log 56log 7log 8log 7log 23log56log 42log7 6log 7log 6log 7log 3log 21bab，所以 C 选项正确；对于 D，因为当0 x 时，211f xxx，可令0 x，则0 x，所以 221111fxxxxx ，又因为 f x是定义在,00,上的奇函数，所以 211ffxxxx，与题干结果不符，所以 D 选项错误.故选：BC.10

10、下列说法不正确的是()A函数2yxx2的零点是1,0和2,0 B正实数 a，b满足1ab，则不等式114ab的最小值为94 C函数2232xyx的最小值为 2 D21x 的一个必要不充分条件是01x【答案】ACD【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用111144ababab和基本不等式即可判断求解；C：令22xt，利用换元法和基本不等式即可判断；D：判断从01x是否可得21x，结合充分条件和必要条件的概念即可判断【详解】对于选项 A：20202102yxxxxx或1，则函数的零点是2或1，故 A 错误；对于选项 B：0,0,1abab，111155924444444babaabababa

11、bab，当且仅当4baba，即223ab时，等号成立，故114ab的最小值为94，故 B 正确；对于选项 C：令222xt，则222xt，则函数化为222311122ttytttttt，当且仅当1tt，即1t 时等号成立，t2，故等号不成立，即22322xyx，故 C 错误；对于选项 D：若01x，则21x，即01x是21x 的充分条件，故 D 错误 第 7 页 共 16 页 故选：ACD 11已知函数 sinf xAx（其中0,0,22A）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A 2sin 26fxx B要想得到2cos2yx的图象，只需将 f x的图象向左平移3个单位 C函数 yf x

12、在区间,36kkkZ上单调递增 D函数 yf x在区间7,12上的取值范围是3,1【答案】AC【分析】由图得A、，点,26在图象上求得及 f x的解析式可判断 A；根据图象平移规律可判断 B；利用正弦函数的单调性可判断 C；根据x的范围求得sin 26x可判断 D.【详解】由图得31132,41264AT，所以2T，2=，所以 2sin 2xxf，因为点,26在图象上，所以22sin 26，sin13，因为22，所以6，可得 2sin 26fxx，故 A 正确；对于 B，将 f x的图象向左平移3个单位，得到252sin 22sin 22sin 236366yxxx的图象，故 B 错误；对于

13、C，由2 22 262kxkkZ得36kxkkZ，所以函数 yf x在区间,36kkkZ上单调递增，故 C 正确；对于 D，7,12x时，4 132,636x，所以1sin 21,62x，函数 yf x在区间7,12上的取值范围是2,1，故 D 错误.故选：AC.第 8 页 共 16 页 12已知函数 lg,010225,10 xxf xxx若方程 0f xm有三个不同的解,a b c，且abc，则下列说法正确的是（）A1110a B110b C12.513abc D01m【答案】BC【分析】画出 f x的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.【详解】由题意可知，lg,01lg,110225

14、,10 xxf xxxxx，作出 f x的图象，如图所示：因为方程 0f xm有三个不同的解,()a b c abc，由图可知01m，故 D 错误；且lglg225mabc，lglglg0,1ababab，所以110,1,101,1010mmab，故 A 错误，B 正确；所以2512.5,132mabcc，故 C 正确；故选：BC 【点睛】关于形如logayx、logayx等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.三、填空题 13函数()3sin()3f xx的最小正周期T，则_.【答案】2【分析】根

15、据正弦型函数的周期公式求解.【详解】因为()3sin()3f xx，第 9 页 共 16 页 所以2|T，解得2，故答案为：2.14函数 1f xxx 的值域为_.【答案】3,4 【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.【详解】令10tx，则21xt，可得：22110yttttt ，函数21ytt 的对称轴为102t，当12t 时，函数21ytt 取到最大值2max1131224y ，即函数 f x的最大值为34，故函数 f x的值域为3,4.故答案为：3,4.15已知2 5cos5，10sin10，且0,2，0,2，则的值是_.【答案】4【分析】由平方关系求得sin，cos，再求出cos

16、即可得解.【详解】解：因为2 5cos5，10sin10，且0,2，0,2，所以5sin5，3 10cos10，且0,，则2 53 105102cos5105102，所以4.故答案为：4.16若函数 f x与 g x对于任意12,x xc d，都有 12f xg xm，则称函数 f x与 g x是区间,c d上的“m阶依附函数”已知函数 31f xx与 24g xxaxa是区间1,2上的“2 阶依附函数”，则实数a的取值范围是_【答案】,2 第 10 页 共 16 页【分析】由题意得 minmin2f xg x在1,2上恒成立，又 min2f x，所以 1g x 在1,2上恒成立，即231xa

17、x在1,2上恒成立，令1xt，2,3t，设 42h ttt，研究 h t的最小值即可 【详解】因为函数 31f xx与 24g xxaxa是区间1,2上的“2 阶依附函数”，所以 minmin2f xg x在1,2上恒成立，又 31f xx在1,2上单调递增，则 min12f xf，所以 241g xxaxa在1,2上恒成立，即231xax在1,2上恒成立，221 133412111xxxxxx ，令1xt，2,3t，设 42h ttt，2224410th ttt，则 h t在2,3上单调递增，所以 min22h th，所以2a 故答案为：,2 四、解答题 17已知函数 lg14f xxx的定

18、义域为 A，310,2xg xx的值域为 B.(1)求 A 和 B；(2)若,1a aAB，求a的最大值.【答案】(1)A 为(1,4，B 为0,10(2)3 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到满足1040 xx，即可求解函数的定义域 A；根据 310,2xg xx在定义域内为增函数，即可求出值域 B.（2）由（1）可知1,4AB，根据集合间的包含关系可求出参数 a的范围，则可得出a的最大值.第 11 页 共 16 页【详解】（1）解：由题意，函数 lg14f xxx，满足1040 xx，解得14x，所以函数 f x的定义域为(1,4，而函数 310,2xg xx在 R 上是增函数，0

19、0312g，2231 10g，所以函数 310,2xg xx的值域为0,10，故定义域 A为(1,4，值域 B为0,10.（2）解：由（1）可知1,4AB，若,1a aAB，则114aa，解得13a，所以a的最大值为 3，此时满足3,41,4，故最大值为 3.18已知函数 22sincos201f xxxm的图象关于点,22对称(1)求，m的值；(2)将 f x的图象向左平移4个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，求 g x在0,3上的值域【答案】(1)1m，12(2)22,4 【分析】（1）由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得,m值

20、；（2）由图象变换得出()g x的表达式，再由余弦函数值域得结论【详解】（1）1 cos2cos21 2cos2f xxxmmx ，依题意可得12m，222k，01kZ，则1m，12（2）由（1）知 22cosf xx，则 22cos34xg x 第 12 页 共 16 页 当0,3x时，5,3444x，则2cos1,342x，故 g x在0,3上的值域为22,4 19已知函数 221xaf xx是定义在1,1上的奇函数(1)判断函数 f x的单调性并用定义加以证明；(2)求使11 20f mfm成立的实数m的取值范围【答案】(1)f x在1,1上是增函数，证明见解析；(2)20,3.【分析】

21、（1）根据奇函数利用(0)0f求出a，再验证即可，由函数单调性定义证明即可；（2）根据函数的单调性列出不等式组求解即可.【详解】（1）定义在1,1上的奇函数，所以 22 00001afa ，所以0a，当0a 时，221xfxx，满足22()()()1xfxf xx，故0a 满足题意.221xfxx在1,1上是增函数,证明如下：设12,1,1x x 且12xx，则 2212212112121222222212121221212122111111xxxxxxx xxxf xf xxxxxxx；因为12,1,1x x 且12xx，所以222112120,10,110 xxx xxx，所以 120f

22、xf x，所以 12f xf x，所以 f x在1,1上是增函数；（2）由11 20f mfm，得112f mfm 由（1）知 22,1xf xf xx在1,1上是增函数，所以11 11 1 211 1 2mmmm ，即020123mmm，解得203m 第 13 页 共 16 页 所以实数m的取值范围是20,3 20如图，风景区的形状是如图所示的扇形 OAB区域，其半径为 4 千米，圆心角为 60，点 C在弧AB 上现在风景区中规划三条商业街道 DE、CD、CE，要求街道 DC与 OA平行，交 OB于点 D，街道 DE 与 OA垂直（垂足 E 在 OA 上）(1)如果弧 BC的长为弧 CA长的

23、三分之一，求三条商业街道围成的CDE的面积；(2)试求街道 CE 长度的最小值【答案】(1)124 33平方千米(2)2 392 33千米 【分析】（1）结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；（2）由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示CE，然后结合正弦函数性质可求 【详解】（1）如下图，连接OC，过C作CROA，垂足为R当弧BC的长为弧CA长的三分之一时，45COR，在COR中，4OC，CROA，故2 2CR，2 2OR 在ODE中，2 2DECR，60DOR，所以tan603DEOE，则2 63OE，所以2 66 22 62 233CDRE，可得CDE的面积116 2

24、2 6124 3()2 22233SCD DE（平方千米）；（2）设(0)3COA，则4sinCR，4cosOR，4sinDECR，又tan603DEOE，则4 3sin3OE，所以4 34cossin3CDER在直角三角形CDE中，222224 3568568 13(4cossin)(4sin)(2 3sin2cos2)sin(2)33333CECDDE，其中3tan(0)62因为03，所以223，又02，所以当22时，2CE有最小值为568 133，即568 132 392 333minCE 综上，街道CE长度的最小值为2 392 33千米 第 14 页 共 16 页 21用打点滴的方式治

25、疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：mg/ml）随时间（单位：小时）变化的函数符合01()12150ktmc t，其函数图象如图所示，其中0m为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4mg/ml到15mg/ml之间，当达到上限浓度时（即浓度达到15mg/ml时），必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc tc，其中 c 为停药时的人体血药浓度.(1)求出函数1()c t的解析式；(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第

26、二次注射？（结果保留小数点后一位，参考数据：lg20.3,lg151.18）【答案】(1)4116 1 20tc tt(2)从开始注射后，最多隔 16 小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔 7.7 小时后开始进行第二次注射 【分析】（1）根据图象可知，两个点(4,8)，(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求1()c t；（2）由（1）求1()15c t中t的范围；求得2()c t后，再求2()4c t中t的范围【详解】（1）解：由图象可知点(4,8),(8,12)在函数图象上，第 15 页 共 16 页 则40801281501212150kkmm两式相除得48122123kk，解得：

27、01,24004km，函数 4116 1 20tc tt.（2）解：由416 1 215t，得4412216t，解得，016t，从开始注射后，最多隔 16 小时停止注射；由题意可知15c，又14k，4215 2tct，由415 24t，得44215t，即224lg151.18log2log 15221.9341544lg20.3ttt ，所以解得：07.7t，为保证治疗效果，最多再隔 7.7 小时后开始进行第二次注射.22设函数 f x的定义域为 D，若存在0 xD，使得 00f xx成立，则称0 x为 f x的一个“不动点”，也称 f x在定义域 D 上存在不动点.已知函数 12log422

28、xxf xa.(1)若函数 f x在区间 0,1上存在不动点，求实数 a 的取值范围；(2)设函数2xg x，若12,1,0 x x，都有 122f xg x成立，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)12,12；(2)512a.【分析】（1）由题可得14222xxxa在0，1上有解，令2xt，可得222tatt在1,2上有解，分离参数即可求解；（2）将问题转化为2max12min()2()()2g xf xg x，利用单调性求出 g x的最值，令2xt，1,12t，可得21228tat恒成立，分离参数求解即可.【详解】（1）由题意知，()f xx即14222xxxa在0，1上有解，令2xt，

29、0,1x，则1,2t，则222tatt在1,2上有解，则22221ttattt ，第 16 页 共 16 页 当1,2t时，2ytt 在1,2递减，在2,2递增，则22 2,3ytt 则22 21,2a，即12,12a，故实数 a的取值范围为12,12.（2）1212|()()|22()()2f xg xf xg x ，即212()2()()2g xf xg x，则2max12min()2()()2g xf xg x 又()g x在1,0上是减函数，则2max2min()(1)2,()(0)1g xgg xg，10()3f x，令2xt，1,0 x，则1,12t，21228tat，则22662

30、112tattttattt 又6ytt 在1,12t上递增，则max5y，又12ytt 522a，512a，实数 a的取值范围为512a.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,yf xxa b，,yg xxc d（1）若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 2maxminf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2maxmaxf xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2minmaxf xg x；（4）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x，则 f x的值域是 g x值域的子集